《線性代數(shù)疑難問題選講》對(duì)工科類線性代數(shù)課程中一些疑難問題作了較為深入的討論。其內(nèi)容主要涉及四個(gè)方面：一是對(duì)教材中一些重要的概念、理論和方法作剖析，揭示包含其中的數(shù)學(xué)原理與思想，歸納總結(jié)一些重要的數(shù)學(xué)方法；二是對(duì)于一些容易混淆的概念辨明它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；三是對(duì)教材中一些常用而又沒給出證明的定理補(bǔ)充證明，并對(duì)部分內(nèi)容作了適當(dāng)?shù)难由欤凰氖鞘占砹舜罅康膽?yīng)用實(shí)例供讀者參考。 《線性代數(shù)疑難問題選講》可作為線性代數(shù)課程的教學(xué)參考書，對(duì)教師的教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)都有很好的啟迪與幫助。
第一章 矩陣
問題1.1 矩陣乘法中的幾個(gè)問題
(1)矩陣的乘法為什么要像教材中那樣定義
(2)矩陣乘法還有其他定義形式嗎
(3)如何理解雙重求和符號(hào)的可交換性
(4)矩陣的乘法運(yùn)算要注意哪些問題
問題1.2 計(jì)算一個(gè)矩陣的方冪有哪些常見方法
(1)用歸納法計(jì)算
(2)用遞推公式計(jì)算
(3)將矩陣作拆分計(jì)算
(4)將矩陣相似對(duì)角化后作計(jì)算
(5)用Hamilton-Cayley定理簡(jiǎn)化計(jì)算
問題1.3 如何理解逆矩陣的概念
問題1.4 如何理解伴隨矩陣的意義
問題1.5 矩陣的秩有何意義？它有哪些等價(jià)的描述
問題1.6 為什么要引入初等矩陣？它的主要作用是什么
問題1.7 如何理解矩陣等價(jià)中的三條基本性質(zhì)？矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形有
何意義
(1)矩陣等價(jià)中的三條基本性質(zhì)
(2)矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的意義
問題1.8 矩陣分塊有何意義？分塊要注意哪些問題
(1)降階，使計(jì)算得到簡(jiǎn)化
(2)分割，使問題得到轉(zhuǎn)化
問題1.9 如何將矩陣的初等變換與初等矩陣推廣到分塊矩陣
問題1.10 什么是矩陣的三角分解(LU分解)，有何應(yīng)用
第二章 行列式
問題2.1 行列式的歷史沿革
問題2.2 行列式有哪些不同的定義方式
(1)“逆序數(shù)法”定義
(2)“歸納法”定義
(3)“函數(shù)法”定義
問題2.3 行列式有何幾何意義
(1)超平行多面體的有向面積或體積
(2)線性變換下圖形面積或體積的伸縮因子
問題2.4 Cramer法則的多種證明與幾何意義
(1)Cramer法則的多種證明
(2)Cramer法則的幾何意義
問題2.5 行列式的計(jì)算有哪些常用方法
問題2.6 行列式的Laplace展開定理如何證明
問題2.7 分塊行列式也有初等變換性質(zhì)嗎
第三章 向量空間與線性方程組
問題3.1 如何認(rèn)識(shí)“n維向量空間”所研究的問題
(1)n維向量空間是3維幾何空間的推廣
(2)n維向量空間是線性空間的一個(gè)代表
(3)線性方程組與向量組、向量空間
問題3.2 如何引入線性表出與線性相關(guān)等概念
(1)線性表出概念的引入
(2)線性相關(guān)概念的引入
問題3.3 判定向量組線性相關(guān)性的常見方法
問題3.4 向量組的極大線性無關(guān)組有何意義與等價(jià)形式
(1)向量組的極大線性無關(guān)組的概念及其意義
(2)極大無關(guān)組的等價(jià)描述
問題3.5 何謂兩個(gè)向量組各個(gè)向量之間有相同的線性關(guān)系
問題3.6 矩陣的等價(jià)與向量組的等價(jià)有何區(qū)別與聯(lián)系
問題3.7 線性方程組中的幾個(gè)問題
(1)如何理解Gauss消元法解線性方程組的正確性
(2)為什么要用向量來表示線性方程組的解
(3)非齊次線性方程組線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)與通解
第四章 特征值與特征向量
問題4.1 如何理解矩陣特征值與特征向量的幾何意義
……
第五章 二次型
第六章 應(yīng)用實(shí)例
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