目錄
前言
第一版前言
第1章 常微分方程數(shù)值解 1
1.1 常微分方程初值問題的理論基礎 1
1.2 Euler方法 3
1.2.1 顯式Euler方法 3
1.2.2 隱式Euler方法 4
1.3 梯形方法 8
1.4 Runge-Kutta方法 9
1.4.1 Runge-Kutta方法簡介 9
1.4.2 Runge-Kutta方法的構造 11
1.5 單步法的收斂性與相容性 16
1.5.1 單步法的收斂性 16
1.5.2 單步法的相容性 18
1.6 —般線性多步法 19
1.6.1 待定系數(shù)法 20
1.6.2 數(shù)值積分法 21
1.7 一般線性多步法的收斂性和穩(wěn)定性 24
1.7.1 線性差分方程的基本性質(zhì) 24
1.7.2 收斂性和穩(wěn)定性 26
習題1 29
第2章 橢圓型方程的有限差分方法 31
2.1 五點差分格式 31
2.1.1 差分格式的建立 32
2.1.2 差分格式解的存在性 34
2.1.3 差分格式的求解 36
2.1.4 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性 37
2.1.5 數(shù)值計算與Matlab模擬 40
2.2 邊界條件離散化 44
2.2.1 矩形區(qū)域 44
2.2.2 一般區(qū)域 44
2.3 先驗估計 46
習題2 49
第3章 拋物型方程的有限差分方法 52
3.1 擴散方程 52
3.1.1 定解區(qū)域的離散 53
3.1.2 差分格式 53
3.1.3 顯式差分格式和隱式差分格式 55
3.1.4 Richardson差分格式 56
3.1.5 Richardson差分格式的不穩(wěn)定性 57
3.1.6 Grank-Nicolson格式 58
3.2 收斂性與穩(wěn)定性 58
3.2.1 截斷誤差 59
3.2.2 差分格式的收斂性 60
3.2.3 差分格式的穩(wěn)定性 62
3.2.4 差分格式穩(wěn)定性的方法 63
3.3 數(shù)值模擬 65
習題 3 67
第4章 雙曲型方程的有限差分方法 68
4.1 引言 68
4.2 波動方程的差分格式 72
4.2.1 波動方程顯式差分格式的建立 73
4.2.2 波動方程隱式差分格式的建立 75
4.3 數(shù)值模擬 79
4.4 一階雙曲方程 80
4.4.1 迎風格式 81
4.4.2 積分守恒的差分格式 82
4.4.3 數(shù)值模擬 86
習題4 87
第5章 分數(shù)階微積分的相關概念及算法 89
5.1 分數(shù)階微積分的定義和性質(zhì) 89
5.1.1 Griinwald-Letnikov（G-L）分數(shù)階導數(shù) 89
5.1.2 Riemann-Liouville（R-L）分數(shù)階積分和分數(shù)階導數(shù) 91
5.1.3 Caputo分數(shù)階導數(shù) 93
5.1.4 Riesz分數(shù)階導數(shù) 93
5.1.5 幾種分數(shù)階導數(shù)的關系 94
5.1.6 分數(shù)階導數(shù)的性質(zhì) 95
5.2 分數(shù)階微積分的數(shù)值算法 95
5.2.1 Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)的G-L迪近 95
5.2.2 Caputo分數(shù)階導數(shù)的L-算法 97
5.2.3 Riemann-Liouville分數(shù)階積分的數(shù)值逼近 ..103
5.3 經(jīng)典整數(shù)階數(shù)值微分、積分公式的推廣 106
5.3.1 經(jīng)典向后差商及中心差商格式的推廣 106
5.3.2 插值型數(shù)值積分公式的推廣 108
5.3.3 經(jīng)典線性多步法的推廣：Lubich（魯必切）分數(shù)階線性多步法 109
習題5 112
第6章 分數(shù)階常微分方程的數(shù)值方法 113
6.1 直接法 114
6.2 間接法 119
6.2.1 R算法 119
6.2.2分數(shù)階預估-校正方法 119
習題6 122
第7章 分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值方法 124
7.1 空間分數(shù)階對流-擴散方程 124
7.2 時間分數(shù)階偏微分方程 128
7.2.1 差分格式 128
7.2.2 穩(wěn)定性分析（Fourier-von Neumann方法） 129
7.2.3 誤差分析 130
7.3 時間-空間分數(shù)階偏微分方程 132
7.3.1 差分格式 132
7.3.2 穩(wěn)定性及收斂性分析 134
習題7 136
第8章 譜方法 138
8.1 Fourier 譜方法 138
8.1.1 指數(shù)正交多項式 138
8.1.2 一階波動方程的Fourier譜方法 139
8.2 Chebyshev譜方法 141
8.2.1 Chebyshev多項式 141
8.2.2 Gauss型積分的節(jié)點和權函數(shù) 142
8.2.3 數(shù)值分析 142
8.2.4 數(shù)值模擬 144
8.3 熱傳導方程的應用 145
8.3.1 模型的分析與建立 145
8.3.2 模型的改進 147
習題8 149
第9章 有限元方法 150
9.1 變分形式 150
9.1.1 Sobolev空間Hm（I） 150
9.1.2 a（u,v）基本性質(zhì) 153
9.2 有限元法 156
9.2.1 Ritz-Galerkin法 156
9.2.2 有限元法構造 158
9.3 有限元法的誤差估計 161
9.3.1 H1估計 161
9.3.2 L2估計 162
9.4 二次元 164
9.4.1 單元插值函數(shù) 164
9.4.2 有限元方程的形成 167
9.5 橢圓型方程邊值問題的有限元法 168
9.5.1 變分原理 168
9.5.2 Ritz-Galerkin方法 170
9.5.3 有限元法 170
9.6 拋物型方程初邊值問題的有限元法 174
習題9 179
參考文獻 181