《初等數(shù)論》共分八章,內容包括整除理論、同余、不定方程、同余方程、二次同余方程、原根和指數(shù)、實數(shù)的表示以及初等數(shù)論應用舉例。書中配有大量習題,書末附有答案與提示以及一些與數(shù)論相關的閱讀材料。
《初等數(shù)論》積累了作者多年的教學經(jīng)驗,結合國內現(xiàn)有相關文獻資料精心組織,編寫時力求做到深入淺出、循序漸進、突出重點、結構嚴謹、例題典型、注重基礎和強調適用。
《初等數(shù)論》可作為高等院校數(shù)學專業(yè)和計算機相關專業(yè)學生的教材,也可供高中數(shù)學教師教學參考。
初等數(shù)論是數(shù)學的一個源遠流長的分支。初等數(shù)論也稱整數(shù)論,主要研究整數(shù)的性質和方程的整數(shù)解,數(shù)論中最經(jīng)典和最基本的概念、方法及結論構成了初等數(shù)論的主要內容。初等數(shù)論不僅是數(shù)學思維的體操,在當前計算機時代和信息社會中,初等數(shù)論和其他離散數(shù)學分支(如組合數(shù)學、圖論和近世代數(shù)等)一樣,在計算機科學、通信工程、離散控制系統(tǒng)和代數(shù)編碼等許多領域得到日益廣泛的實際應用。初等數(shù)論不僅是數(shù)學工作者,而且也是許多從事應用和實際工作的工程技術人員不可缺少的數(shù)學基礎知識。
本書介紹初等數(shù)論中整數(shù)的整除性、同余、不定方程、同余方程、二次同余方程、原根和指數(shù)、實數(shù)的表示以及初等數(shù)論的應用等內容。它不僅適合作為高等院校數(shù)學專業(yè)和計算機相關專業(yè)學生的教材,也可作為高中數(shù)學教師的教學參考書。
本書注重思維與興趣的融合。每章開始通過引述部分達到各章之間的自然過渡;在章節(jié)內容敘述中,對重要方法給出必要的評注,達到深刻理解的目的;每章結尾給予概括性的小結;在本書最后,給出數(shù)論中幾大經(jīng)典問題的介紹,以增強教材的可讀性。
本書適合教學和自學的雙重需要,根據(jù)作者多年對初等數(shù)論的教學實踐,結合高校初等數(shù)論課程的教學大綱編寫而成,編寫時力求做到深入淺出、循序漸進、突出重點、結構嚴謹、例題典型、注重基礎和強調適用。書中在注重基本概念和基本方法的歸納總結的同時,也為每一節(jié)安排了豐富的實例和習題,為了減輕習題解題難度,還給出了參考答案或提示。本書第1、4和8章由楊海文執(zhí)筆,第2、3章由劉詠梅執(zhí)筆,第5、6和7章由王丹華執(zhí)筆,附錄由楊海文執(zhí)筆,最后由王丹華和楊海文統(tǒng)纂定稿。本書中打“*”的章節(jié),可視學時情況選講或不講。
本教材在編寫過程中參考了較多國內現(xiàn)有相關文獻資料,同時得到了井岡山大學、江西師范大學領導和北京航空航天大學出版社的大力支持,謹此致以衷心的謝忱。
限于作者水平,不妥之處在所難免,敬請廣大讀者不吝批評指教。
第1章 整除理論
1.1 數(shù)的整除性
1.2 帶余數(shù)除法
1.3 最大公因數(shù)
1.4 最小公倍數(shù)
1.5 輾轉相除法
1.6 素數(shù)與合數(shù)
1.7 算術基本定理
1.8 函數(shù)[x]與{x}及n!的標準分解式
第2章 同 余
2.1 同余的基本性質
2.2 完全剩余系
2.3 簡化剩余系
2.4 歐拉定理與費馬小定理
2.5 數(shù)論函數(shù)
第3章 不定方程
3.1 二元一次不定方程
3.2 n元一次不定方程
3.3 費馬方程
3.4 一些特殊不定方程的解法
第4章 同余方程
4.1 一次同余方程
4.2 一次同余方程組
4.3 素數(shù)冪模的同余方程
4.4 素數(shù)模同余方程及其解數(shù)
第5章 二次同余方程
5.1 二次剩余
5.2 勒讓德(Legendre)符號
5.3 高斯二次互反律
5.4 雅可比(Jacobi)符號
5.5 合數(shù)模的二次同余方程
第6章 原根和指數(shù)
6.1 階的概念及其基本性質
6.2 原根的存在性
6.3 原根的個數(shù)與求法
6.4 指數(shù)及其應用
第7章 實數(shù)的表示
7.1 實數(shù)的6進制表示
7.2 連分數(shù)的概念與性質
7.3 實數(shù)表示為簡單連分數(shù)
7.4 循環(huán)連分數(shù)
第8章 數(shù)論應用舉例
8.1 單循環(huán)比賽
8.2 星期幾的計算
8.3 RSA公鑰密碼方案
8.4 ELGamal公鑰密碼方案
附錄A 相關閱讀材料
A.1 數(shù)論(number theory)簡介
A.2 哥德巴赫猜想(Goldbach conjecture)簡介
A.3 費馬大定理(Fermat's last theorem)簡介
A.4 梅森素數(shù)(Mersenne prime)簡介
附錄B 習題參考答案及提示
附錄C 4000以內的素數(shù)及其最小原根表
參考文獻