本書是大學(xué)數(shù)學(xué)系列創(chuàng)新教材之一,內(nèi)容主要包括:空間解析幾何,空間理論初步與矢量值函數(shù)微積分, 多元函數(shù)微分學(xué),重積分,曲線積分與曲面積分,無窮級(jí)數(shù).本書風(fēng)格獨(dú)特、特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、例題典型.本書主要是基于一流大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)驗(yàn)班、新工科專業(yè)一年級(jí)工科學(xué)生實(shí)驗(yàn)班或提高班,加強(qiáng)厚實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法和應(yīng)用數(shù)學(xué)能力,強(qiáng)化邏輯思維能力的培養(yǎng)而編寫的. 本書可作為研究型大學(xué)理工科學(xué)生一年級(jí)第一學(xué)期的數(shù)學(xué)課程教材或者教學(xué)參考書,同時(shí)也可作為研究生入學(xué)考試中高等數(shù)學(xué)科目的復(fù)習(xí)資料.
1.將有限的時(shí)間與精力花在*基本的內(nèi)容、*核心的概念和*關(guān)鍵的方法上,對(duì)微積分學(xué)基本理論體系與闡述方式進(jìn)行了再處理。學(xué)習(xí)這門課的目的,是為創(chuàng)新型人才培養(yǎng)進(jìn)行知識(shí)儲(chǔ)備和打下良好的基礎(chǔ),使學(xué)生將主要精力集中在*基本的內(nèi)容、核心的概念和關(guān)鍵的方法上,掌握本課程精髓,做到學(xué)深懂透,內(nèi)容盡量精簡(jiǎn)。2.精選有一定難度的例題與習(xí)題,強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格思維訓(xùn)練與分析問題能力。改革的目的是學(xué)生達(dá)到理解與應(yīng)用,精選富于啟迪的例題并進(jìn)行簡(jiǎn)潔和完美的證明,不僅有助于學(xué)生的理解,而且使學(xué)生從中學(xué)到分析問題的方法,一定難度習(xí)題的選取,保證了學(xué)生訓(xùn)練的質(zhì)量與挑戰(zhàn),做到了少而精.3. 基于以學(xué)生為中心和問題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí), 編選了擴(kuò)展性的應(yīng)用事例和探究課題。為體現(xiàn)以學(xué)生為中心和問題驅(qū)動(dòng), 提高解決問題能力, 編制了高起點(diǎn)典范性的應(yīng)用事例和探究課題,使學(xué)生在課后可以獨(dú)立或者小組研討進(jìn)行深究和拓廣,達(dá)到初步進(jìn)入科學(xué)研究的思維訓(xùn)練研習(xí)目標(biāo)。4. 采取學(xué)術(shù)著作的寫作風(fēng)格,強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)基本概念和結(jié)論后進(jìn)行思考與補(bǔ)證。在本教材的編寫中, 幾乎所有的定義和定理后面, 有大量的 注 , 這些 注 有相當(dāng)多的是很好的結(jié)論或者命題, 學(xué)生為了弄清楚, 必須思考并證明, 達(dá)到提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 5. 部分內(nèi)容以數(shù)字化形式存在于教材中, 引入了二維碼。編寫了一些數(shù)學(xué)家的介紹和歷史資料、 部分定理和 注 的證明提示、 以及部分習(xí)題的解答思路,這些資料以數(shù)字化形式存在于教材中, 通過掃二維碼能再現(xiàn)內(nèi)容。
前言微積分既是人類智慧最偉大的成就之一, 又是人們?cè)陉U明和解決來自自然界各領(lǐng)域問題的強(qiáng)大智力工具之一. 微積分作為整個(gè)數(shù)理知識(shí)體系的基石, 不僅有著科學(xué)而優(yōu)美的語言, 而且自誕生以來的三百多年里, 一直成為培養(yǎng)人才的重要且必須掌握的內(nèi)容. 另一方面, 微積分是理工科學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要的一門基礎(chǔ)課程, 它不僅是學(xué)生進(jìn)校后面臨的第一門數(shù)學(xué)課程,而且后續(xù)許多數(shù)學(xué)課程是它在本質(zhì)上的延伸和深化. 