本書(shū)編寫(xiě)形式上采用通過(guò)實(shí)際工程案例出發(fā)的方式，引申出數(shù)學(xué)模型以及計(jì)算方法，然后在著重講解理論結(jié)果，以問(wèn)題導(dǎo)向來(lái)編寫(xiě)本書(shū)。全書(shū)共13章，通過(guò)城市供水量的預(yù)測(cè)模型、湘江流量估計(jì)模型、養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題、小行星軌道方程計(jì)算問(wèn)題、回歸問(wèn)題、產(chǎn)品次品率的推斷、屈服點(diǎn)與含碳量和含錳量的關(guān)系、燈絲配料對(duì)燈絲壽命的影響等問(wèn)題，分別介紹了數(shù)學(xué)建模與誤差分析、插值與擬合算法、數(shù)值積分法、非線性方程求根的數(shù)值解法、線性方程組的數(shù)值解法、線性方程組求解的迭代法、常微分方程數(shù)值解法簡(jiǎn)介、估計(jì)與檢驗(yàn)、回歸分析、方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、線性規(guī)劃模型與理論簡(jiǎn)介、線性規(guī)劃的單純形算法、線性規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題、*優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)建模專題等內(nèi)容。使得學(xué)生能夠通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)掌握理論內(nèi)容。本書(shū)可供工科（特別是工程類(lèi)）碩士研究生作為教材或?qū)W習(xí)參考書(shū)，也可供相關(guān)專業(yè)的教師和工程技術(shù)人員參考。

前 言
“ 高等工程數(shù)學(xué)” 課程是中南大學(xué)面向全校各理工科碩士的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程, 共 48 學(xué)時(shí) 3學(xué)分. 本書(shū)為該課程的配套用書(shū), 書(shū)中以數(shù)學(xué)建模思想､ 方法為主線, 有機(jī)融入科學(xué)計(jì)算､應(yīng)用統(tǒng)計(jì)､ 最優(yōu)化方法的理論與方法, 集科學(xué)計(jì)算方法､ 現(xiàn)代數(shù)學(xué)､ 計(jì)算機(jī)技術(shù)與實(shí)際問(wèn)題
求解于一體, 采用研究型教學(xué)與探索型學(xué)習(xí)相結(jié)合的編寫(xiě)方式, 主要講授數(shù)學(xué)建模､ 科學(xué)計(jì)算､ 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)､ 最優(yōu)化方法的基本方法, 以實(shí)際問(wèn)題為背景, 采用案例式編寫(xiě)方式, 滲透數(shù)學(xué)建模思想, 介紹數(shù)學(xué)建模的步驟和方法, 建立描述實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型, 用模型的求解引
入科學(xué)計(jì)算､ 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)､ 最優(yōu)化方法的基本知識(shí)和一般方法, 主要內(nèi)容包括: 數(shù)學(xué)建模與科學(xué)計(jì)算方法的基本概念及其相互關(guān)系､ 誤差分析理論､ 函數(shù)插值與擬合方法､ 數(shù)值積分方法､ 方程求解數(shù)值方法､ 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法､ 最優(yōu)化方法､ 以及數(shù)學(xué)建模案例分析等.
本書(shū)強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用, 以學(xué)生為本, 突出實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié), 實(shí)現(xiàn)課內(nèi)課外相結(jié)合,重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力､ 創(chuàng)新能力和課外實(shí)踐能力的培養(yǎng), 內(nèi)容編排充分考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ), 同時(shí)進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面, 可以適用于不同專業(yè)和不同層次學(xué)生的教學(xué)要求.
本書(shū)編寫(xiě)的重要目標(biāo)之一是提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力旨在全面訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具建立數(shù)學(xué)模型､ 應(yīng)用科學(xué)計(jì)算方法解決實(shí)際問(wèn)題的技能與技巧, 突出學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自主實(shí)踐, 提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力､ 數(shù)學(xué)建模能力, 培養(yǎng)學(xué)生從事現(xiàn)代科研活動(dòng)的能力和相關(guān)素質(zhì).
