本書是國家級教學(xué)團隊建設(shè)和省級精品課程建設(shè)的一項基礎(chǔ)性成果。編者根據(jù)多年的教學(xué)科研經(jīng)驗,將經(jīng)典的“高等代數(shù)”課程教學(xué)內(nèi)容重新整理,以基本理論與基本方法為主,適當介紹高等代數(shù)的一些延伸知識。全書主要內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性空間、線性映射、一元多項式、相似標準形、雙線性函數(shù)與二次型、內(nèi)積空間。
高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類各專業(yè)的主干基礎(chǔ)課程,對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力以及計算能力都起著十分重要的作用。本書是根據(jù)編者多年的教學(xué)經(jīng)驗和授課講義編寫而成的,主要由多項式理論與線性代數(shù)兩部分組成。全書共8章,主要內(nèi)容包括:行列式、矩陣、線性空間、線性映射、一元多項式、相似標準形、雙線性函數(shù)與二次型、內(nèi)積空間。雖然高等代數(shù)涉及的內(nèi)容都是成熟的知識,但本書在選材上還是體現(xiàn)了如下的特點:
1.注重代數(shù)學(xué)基本思想的傳授。比如,強調(diào)等價分類的思想、分解結(jié)構(gòu)和同構(gòu)對應(yīng)等思想,揭示課程內(nèi)容的內(nèi)在本質(zhì)。
2.注重代數(shù)基本方法和基本技巧的訓(xùn)練。如對必要的代數(shù)方法作盡可能詳細的介紹,并注重幾何直觀和代數(shù)方法的對應(yīng),加強從幾何的觀點理解內(nèi)容。又如,書中的例題盡可能注重解題方法的訓(xùn)練和歸納,以達到舉一反三、觸類旁通的效果。
3.注重基本知識的應(yīng)用:如特別強調(diào)矩陣的初等變換在解線性方程組、求矩陣的逆、求A-矩陣的標準形以及求二次型的標準形等方面的應(yīng)用。
4.注重所學(xué)知識的鞏固和提高。除每節(jié)有習(xí)題外,每章后都安排了復(fù)習(xí)題,有利于訓(xùn)練和提高學(xué)習(xí)者對所學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力。
5.注重學(xué)習(xí)者的主體性。每章都安排了“知識拓展”內(nèi)容,為學(xué)習(xí)者提供自由學(xué)習(xí)的空間,開闊視野。
本書由杜先能、葉郁、殷曉斌、范益政擔任主編,吳化璋、吳俊、鮑炎紅、趙志兵、王修建、程智參與了教材的編寫。
本書是國家級教學(xué)團隊建設(shè)和省級精品課程建設(shè)的一項基礎(chǔ)性成果。雖然在課程組老師的共同努力下幾經(jīng)修改,但由于編者水平有限,書稿難免存在缺陷,懇請專家、學(xué)者和讀者批評指正,以便在今后的修訂中不斷完善。在本書的編寫過程中,參閱了國內(nèi)外許多資料,恕不一一致謝。
第一章 行列式
1.1 數(shù)域
1.2 排列
1.3 n階行列式
1.4 行列式的性質(zhì)與展開
1.5 行列式的計算
1.6 Cramer法則
1.7 知識拓展:行列式的Laplace展開定理
復(fù)習(xí)題1
第二章 矩陣
2.1 矩陣的定義與運算
2.2 矩陣的初等變換與秩
2.3 可逆矩陣
2.4 分塊矩陣
2.5 Gauss消元法
2.6 知識拓展:矩陣的廣義逆
復(fù)習(xí)題2
第三章 線性空間
3.1 線性空間的定義和性質(zhì)
3.2 向量組的線性相關(guān)性
3.3 基與坐標
3.4 線性子空間
3.5 子空間的交、和與直和
3.6 商空間
3.7 知識拓展:線性空間的外直和
復(fù)習(xí)題3
第四章 線性映射
4.1 線性映射的定義與矩陣
4.2 線性空間的同構(gòu)
4.3 線性映射的像與核
4.4 線性變換及其矩陣
4.5 不變子空間
4.6 知識拓展:Hom(VW)的基
復(fù)習(xí)題4
第五章 一元多項式
5.1 一元多項式
5.2 整除
5.3 因式分解定理
5.4 復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解
5.5 有理系數(shù)多項式
5.6 知識拓展:多元多項式環(huán)
復(fù)習(xí)題5
第六章 相似標準形
6.1 特征值與特征向量
6.2 特征子空間與根子空間
6.3 對角化
6.4 A-矩陣
6.5 行列式因子、不變因子與初等因子
6.6 Jordan標準形
6.7 知識拓展:矩陣的有理標準形
復(fù)習(xí)題6
第七章 雙線性函數(shù)與二次型
7.1 雙線性函數(shù)
7.2 標準形
7.3 慣性定理
7.4 正定性
5 7.5 知識拓展:反稱雙線性函數(shù)與辛空間
復(fù)習(xí)題7
第八章 內(nèi)積空間
5 8.1 歐氏空間
5 8.2 標準正交基
8.3 歐氏空間的子空間
8.4 正交變換
5 8.5 對稱變換
5 8.6 知識拓展:酉空間
復(fù)習(xí)題8
附錄