█ 從數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)到數(shù)理金融學(xué)的百年回顧（代引言）

/史樹中(北京大學(xué)光華管理學(xué)院)

1874年1月,在瑞士洛桑大學(xué)擁有教席的法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦爾拉斯發(fā)表了他的論文《交換的數(shù)學(xué)理論原理》,首次公開他的一般經(jīng)濟(jì)均衡理論的主要觀點(diǎn).雖然人們通常認(rèn)為數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的創(chuàng)始人是法國數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家和哲學(xué)家古諾(A.A. Cournot,18011877),他在1838年出版了《財富理論的數(shù)學(xué)原理研究》一書,但是對今日的數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)影響最大的是瓦爾拉斯的一般經(jīng)濟(jì)均衡理論.尤其是,直到現(xiàn)在為止,一般經(jīng)濟(jì)均衡理論仍然是唯一對經(jīng)濟(jì)整體提出的理論.

▌1　一般經(jīng)濟(jì)均衡理論和數(shù)學(xué)公理化

所謂一般經(jīng)濟(jì)均衡理論大致可以這樣來簡述:在一個經(jīng)濟(jì)體中有許多經(jīng)濟(jì)活動者,其中一部分是消費(fèi)者,一部分是生產(chǎn)者.消費(fèi)者追求消費(fèi)的最大效用,生產(chǎn)者追求生產(chǎn)的最大利潤,他們的經(jīng)濟(jì)活動分別形成市場上對商品的需求和供給.市場的價格體系會對需求和供給進(jìn)行調(diào)節(jié),最終使市場達(dá)到一個理想的一般均衡價格體系.在這個體系下,需求與供給達(dá)到均衡,而每個消費(fèi)者和每個生產(chǎn)者也都達(dá)到了他們的最大化要求.

瓦爾拉斯把上述思想表達(dá)為這樣的數(shù)學(xué)問題:假定市場上一共有l(wèi)種商品,每一種商品的供給和需求都是這l種商品的價格的函數(shù).于是這l種商品的供需均衡就得到l個方程.但是價格需要有一個計量單位,或者說實際上只有各種商品之間的比價才有意義,因而這l種商品的價格之間只有l(wèi)-1種商品的價格是獨(dú)立的.為此,瓦爾拉斯又加入了一個財務(wù)均衡關(guān)系,即所有商品供給的總價值應(yīng)該等于所有商品需求的總價值.這一關(guān)系現(xiàn)在就稱為瓦爾拉斯法則,它被用來消去一個方程.這樣,瓦爾拉斯最終就認(rèn)為,他得到了求l-1種商品價格的l-1個方程所組成的方程組.按照當(dāng)時已為人們熟知的線性方程組理論,這個方程組有解,其解就是一般均衡價格體系.

瓦爾拉斯當(dāng)過工程師,也專門向人求教過數(shù)學(xué),這使他能把他的一般經(jīng)濟(jì)均衡的思想表達(dá)成數(shù)學(xué)形式.但是他的數(shù)學(xué)修養(yǎng)十分有限.事實上,他提出的上述數(shù)學(xué)論證在數(shù)學(xué)上是站不住腳的.這是因為,如果方程組不是線性的,那么方程組中的方程個數(shù)與方程是否有解就沒有什么直接關(guān)系.于是從數(shù)學(xué)的角度來看,長期以來瓦爾拉斯的一般經(jīng)濟(jì)均衡體系始終沒有堅實的基礎(chǔ).

這個問題經(jīng)過數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家80年的努力,才得以解決.其中包括大數(shù)學(xué)家馮·諾依曼(J. von Neumann,19031957),他曾在1930年代投身到一般經(jīng)濟(jì)均衡的研究中去,并因此提出他的著名的經(jīng)濟(jì)增長模型;還包括1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者列昂節(jié)夫(W. Leontiev,19061999),他在1930年代末開始他的投入產(chǎn)出方法的研究,這種方法實質(zhì)上是一個一般經(jīng)濟(jì)均衡的線性模型.

分別獲得1970年和1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的薩繆爾森(P. Samuleson,1915)和希克斯(J.R. Hicks,19041989),也是因他們用數(shù)學(xué)方式研究一般經(jīng)濟(jì)均衡體系而著稱.而最終在1954年給出一般經(jīng)濟(jì)均衡存在性嚴(yán)格證明的是阿羅(K. Arrow,1921)和德布魯.他們對一般經(jīng)濟(jì)均衡問題給出了富有經(jīng)濟(jì)含義的數(shù)學(xué)模型,即利用1941年日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫(Kakutani Shizuo,1911)對1911年發(fā)表的布勞維爾不動點(diǎn)定理的推廣,才給出一般經(jīng)濟(jì)均衡價格體系的存在性證明.阿羅和德布魯也因此先后于1972年和1983年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎.