感謝在本書(shū)編寫(xiě)過(guò)程中學(xué)校有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)給予的支持和鼓勵(lì), 感謝同行教師給出的中肯意見(jiàn)和建議, 感謝給予我們幫助的家人和朋友們. 由于編者水平和經(jīng)驗(yàn)有限. 書(shū)中不免有一些疏漏和不當(dāng)之處, 請(qǐng)各位專家和廣大同行批評(píng)指正.
編 者

目 錄
前 言
第 1 章 數(shù)學(xué)建模與誤差分析 1
1.1 數(shù)學(xué)與科學(xué)計(jì)算 1
1.2 數(shù)學(xué)建模及其重要意義 1
1.2.1 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程 1
1.2.2 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 2
1.2.3 數(shù)學(xué)建模的重要意義 3
1.3 數(shù)值方法與算法評(píng)價(jià) 4
1.4 誤差的種類(lèi)及其來(lái)源 6
1.4.1 模型誤差 6
1.4.2 觀測(cè)誤差 6
1.4.3 截?cái)嗾`差 6
1.4.4 舍入誤差 7
1.5 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 7
1.5.1 絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限 7
1.5.2 相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限 8
1.6 誤差的傳播與估計(jì) 9
1.6.1 誤差傳播估計(jì)的一般公式 9
1.6.2 誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播 11
1.6.3 算法誤差實(shí)例分析 12
習(xí)題 1 16
第 2 章 城市供水量的預(yù)測(cè)模型———
插值與擬合算法 18
2.1 城市供水量的預(yù)測(cè)問(wèn)題 18
2.2 求未知函數(shù)近似表達(dá)式的插值法 18
2.2.1 求函數(shù)近似表達(dá)式的必要性 18
2.2.2 插值多項(xiàng)式的存在唯一性 19
2.3 求插值多項(xiàng)式的拉格朗日( Lagrange) 法 20
2.3.1 拉格朗日插值基函數(shù) 20
2.3.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 20
2.3.3 插值余項(xiàng) 22
2.3.4 插值誤差的事后估計(jì)法 23
2.4 求插值多項(xiàng)式的牛頓法 24
2.4.1 向前差分與牛頓向前插值公式 24
2.4.2 向后差分與牛頓向后插值公式 26
2.4.3 差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式 27
2.5 求插值多項(xiàng)式的改進(jìn)算法 29
2.5.1 分段低次插值 29
2.5.2 三次樣條插值 31
2.6 求函數(shù)近似表達(dá)式的擬合法 36
2.6.1 曲線擬合的最小二乘法 37
2.6.2 加權(quán)最小二乘法 44
2.6.3 利用正交函數(shù)作最小二乘法擬合 45
2.7 城市供水量預(yù)測(cè)的簡(jiǎn)單方法 47
2.7.1 供水量增長(zhǎng)率估計(jì)與數(shù)值微分 47
2.7.2 利用插值多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù) 48
2.7.3 利用三次樣條插值函數(shù)求導(dǎo) 49
2.7.4 城市供水量預(yù)測(cè) 50
習(xí)題 2 54
第 3 章 湘江流量計(jì)算問(wèn)題———數(shù)值積分法 56
3.1 數(shù)值積分公式的構(gòu)造及代數(shù)精度 56
3.1.1 數(shù)值求積的必要性 56
3.1.2 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本方法 56
3.1.3 求積公式的余項(xiàng) 57
3.1.4 求積公式的代數(shù)精度 57
3.2 數(shù)值求積的牛頓 - 柯特斯方法 58
3.2.1 牛頓 - 柯特斯公式 59
3.2.2 復(fù)合牛頓 - 柯特斯公式 60
3.2.3 誤差的事后估計(jì)與步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇 63
