本書系統(tǒng)介紹了各類常用幾何形狀微分求積升階譜有限單元的構(gòu)造方法并給出了大量算例，一維單元有桿單元和梁單元，二維單元有C0和C1三角形和四邊形單元，三維體單元有四面體、三棱柱和六面體單元。給出的算例有靜力學(xué)問題也有動力學(xué)問題，有各向同性材料也有各向異性材料和疊層復(fù)合材料，有線性問題也有非線性問題，有平板也有殼體和實體結(jié)構(gòu)。本書主要側(cè)重算法，但也對高階網(wǎng)格生成做了介紹。
有限元方法自20世紀(jì)60年代正式提出以來便以其有效性和通用性得到工程、科研人員的普遍重視，并廣泛應(yīng)用于各類工程領(lǐng)域。傳統(tǒng)有限元技術(shù)主要通過加密網(wǎng)格來提高精度（h-型），該方法以其簡單有效、數(shù)值特性良好已經(jīng)成為各大商用軟件的主流方法，經(jīng)過多年的發(fā)展以及工程問題的檢驗，其相關(guān)技術(shù)已日趨成熟。然而，傳統(tǒng)有限元方法在實際應(yīng)用中通常會出現(xiàn)收斂速度較慢、復(fù)雜模型前處理困難以及難以實現(xiàn)自適應(yīng)分析等困難．據(jù)統(tǒng)計工程分析中80%以上的時間用于前處理，這些問題已經(jīng)成為傳統(tǒng)有限元方法發(fā)展的瓶頸。伴隨傳統(tǒng)低階有限元方法技術(shù)的發(fā)展，通過提高多項式的階次來提高精度（p-型）的高階有限元方法也在發(fā)展，由于該方法采用很少的自由度即可得到很高精度的結(jié)果，因此得到工程、科研人員的廣泛研究。Babuska等從理論上證明了p-方法具有比h-方法更好的收斂特性，在合適的網(wǎng)格下甚至能達到指數(shù)收斂速度。研究表明高階方法對網(wǎng)格奇異和各種閉鎖問題不敏感。如果在自由度安排上，p階單元矩陣是p+1階單元矩陣的一個子陣，則稱為升階譜有限元方法。Zienkiewicz在20世紀(jì)70年代提出了升階譜有限元方法的概念，該方法以其易于實現(xiàn)自適應(yīng)分析的特點而得到認可，并在20世紀(jì)七八十年代得到迅速發(fā)展。其中，我國學(xué)者諸德超教授的研究工作對一升階譜單元的構(gòu)造做出了突出貢獻，其對目前升階譜方法中廣泛采用的正交基函數(shù)的構(gòu)造做出了重要貢獻。Babuska等在1989年創(chuàng)建了ESRD公司并發(fā)布了□□套p-型單元程序StressCheck。值得指出的是，高階方法對單元的幾何精度提出了更高的要求，同時由于數(shù)值穩(wěn)定性等問題，使得升階譜有限元方法的應(yīng)用遠沒有常規(guī)有限元方法普及。
20世紀(jì)80年代，Bellman等提出了微分求積方法來求解微分方程的初邊值問題。90年代Bert等將微分求積方法引入到結(jié)構(gòu)分析中，應(yīng)用表明該方法不僅計算精度高，同時還具有計算量小的特性，因此受到廣泛關(guān)注。其高精度主要是因為采用了基于非均勻分布結(jié)點的全局插值函數(shù)�！醭醯奈⒎智蠓e方法由于采用強形式的計算格式，使得該方法在邊界條件的處理、單元的組裝上存在困難。微分求積方法非均勻結(jié)點的應(yīng)用對降低結(jié)構(gòu)矩陣的條件數(shù)具有良好作用，但在處理不規(guī)則區(qū)域的高階導(dǎo)數(shù)時還是容易出現(xiàn)數(shù)值計算困難。邢譽峰和劉波把微分求積方法和微分方程的弱形式相結(jié)合，提出了微分求積有限元方法，有效降低了導(dǎo)數(shù)階次，并使得其在邊界條件施加和單元組裝方面與常規(guī)有限元方法一樣，解決了微分求積方法的上述難題。該方法□具有特點的地方是把微分求積結(jié)點取為高斯一洛巴托積分點，使得在充分利用微分求積方法高精度特性的同時離散了勢能泛函并盡可能地減少了計算量。微分求積有限元方法在計算過程中表現(xiàn)出計算精度高、計算量小等特點。但由于微分求積有限元方法采用拉格朗日函數(shù)的張量積形式作為二維和三維問題的基函數(shù)，從而使得局部的網(wǎng)格加密會引起全局網(wǎng)格的變化、鏈接不同自由度的單元以及構(gòu)造采用非均勻分布結(jié)點的三角形單元變得困難。
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