目錄
序言
前言
第1章 群 1
1.1 集合與映射 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 映射 2
1.1.3 映射的復(fù)合 2
1.1.4 Magma 3
1.2 等價(jià)關(guān)系及群的定義 4
1.2.1 等價(jià)關(guān)系 4
1.2.2 分拆 6
1.2.3 群的定義 7
1.3 群的例子和初等性質(zhì) 8
1.3.1 群的例子 8
1.3.2 群的初等性質(zhì) 10
1.4 子群 12
1.4.1 子群的定義和判定 12
1.4.2 循環(huán)子群 12
1.4.3 交錯(cuò)群 13
1.5 陪集及Lagrange定理 15
1.5.1 左陪集 15
1.5.2 Lagrange定理及反問(wèn)題 17
1.6 正規(guī)子群、商群和指數(shù)定理 1 19
1.6.1 正規(guī)子群 19
1.6.2 單群 19
1.6.3 商群 20
1.6.4 指數(shù)定理 1 21
1.7 群同態(tài)及其基本定理 23
1.7.1 群同態(tài) 23
1.7.2 群同態(tài)基本定理 25
1.8 直積和指數(shù)定理 2 26
1.8.1 直積 26
1.8.2 指數(shù)定理 2 28
1.9 循環(huán)群 29
1.9.1 群的生成元 29
1.9.2 (Z，+) 與 (Zm，+) 29
1.9.3 一些應(yīng)用 31
1.10 Cayley定理及自同構(gòu)群 32
1.10.1 Cayley定理 32
1.10.2 自同構(gòu)群 33
1.11 群在集合上的作用 1: 基本性質(zhì) 35
1.11.1 群作用 35
1.11.2 軌道和穩(wěn)定子群 36
1.11.3 類(lèi)方程 37
1.12 群在集合上的作用 2: 應(yīng)用 38
1.12.1 Cauchy定理 38
1.12.2 Burnside引理 39
1.12.3 p-群 39
1.13 群在集合上的作用3: Sylow定理 41
1.13.1 Sylow定理 41
1.13.2 一個(gè)應(yīng)用 44
1.14 冪零群和可解群 45
1.14.1 上中心列 45
1.14.2 冪零群 46
1.14.3 換位子群 46
1.14.4 可解群 47
1.15 有限生成Abel 群 50
1.15.1 自由Abel群 50
1.15.2 有限生成Abel 群的結(jié)構(gòu) 51
1.16 自由群和群表出 53
1.16.1 自由群 53
1.16.2 群表出的例子 54
1.16.3 有限群的分類(lèi) 55
第2章 環(huán) 57
2.1 環(huán)的基本性質(zhì) 57
2.1.1 環(huán)的定義和例子 57
2.1.2 零因子 59
2.2 環(huán)同態(tài)、子環(huán)和商環(huán) 60
2.2.1 環(huán)同態(tài) 60
2.2.2 子環(huán)和理想 61
2.2.3 商環(huán) 62
2.3 中國(guó)剩余定理 64
2.3.1 理想的生成元 64
2.3.2 直和 65
2.3.3 理想互素中國(guó)剩余定理 65
2.4 素理想和極大理想 67
2.4.1 素理想 67
2.4.2 極大理想 69
2.5 分式化 70
2.5.1 由整數(shù)環(huán)到有理數(shù)域 70
2.5.2 分式環(huán) 71
2.5.3 局部化 73
2.6 素元和不可約元 74
2.6.1 因子及相伴關(guān)系 74
2.6.2 素元與不可約元的定義 75
2.6.3 公因子 76
2.7 唯一因子分解整環(huán) 77
2.7.1 唯一因子分解整環(huán)的等價(jià)條件 77
2.7.2 例子與反例 80
2.8 主理想整環(huán)和歐幾里得整環(huán) 81
2.8.1 主理想整環(huán) 81
2.8.2 歐幾里得整環(huán) 82
2.9 多項(xiàng)式環(huán) 84
2.9.1 帶余除法 84
2.9.2 Noether環(huán) 85
2.10 對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式及不變量理論 86
2.10.1 對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式 86
2.10.2 不變量理論介紹 88
第3章 域 92
3.1 域擴(kuò)張 92
3.1.1 Kronecker的定理 92
3.1.2 代數(shù)元和超越元 93
3.1.3 單代數(shù)擴(kuò)張 94
3.2 向量空間 95
3.2.1 任意域上的向量空間 95
3.2.2 線性無(wú)關(guān)、基底及維數(shù) 96
3.2.3 一個(gè)應(yīng)用 97
3.3 代數(shù)擴(kuò)張 97
3.3.1 有限擴(kuò)張 97
3.3.2 代數(shù)閉域與代數(shù)閉包 100
3.4 有限域 102
3.4.1 素域 102
3.4.2 有限域的結(jié)構(gòu) 102
3.4.3 有限域的存在性 103
3.5 域的自同構(gòu) 105
3.5.1 域的同態(tài) 105
3.5.2 共軛 106
3.5.3 Galois群 107
3.6 有限擴(kuò)張的Galois群 108
3.6.1 穩(wěn)定域 108
3.6.2 Dedekind引理 109
3.6.3 Galois群的階數(shù) 110
3.7 Galois擴(kuò)張 111
3.7.1 Artin定理 111
3.7.2 Galois擴(kuò)張的等價(jià)條件 112
3.7.3 單代數(shù)Galois擴(kuò)張 113
3.8 Galois基本定理及應(yīng)用 114
3.8.1 Galois基本定理 114
3.8.2 代數(shù)相關(guān)和代數(shù)無(wú)關(guān) 114
3.8.3 有理性問(wèn)題 115
參考文獻(xiàn)118