3.2.4 復(fù)合梯形法的遞推算式 64
3.3 龍貝格算法 66
3.3.1 龍貝格算法的基本原理 66
3.3.2 龍貝格算法計(jì)算公式的簡(jiǎn)化 68
3.4 高斯型求積公式與測(cè)量
位置的優(yōu)化選取 69
3.4.1 高斯型求積公式的定義 69
3.4.2 高斯型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用 70
3.5 湘江流量的估計(jì) 72
習(xí)題 3 72
第 4 章 養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題———非線性方程求根的數(shù)值解法 74
4.1 養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題 74
4.1.1 問(wèn)題的引入 74
4.1.2 模型分析 74
4.1.3 模型假設(shè) 74
4.1.4 模型建立 74
4.1.5 模型求解 75
4.2 非線性方程求根的數(shù)值方法 75
4.2.1 根的搜索相關(guān)定義 75
4.2.2 逐步搜索法 75
4.2.3 二分法 76
4.2.4 迭代法 77
4.2.5 牛頓公式 82
4.2.6 牛頓法的幾何意義 82
4.2.7 牛頓法的局部收斂性 83
4.2.8 牛頓法應(yīng)用舉例 84
4.2.9 牛頓下山法 85
4.2.10 弦截法與"物線法 86
4.2.11 多項(xiàng)式求值的秦九韶算法 88
4.2.12 代數(shù)方程的牛頓法 89
4.2.13 牛頓法對(duì)重根的處理 89
4.3 養(yǎng)老保險(xiǎn)模型的求解 90
習(xí)題 4 91
第 5 章 小行星軌道方程計(jì)算問(wèn)題———
線性方程組的數(shù)值解法 92
5.1 小行星軌道方程問(wèn)題 92
5.1.1 問(wèn)題的引入 92
5.1.2 模型的分析 92
5.1.3 模型的假設(shè) 93
5.1.4 模型的建立 93
5.2 線性方程組數(shù)值解法概述 93
5.3 直接解法 94
5.3.1 高斯消元法 94
5.3.2 矩陣的三角分解 97
5.3.3 高斯消元法的計(jì)算量 99
5.3.4 高斯主元素消元法 99
5.3.5 完全主元素消元法 100
5.3.6 列主元消元法 101
5.3.7 高斯 - 約當(dāng)消元法 103
5.3.8 高斯消元法的變形 105
5.3.9 平方根法 107
5.3.10 追趕法 109
5.4 迭代法 112
5.4.1 雅可比迭代法 113
5.4.2 高斯 - 賽德?tīng)柕�代�? 114
5.4.3 迭代法的收斂性 115
5.4.4 超松弛迭代法 121
5.5 誤差分析 124
5.5.1 矩陣的條件數(shù)及誤差分析 124
5.5.2 迭代改善法 128
5.5.3 舍入誤差分析 130
5.6 小行星軌道方程問(wèn)題的模型求解 130
習(xí)題 5 131
第 6 章 常微分方程數(shù)值解法 133
6.1 實(shí)際問(wèn)題的微分方程模型 133
6.2 簡(jiǎn)單的數(shù)值方法與基本概念 134
6.2.1 常微分方程初值問(wèn)題 134
6.2.2 歐拉法及改進(jìn)的歐拉法 135
6.2.3 截?cái)嗾`差與算法精度的階 137
6.3 線性多步法 140
6.3.1 數(shù)值積分法 140
6.3.2 待定系數(shù)法 142
6.4 非線性單步法———龍格 - 庫(kù)塔法 144
6.4.1 泰勒展開(kāi)法 144
6.4.2 龍格 - 庫(kù)塔法 145
6.5 �� 一階方程組和高階方程的初值問(wèn)題 150
6.6 �� 常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法 151
6.6.1 試射法 151
6.6.2 差分法 153
習(xí)題 6 156
第 7 章 產(chǎn)品的次品率的推斷———估計(jì)與檢驗(yàn) 157
7.1 問(wèn)題的提出 157
7.2 基本概念和重要結(jié)論 157
7.3 估計(jì)方法 161
7.3.1 點(diǎn)估計(jì) 161
7.3.2 區(qū)間估計(jì) 163高等工程數(shù)學(xué)
7.4 假設(shè)檢驗(yàn) 165
7.4.1 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 165
7.4.2 分布假設(shè)檢驗(yàn) 169
習(xí)題 7 171
第 8 章