阿羅和德布魯都以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)開始他們的學(xué)術(shù)生涯.阿羅有數(shù)學(xué)的學(xué)士和碩士學(xué)位,德布魯則完全是主張公理化、結(jié)構(gòu)化方法的法國布爾巴基學(xué)派培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)家.他們兩人是繼馮·諾依曼后最早在經(jīng)濟(jì)學(xué)中引入數(shù)學(xué)公理化方法的學(xué)者.阿羅在1951年出版的《社會選擇與個人價值》一書中,嚴(yán)格證明了滿足一些必要假設(shè)的社會決策原則不可能不恒同于某個人說了算的獨(dú)裁原則.這就是著名的阿羅不可能性定理.而德布魯則是在他與阿羅一起證明的一般經(jīng)濟(jì)均衡存在定理的基礎(chǔ)上,把整個一般經(jīng)濟(jì)均衡理論嚴(yán)格數(shù)學(xué)公理化,形成他于1959年出版的《價值理論》一書.這本114頁的小書,今天已被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的里程碑.

經(jīng)濟(jì)學(xué)為什么需要數(shù)學(xué)公理化方法?這是一個始終存在爭論的問題.對于這個問題,德布魯?shù)幕卮鹗?堅持?jǐn)?shù)學(xué)嚴(yán)格性,使公理化已經(jīng)不止一次地引導(dǎo)經(jīng)濟(jì)學(xué)家對新研究的問題有更深刻的理解,并使適合這些問題的數(shù)學(xué)技巧用得更好.這就為向新方向開拓建立了一個可靠的基地,它使研究者從必須推敲前人工作的每一細(xì)節(jié)的桎梏中解脫出來.嚴(yán)格性無疑滿足了許多當(dāng)代經(jīng)濟(jì)學(xué)家的智力需要,因此,他們?yōu)榱俗陨淼脑�因而追求�?但是作為有效的思想工具,它也是理論的標(biāo)志.[1]在這樣的意義下,才能正確理解現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理金融學(xué)的發(fā)展究竟意味著什么.當(dāng)然,這并非說通過對各種現(xiàn)象、實例、故事的描述、羅列、區(qū)分,使人們從中悟出許多哲理來的文學(xué)文化的認(rèn)識方法不能認(rèn)識經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)的一些方面.但是,認(rèn)為經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)不需要用公理化方法架構(gòu)的科學(xué)理論,而只需要對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實、金融市場察顏觀色的經(jīng)驗,那將更不能認(rèn)識經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)的本質(zhì).

▌2　從華爾街革命追溯到1900年

狹義的金融學(xué)是指金融市場的經(jīng)濟(jì)學(xué).現(xiàn)代意義下的金融市場至少已有300年以上的歷史,它從一開始就是經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究對象.但人們通常認(rèn)為現(xiàn)代金融學(xué)只有不到50年的歷史.這50年也就是使金融學(xué)成為可用數(shù)學(xué)公理化方法架構(gòu)的歷史.

從瓦爾拉斯-阿羅-德布魯?shù)囊话憬?jīng)濟(jì)均衡體系的觀點(diǎn)來看,現(xiàn)代金融學(xué)的第一篇文獻(xiàn)是阿羅于1953年發(fā)表的論文《證券在風(fēng)險承擔(dān)的最優(yōu)配置中的作用》.在這篇論文中,阿羅把證券理解為在不確定的不同狀態(tài)下有不同價值的商品.這一思想后來又被德布魯所發(fā)展,他把原來的一般經(jīng)濟(jì)均衡模型通過拓廣商品空間的維數(shù)來處理金融市場,其中證券無非是不同時間、不同情況下有不同價值的商品.但是后來大家發(fā)現(xiàn),把金融市場用這種方式混同于普通商品市場是不合適的.原因在于它掩蓋了金融市場的不確定性本質(zhì).尤其是其中隱含著對每一種可能發(fā)生的狀態(tài)都有相應(yīng)的證券相對應(yīng),如同每一種可能有的金融風(fēng)險都有保險那樣,與現(xiàn)實相差太遠(yuǎn).

