本書旨在比較全面的介紹測地流的動力學(xué)基本理論和重要課題,內(nèi)容包括：測地流的基本理論及有關(guān)的微分幾何和動力系統(tǒng)基礎(chǔ)知識,負(fù)曲率黎曼流形上測地流的雙曲性、遍歷性,測地流系統(tǒng)的熵理論,Liouville可積測地流理論,極小測地線的動力學(xué)理論.此外,書中還對當(dāng)代測地流的動力學(xué)理論中的前沿問題進行了梳理.本書的部分內(nèi)容取自作者的相關(guān)研究成果,同時參考了國外已有的測地流理論的專著及相關(guān)的論文文獻資料,力求全面展現(xiàn)測地流的動力學(xué)理論的完整風(fēng)貌.
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目錄
前言
第1章 黎曼幾何、動力系統(tǒng)與測地流 1
1.1 黎曼幾何 1
1.1.1 測地線及其性質(zhì) 1
1.1.2 曲率算子與Jacobi場 9
1.2 辛幾何與哈密頓系統(tǒng) 17
1.2.1 辛空間、辛流形與Darboux定理 17
1.2.2 哈密頓系統(tǒng)與Liouville-Arnold定理 35
1.3 拉格朗日系統(tǒng)、哈密頓系統(tǒng)與測地流 48
第2章 測地流的一致雙曲性 53
2.1 Poincare上半平面H上的測地流和Horocycle流 53
2.1.1 H上的雙曲度量 53
2.1.2 H和SH上的PSL(2，R)-作用 57
2.1.3 測地流、Horocycle流及其與SH上的PSL(2，R)-作用的關(guān)系 59
2.2 負(fù)曲率黎曼流形的測地流 68
2.2.1 切叢的幾何學(xué)：Sasaki度量，Jacobi場與辛結(jié)構(gòu) 68
2.2.2 指標(biāo)引理與比較定理 77
2.2.3 測地流的一致雙曲性 93
2.3 曲面上有橫截同宿聯(lián)絡(luò)的測地流 103
第3章 測地流的遍歷性 111
3.1 負(fù)曲率流形上測地流的遍歷性 111
3.1.1 穩(wěn)定與不穩(wěn)定分布的Holder連續(xù)性 111
3.1.2 穩(wěn)定與不穩(wěn)定葉層的絕對連續(xù)性 114
3.1.3 遍歷性的證明 119
3.2 測地流中的Pesin理論與遍歷性猜想 120
3.2.1 非正曲率流形上測地流的正則子集 121
3.2.2 Pesin理論 126
3.2.3 非正曲率流形上測地流的遍歷性猜想 131
3.3 某類非正曲率曲面上測地流的遍歷性 131
第4章 測地流的拓?fù)潇睾蜏y度熵 141
4.1 流形的幾何與測地流的拓?fù)潇兀篗anning不等式 141
4.2 流形的拓?fù)渑c測地流的拓?fù)潇兀篋inaburg定理 152
4.3 測地流的Liouville測度熵：Pesin熵公式 157
4.4 測地流的熵的剛性：Katok熵猜想 163
4.5 測地流的熵可擴性 176
第5章 測地流的Liouville可積性 187
5.1 Liouville可積測地流的兩個例子 187
5.2 測地流Liouville可積的拓?fù)湔系K 190
5.3 拓?fù)潇貫榱愕墓饣琇iouville可積測地流 193
5.4 拓?fù)潇貫檎墓饣琇iouville可積測地流 201
5.5 自然哈密頓系統(tǒng)的異宿軌道 206
第6章 極小測地線與測地流的Mather理論 221
6.1 極小測地線 221
6.2 閉測地線及極小閉測地線 223
6.3 測地流的Mather理論 230
6.3.1 正定拉格朗日系統(tǒng)的極小軌道 231
6.3.2 極小測度與旋轉(zhuǎn)向量 235
6.3.3 基本性質(zhì) 238
6.3.4 關(guān)于極小測地線的一些基本結(jié)論 241
6.4 環(huán)面上的極小測地線 245
6.5 高虧格曲面上測地流的Mather理論 254
6.5.1 高虧格曲面上閉曲線的拓?fù)湫再|(zhì) 255
6.5.2 具有有理旋轉(zhuǎn)向量的極小軌道和極小測度 259
第7章 未解決的問題和注記 270
7.1 未解決的問題 270
7.2 關(guān)于文獻的注記 273
參考文獻 276
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