目錄
前言
第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 集合、區(qū)間、鄰域 1
1.1.2 函數(shù)的概念 2
1.1.3 函數(shù)的特性 4
習(xí)題1.1 6
1.2 初等函數(shù) 7
1.2.1 反函數(shù) 7
1.2.2 基本初等函數(shù) 7
1.2.3 復(fù)合函數(shù) 9
1.2.4 初等函數(shù) 10
1.2.5 雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) 10
習(xí)題1.2 12
1.3 數(shù)列的極限 12
1.3.1 數(shù)列極限的概念 13
1.3.2 數(shù)列極限的性質(zhì) 15
習(xí)題1.3 17
1.4 函數(shù)的極限 18
1.4.1 當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)的極限 18
1.4.2 當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限 20
1.4.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 23
習(xí)題1.4 24
1.5 無(wú)窮大與無(wú)窮小 25
1.5.1 無(wú)窮小量 25
1.5.2 無(wú)窮大量 27
1.5.3 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系 28
習(xí)題1.5 29
1.6 極限的運(yùn)算法則 29
習(xí)題1.6 33
1.7 極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限 34
1.7.1 極限存在準(zhǔn)則 34
1.7.2 兩個(gè)重要極限 36
習(xí)題1.7 39
1.8 無(wú)窮小量階的比較 40
習(xí)題1.8 42
1.9 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 42
1.9.1 函數(shù)的連續(xù)性 42
1.9.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 44
習(xí)題1.9 47
1.10 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 48
1.10.1 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 48
1.10.2 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 48
1.10.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 49
1.10.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 51
1.10.5 函數(shù)的一致連續(xù)性 53
習(xí)題1.10 54
總習(xí)題1 55
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 57
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 57
2.1.1 引例 57
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 59
2.1.3 求導(dǎo)數(shù)舉例 62
2.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何、物理、化學(xué)意義 63
2.1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 65
習(xí)題2.1 66
2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則 67
2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 67
2.2.2 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 69
2.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 71
習(xí)題2.2 75
2.3 高階導(dǎo)數(shù) 76
習(xí)題2.3 79
2.4 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 79
2.4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 79
2.4.2 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 81
2.4.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 82
2.4.4 相關(guān)變化率 85
習(xí)題2.4 86
2.5 函數(shù)的微分 87
2.5.1 微分的定義 87
2.5.2 微分的幾何意義 89
2.5.3 基本初等函數(shù)的微分公式和微分的運(yùn)算法則 90
2.5.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 92
習(xí)題2.5 94
總習(xí)題2 95
第3章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 97
3.1 中值定理 97
3.1.1 羅爾(Rolle)定理 97
3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 99
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理 103
習(xí)題3.1 104
3.2 洛必達(dá)(L'Hospital)法則 105
習(xí)題3.2 109
3.3 泰勒公式 110
3.3.1 泰勒(Taylor)公式 110
3.3.2 常見(jiàn)初等函數(shù)的帶皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式 114
3.3.3 麥克勞林公式和泰勒公式的應(yīng)用 115
習(xí)題3.3 117
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 118
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 118
3.4.2 曲線的凹凸性 120
習(xí)題3.4 124
3.5 函數(shù)的極值與最值 125
3.5.1 函數(shù)的極值 125
3.5.2 函數(shù)的最值 128
習(xí)題3.5 131
3.6 函數(shù)圖形的描繪 132
3.6.1 漸近線 132
3.6.2 函數(shù)圖形的描繪 133
習(xí)題3.6 135
3.7 平面曲線的曲率 136
3.7.1 曲線曲率的定義 136
3.7.2 弧長(zhǎng)的微分 138
3.7.3 曲率的計(jì)算及曲率半徑 139
習(xí)題3.7 142
總習(xí)題3 142
第4章 不定積分 146
4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 146
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 146
4.1.2 不定積分的幾何意義 148
4.1.3 不定積分的性質(zhì) 148
4.1.4 基本積分公式 149
習(xí)題4.1 151
4.2 換元積分法 151
4.2.1 第一換元法(湊微分法) 151
4.2.2 第二換元積分法 157
習(xí)題4.2 161
4.3 分部積分法 162
習(xí)題4.3 166
4.4 有理函數(shù)的積分 166
4.4.1 有理函數(shù)的積分 166
4.4.2 可化為有理函數(shù)的積分 170
習(xí)題4.4 172
總習(xí)題4 172
第5章 定積分 174
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 174
5.1.1 定積分問(wèn)題舉例 174
5.1.2 定積分的定義 176
5.1.3 定積分的性質(zhì) 179
習(xí)題5.1 183
5.2 微積分基本公式 183
5.2.1 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 184
5.2.2 微積分基本公式 188
習(xí)題5.2 190
5.3 定積分的積分方法 191
5.3.1 定積分的換元積分法 191
5.3.2 定積分的分部積分法 196
習(xí)題5.3 198
5.4 定積分的近似運(yùn)算 199
5.4.1 矩形法 199
5.4.2 梯形法 199
5.4.3 拋物線法(辛普森法) 200
習(xí)題5.4 201
5.5 廣義積分 202
5.5.1 無(wú)窮限的廣義積分 202
5.5.2 無(wú)界函數(shù)的廣義積分 204
習(xí)題5.5 206
5.6 廣義積分的審斂法與 函數(shù) 206
5.6.1 無(wú)窮限的廣義積分的審斂法 206
5.6.2 無(wú)界函數(shù)的廣義積分的審斂法 208
5.6.3 函數(shù) 209
習(xí)題5.6 210
總習(xí)題5 210
第6章 定積分的應(yīng)用 213
6.1 定積分的微元法 213
6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 215
6.2.1 平面圖形的面積 215
6.2.2 體積 218
6.2.3 平面曲線的弧長(zhǎng) 221
習(xí)題6.2 223
6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 224
6.3.1 變力做功問(wèn)題 224
6.3.2 水壓力 225
6.3.3 引力 226
6.3.4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 227
習(xí)題6.3 228
總習(xí)題6 228
第7章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 230
7.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 230
7.1.1 引例 230
7.1.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 231
7.1.3 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 233
習(xí)題7.1 236
7.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 237
7.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 237
7.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法 244
7.2.3 絕對(duì)收斂與條件收斂 245
習(xí)題7.2 247
7.3 冪級(jí)數(shù) 249
7.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 249
7.3.2 冪級(jí)數(shù)的收斂性 250
7.3.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 255
習(xí)題7.3 258
7.4 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 259
7.4.1 泰勒級(jí)數(shù)的概念 259
7.4.2 將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 261
習(xí)題7.4 267
7.5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用 267
7.5.1 求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 267
7.5.2 函數(shù)值的近似計(jì)算 268
7.5.3 定積分的近似計(jì)算 269
7.5.4 歐拉公式 270
習(xí)題7.5 271
7.6 傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù) 272
7.6.1 三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)的正交性 272
7.6.2 周期為2π的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 273
7.6.3 周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 280
7.6.4 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 283
習(xí)題7.6 285
總習(xí)題7 287
習(xí)題參考答案及提示 291
參考書(shū)目 328