這樣,經(jīng)濟(jì)學(xué)家又為金融學(xué)尋求其他的數(shù)學(xué)架構(gòu).新的用數(shù)學(xué)來架構(gòu)的現(xiàn)代金融學(xué)被認(rèn)為是兩次華爾街革命的產(chǎn)物.第一次華爾街革命是指1952年馬科維茨的證券組合選擇理論的問世.第二次華爾街革命是指1973年布萊克-肖爾斯期權(quán)定價公式的問世.這兩次革命的特點(diǎn)之一都是避開了一般經(jīng)濟(jì)均衡的理論框架,以致在很長時期內(nèi)都被傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為是異端邪說.但是它們又確實使以華爾街為代表的金融市場引起了革命,從而最終也使金融學(xué)發(fā)生根本改觀.馬科維茨因此榮獲1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎,肖爾斯(M. Scholes,1941)則和對期權(quán)定價理論作出系統(tǒng)研究的默頓一起榮獲1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎.布萊克(F. Black,19381995)不幸早逝,沒有與他們一起領(lǐng)獎.

馬科維茨研究的是這樣一個問題:一個投資者同時在許多種證券上投資,那么應(yīng)該如何選擇各種證券的投資比例,使得投資收益最大,風(fēng)險最小.馬科維茨在觀念上的最大貢獻(xiàn),在于他把收益與風(fēng)險這兩個原本有點(diǎn)含糊的概念明確為具體的數(shù)學(xué)概念.由于證券投資上的收益是不確定的,馬科維茨首先把證券的收益率看作一個隨機(jī)變量,而收益定義為這個隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望),風(fēng)險則定義為這個隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差(這與人們通常把風(fēng)險看作可能有的損失的思想相差甚遠(yuǎn)).于是,如果把各證券的投資比例看作變量,問題就可歸結(jié)為怎樣使證券組合的收益最大、風(fēng)險最小的數(shù)學(xué)規(guī)劃.對每一固定收益都求出其最小風(fēng)險,那么在風(fēng)險-收益平面上,就可畫出一條曲線,它稱為組合前沿.

馬科維茨理論的基本結(jié)論是:在證券允許賣空的條件下,組合前沿是一條雙曲線的一支;在證券不允許賣空的條件下,組合前沿是若干段雙曲線段的拼接.組合前沿的上半部稱為有效前沿.對于有效前沿上的證券組合來說,不存在收益和風(fēng)險兩方面都優(yōu)于它的證券組合.這對于投資者的決策來說自然有很重要的參考價值.

馬科維茨理論是一種純技術(shù)性的證券組合選擇理論.這一理論是他在芝加哥大學(xué)作的博士論文中提出的.但在論文答辯時,它被一位當(dāng)時已享有盛名、后以貨幣主義而獲1976年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的弗里德曼(M. Friedman,1912)斥之為這不是經(jīng)濟(jì)學(xué)!為此,馬科維茨不得不引入以收益和風(fēng)險為自變量的效用函數(shù),來使他的理論納入通常的一般經(jīng)濟(jì)均衡框架.

馬科維茨的學(xué)生夏普(W. Sharpe,1934)和另一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家,則進(jìn)一步在一般經(jīng)濟(jì)均衡的框架下,假定所有投資者都以這種效用函數(shù)來決策,從而導(dǎo)出全市場的證券組合收益率是有效的以及所謂資本資產(chǎn)定價模型(Capital Asset Pricing Model,簡稱CAPM).夏普因此與馬科維茨一起榮獲1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎.另一位1981年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者托賓(J. Tobin,1918)在對于允許賣空的證券組合選擇問題的研究中,導(dǎo)出每一種有效證券組合都是一種無風(fēng)險資產(chǎn)與一種特殊的風(fēng)險資產(chǎn)的組合(它稱為二基金分離定理),從而得出一些宏觀經(jīng)濟(jì)方面的結(jié)論.

在1990年與馬科維茨、夏普一起分享諾貝爾獎的另一位經(jīng)濟(jì)學(xué)家是新近剛?cè)ナ赖拿桌?他與另一位在1985年獲得諾貝爾獎的莫迪利阿尼(F. Modigliani,1918)一起在1958年以后發(fā)表了一系列論文,探討公司的財務(wù)政策(分紅、債權(quán)/股權(quán)比等)是否會影響公司的價值這一主題.他們的結(jié)論是:在理想的市場條件下,公司的價值與財務(wù)政策無關(guān).這些結(jié)論后來就被稱為莫迪利阿尼-米勒定理.他們的研究不但為公司理財這門新學(xué)科奠定了基礎(chǔ),并且首次在文獻(xiàn)中明確提出無套利假設(shè).