而且, 隨著我國(guó)一流大學(xué)、一流學(xué)科建設(shè)任務(wù)的提出, 特別是2020年1月, 教育部為培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生, 開始實(shí)施“強(qiáng)基計(jì)劃”, 且不少高校還在理工科專業(yè)中設(shè)置了“本碩博貫通培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)班”, “強(qiáng)基計(jì)劃”與“本碩博貫通”都要求學(xué)生有很強(qiáng)的邏輯思維能力訓(xùn)練和厚實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ);同時(shí),2017年2月以來, 教育部積極推進(jìn)“新工科”專業(yè)建設(shè), 這些”新工科“專業(yè)以培養(yǎng)創(chuàng)新型和復(fù)合型人才為主, 需要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、計(jì)算能力、實(shí)際應(yīng)用能力、團(tuán)結(jié)協(xié)作能力和創(chuàng)新能力, 這些能力的培養(yǎng)對(duì)微積分課程的內(nèi)容和形式提出了新的要求, 其根本目標(biāo)是著力幫助學(xué)生為進(jìn)入新工科領(lǐng)域做好準(zhǔn)備. 因此,為配合“強(qiáng)基計(jì)劃”、“本碩博貫通”和“新工科”這種創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式的課程改革, 真正體現(xiàn)特色、符合改革精神. 我們結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn), 加大了改革的力度與深度, 提高了“高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)性”, 希望達(dá)到推動(dòng)課堂教學(xué)革命, 打造“金課”, 對(duì)微積分這門課程教材進(jìn)行了改革與創(chuàng)新, 形成了本教材的編寫指導(dǎo)思想:1. 將有限的時(shí)間與精力花在最基本的內(nèi)容、最核心的概念和最關(guān)鍵的方法上, 對(duì)微積分學(xué)基本理論體系與闡述方式進(jìn)行了再處理: 學(xué)習(xí)這門課的目的, 是為創(chuàng)新型人才培養(yǎng)進(jìn)行知識(shí)儲(chǔ)備和打下良好的基礎(chǔ), 使學(xué)生將主要精力集中在最基本的內(nèi)容、核心的概念和關(guān)鍵的方法上, 掌握本課程精髓, 做到學(xué)深懂透, 內(nèi)容盡量精簡(jiǎn).2. 精選有一定難度的例題與習(xí)題, 強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格思維訓(xùn)練與分析問題能力: 改革的目的是使學(xué)生達(dá)到理解與應(yīng)用, 精選富于啟迪的例題并進(jìn)行簡(jiǎn)潔和完美的證明, 不僅有助于學(xué)生的理解, 而且使學(xué)生從中學(xué)到分析問題的方法; 一定難度的習(xí)題選取, 保證了學(xué)生訓(xùn)練的質(zhì)量與挑戰(zhàn), 做到了少而精.3. 基于以學(xué)生為中心和問題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí), 編選了擴(kuò)展性的應(yīng)用事例和探究課題: 為體現(xiàn)以學(xué)生為中心和問題驅(qū)動(dòng), 提高解決問題能力, 編制了高起點(diǎn)典范性的應(yīng)用事例和探究課題,使學(xué)生在課后可以獨(dú)立或者小組研討進(jìn)行深究和拓廣,達(dá)到初步進(jìn)入科學(xué)研究的思維訓(xùn)練研習(xí)目標(biāo)。4. 采取學(xué)術(shù)著作的寫作風(fēng)格, 強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)基本概念和結(jié)論后進(jìn)行思考與補(bǔ)證: 在本教材的編寫中, 幾乎所有的定義和定理后面, 有大量的“注”, 這些“注”有相當(dāng)多的是很好的結(jié)論或者命題, 學(xué)生為了弄清楚, 必須思考并證明, 達(dá)到提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).5. 部分內(nèi)容以數(shù)字化形式存在于教材中, 引入了二維碼: 編寫了一些數(shù)學(xué)家的介紹和歷史資料、部分定理和“注”的證明提示, 以及部分習(xí)題的解答思路, 這些資料以數(shù)字化形式存在于教材中, 通過掃二維碼能再現(xiàn)內(nèi)容.囿于學(xué)識(shí), 本書錯(cuò)誤和不妥之處在所難免, 敬請(qǐng)廣大讀者批評(píng)指正.作 者2020年6月于華中科技大學(xué)