所謂無套利假設(shè),是指在一個完善的金融市場中,不存在套利機(jī)會(即確定的低買高賣之類的機(jī)會).因此,如果兩個公司將來的(不確定的)價值是一樣的,那么它們今天的價值也應(yīng)該一樣,而與它們財務(wù)政策無關(guān);否則人們就可通過買賣兩個公司的股票來獲得套利.達(dá)到一般經(jīng)濟(jì)均衡的金融市場顯然一定滿足無套利假設(shè).這樣,莫迪利阿尼-米勒定理與一般經(jīng)濟(jì)均衡框架是相容的.

但是,直接從無套利假設(shè)出發(fā)來對金融產(chǎn)品定價,則使論證大大簡化.這就給人以啟發(fā),不必非要背上沉重的一般經(jīng)濟(jì)均衡的十字架不可,從無套利假設(shè)出發(fā)就已可為金融產(chǎn)品的定價得到許多結(jié)果.從此,金融經(jīng)濟(jì)學(xué)就開始以無套利假設(shè)作為出發(fā)點(diǎn).

以無套利假設(shè)作為出發(fā)點(diǎn)的一大成就也就是布萊克-肖爾斯期權(quán)定價理論.所謂(股票買入)期權(quán)是指以某固定的執(zhí)行價格在一定的期限內(nèi)買入某種股票的權(quán)利.期權(quán)在它被執(zhí)行時的價格很清楚,即:如果股票的市價高于期權(quán)規(guī)定的執(zhí)行價格,那么期權(quán)的價格就是市價與執(zhí)行價格之差;如果股票的市價低于期權(quán)規(guī)定的執(zhí)行價格,那么期權(quán)是無用的,其價格為零.現(xiàn)在要問:期權(quán)在其被執(zhí)行前應(yīng)該怎樣用股票價格來定價?

為解決這一問題,布萊克和肖爾斯先把模型連續(xù)動態(tài)化.他們假定模型中有兩種證券,一種是債券,它是無風(fēng)險證券,也是證券價值的計量基準(zhǔn),其收益率是常數(shù);另一種是股票,它是風(fēng)險證券,沿用馬科維茨的傳統(tǒng),它也可用證券收益率的期望和方差來刻畫,但是動態(tài)化以后,其價格的變化滿足一個隨機(jī)微分方程,其含義是隨時間變化的隨機(jī)收益率,其期望值和方差都與時間間隔成正比.這種隨機(jī)微分方程稱為幾何布朗運(yùn)動.然后,利用每一時刻都可通過股票和期權(quán)的適當(dāng)組合對沖風(fēng)險,使得該組合變成無風(fēng)險證券,從而就可得到期權(quán)價格與股票價格之間的一個偏微分方程,其中的參數(shù)是時間、期權(quán)的執(zhí)行價格、債券的利率和股票價格的波動率.出人意料的是,這一方程居然還有顯式解.于是布萊克-肖爾斯期權(quán)定價公式就這樣問世了.

與馬科維茨的遭遇類似,布萊克-肖爾斯公式的發(fā)表也困難重重地經(jīng)過好幾年.與市場中投資人行為無關(guān)的金融資產(chǎn)的定價公式,對于習(xí)慣于用一般經(jīng)濟(jì)均衡框架對商品定價的經(jīng)濟(jì)學(xué)家來說很難接受.這樣,布萊克和肖爾斯不得不直接到市場中去驗證他們的公式.結(jié)果令人非常滿意.有關(guān)期權(quán)定價實證研究結(jié)果先在1972年發(fā)表,然后再是理論分析于1973年正式發(fā)表.與此幾乎同時的是芝加哥期權(quán)交易所也在1973年正式推出16種股票期權(quán)的掛牌交易(在此之前期權(quán)只有場外交易),使得衍生證券市場從此蓬蓬勃勃地發(fā)展起來.布萊克-肖爾斯公式也因此有數(shù)不清的機(jī)會得到充分驗證,而使它成為人類有史以來應(yīng)用最頻繁的一個數(shù)學(xué)公式.

布萊克-肖爾斯公式的成功與默頓的研究是分不開的,后者甚至在把他們的理論深化和系統(tǒng)化上作出更大的貢獻(xiàn).默頓的研究后來被總結(jié)在1990年出版的《連續(xù)時間金融學(xué)》一書中.對金融問題建立連續(xù)時間模型也在近30年中成為金融學(xué)的核心.這如同連續(xù)變量的微分學(xué)在瓦爾拉斯時代進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)那樣,盡管現(xiàn)實的經(jīng)濟(jì)變量極少是連續(xù)的,微分學(xué)能強(qiáng)有力地處理經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最大效用問題;而連續(xù)變量的金融模型,同樣使強(qiáng)有力的隨機(jī)分析更深刻地揭示金融問題的隨機(jī)性.

不過,用連續(xù)時間模型來處理金融問題并非從布萊克-肖爾斯-默頓理論開始.1950年代,薩繆爾森就已發(fā)現(xiàn),一位幾乎被人遺忘的法國數(shù)學(xué)家巴施里葉(L.Bachelier,18701946)早在1900年已在其博士論文《投機(jī)理論》中用布朗運(yùn)動來刻畫股票的價格變化,并且這是歷史上第一次給出的布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)定義,比人們熟知的愛因斯坦(A. Einstein,18791955)1905年的有關(guān)布朗運(yùn)動的研究還要早.

尤其是,巴施里葉實質(zhì)上已開始研究期權(quán)定價理論,而布萊克-肖爾斯-默頓的工作其實都是在薩繆爾森的影響下,延續(xù)了巴施里葉的工作.這樣一來,數(shù)理金融學(xué)的祖師爺就成了巴施里葉.對此,法國人感到很自豪,最近他們專門成立了國際性的巴施里葉協(xié)會.2000年6月,協(xié)會在巴黎召開第一屆盛大的國際巴施里葉會議,以紀(jì)念巴施里葉的論文問世100周年.　　

▌3　誰將是下一位金融學(xué)諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主

布萊克-肖爾斯公式的成功,也是用無套利假設(shè)來為金融資產(chǎn)定價的成功.這一成功促使1976年羅斯(S.A. Ross,1944)的套利定價理論(Arbitrage Pricing Theory,簡稱APT)的出現(xiàn).APT是作為CAPM的替代物而問世的.CAPM的驗證涉及對市場組合是否有效的驗證,但是這在實證上是不可行的.于是針對CAPM的單因素模型,羅斯提出目前被統(tǒng)稱為APT的多因素模型來取代它.對此,羅斯構(gòu)造了一個一般均衡模型,證明了各投資者持有的證券價值在市場組合中的份額越來越小時,每種證券的收益都可用若干基本經(jīng)濟(jì)因素來一致近似地線性表示.后來有人發(fā)現(xiàn),如果僅僅需要對各種金融資產(chǎn)定價的多因素模型作出解釋,并不需要一般均衡框架,而只需要線性模型假設(shè)和近似無套利假設(shè):如果證券組合的風(fēng)險越來越小,那么它的收益率就會越來越接近無風(fēng)險收益率.

這樣,羅斯的APT就變得更加名副其實.從理論上來說,羅斯在其APT的經(jīng)典論文中更重要的貢獻(xiàn)是提出了套利定價的一般原理,其結(jié)果后來被稱為資產(chǎn)定價基本定理.這條定理可表述為:無套利假設(shè)等價于存在對未來不確定狀態(tài)的某種等價概率測度,使得每一種金融資產(chǎn)對該等價概率測度的期望收益率都等于無風(fēng)險證券的收益率.1979年羅斯還與考克斯(J.C. Cox)、魯賓斯坦(M. Rubinstein)一起,利用這樣的資產(chǎn)定價基本定理對布萊克-肖爾斯公式給出了一種簡化證明,其中股票價格被設(shè)想為在未來若干時間間隔中越來越不確定地分叉變化,而每兩個時間間隔之間都有上述的未來收益的期望值等于無風(fēng)險收益率成立.由此得到期權(quán)定價的離散模型.而布萊克-肖爾斯公式無非是這一離散模型當(dāng)時間間隔趨向于零時的極限.

這樣一來,金融經(jīng)濟(jì)學(xué)就在很大程度上離開了一般經(jīng)濟(jì)均衡框架,而只需要從等價于無套利假設(shè)的資產(chǎn)定價基本定理出發(fā).由此可以得到許多為金融資產(chǎn)定價的具體模型和公式,并且形成商學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)投資學(xué)的主要內(nèi)容.1998年米勒在德國所作的題為《金融學(xué)的歷史》的報告中把這樣的現(xiàn)象描述成:金融學(xué)研究被分流為經(jīng)濟(jì)系探討的宏觀規(guī)范金融學(xué)和商學(xué)院探討的微觀規(guī)范金融學(xué).這里的主要區(qū)別之一就在于是否要納入一般經(jīng)濟(jì)均衡框架.同時,米勒還指出,在金融學(xué)研究中,規(guī)范研究與實證研究之間的界線倒并不很清晰.無論是經(jīng)濟(jì)系的宏觀規(guī)范研究還是商學(xué)院的微觀規(guī)范研究一般都少不了運(yùn)用模型和數(shù)據(jù)的實證研究.不過由于金融學(xué)研究與實際金融市場的緊密聯(lián)系,微觀規(guī)范研究顯然比宏觀規(guī)范研究要興旺得多.