理學(xué)博士,華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授。2000年9月—2005年12月,在華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)學(xué)習(xí),碩博連讀,獲得理學(xué)博士學(xué)位;2004年9月至今在華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院工作;2009年8月—2010年8月,國(guó)家公派前往芝加哥伊利諾理工學(xué)院進(jìn)行博士后訪學(xué)。主要從事隨機(jī)分析、數(shù)理統(tǒng)計(jì)及應(yīng)用統(tǒng)計(jì)相關(guān)問題研究;擔(dān)任數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方向碩士導(dǎo)師。參與和主持多項(xiàng)科研和教改項(xiàng)目,以第一作者或通信作者發(fā)表學(xué)術(shù)與教研論文共20余篇。
第7章空間解析幾何(1)
7.1矢量代數(shù)與坐標(biāo)系(1)
7.1.1矢量概念(1)
7.1.2矢量的線性運(yùn)算(1)
7.1.3空間直角坐標(biāo)系(2)
7.1.4矢量的數(shù)量積與矢量積(4)
習(xí)題7.1(7)
7.2平面與空間直線(8)
7.2.1平面方程(8)
7.2.2空間直線方程(10)
7.2.3平面和直線的基本問題(13)
習(xí)題7.2(19)
7.3空間曲面(21)
7.3.1曲面方程(21)
7.3.2柱面、球面、旋轉(zhuǎn)曲面(21)
7.3.3二次曲面(24)
習(xí)題7.3(28)
7.4空間曲線(30)
7.4.1曲線方程(30)
7.4.2空間曲線的投影(32)
習(xí)題7.4(34)
7.5應(yīng)用事例與研究課題(34)
第8章空間理論初步(38)
8.1線性賦范空間(38)
8.1.1線性賦范空間(38)
8.1.2Banach空間(42)
8.1.3線性拓?fù)淇臻g(45)
習(xí)題8.1(47)
8.2內(nèi)積空間(48)
8.2.1內(nèi)積空間(48)
8.2.2Hilbert空間(50)
8.2.3最佳逼近(54)
習(xí)題8.2(55)
8.3應(yīng)用事例與研究課題(56)
第9章無窮級(jí)數(shù)(60)
9.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(61)
9.1.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性(61)
9.1.2收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)(63)
9.1.3級(jí)數(shù)斂散性判別(65)
習(xí)題9.1(67)
9.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)(69)
9.2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)(69)
9.2.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別(70)
習(xí)題9.2(80)
9.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)(82)
9.3.1任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性(82)
9.3.2絕對(duì)收斂與條件收斂(86)
習(xí)題9.3(91)
9.4應(yīng)用事例與研究課題(94)
9.5函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(100)
9.5.1函數(shù)列的一致收斂(101)
9.5.2一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)(107)
9.5.3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂(110)
9.5.4一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)(116)
9.5.5函數(shù)逼近(119)
9.5.6積分平均收斂(120)
習(xí)題9.5(122)
9.6應(yīng)用事例與研究課題(125)
9.7冪級(jí)數(shù)(129)
9.7.1冪級(jí)數(shù)的斂散性(130)
9.7.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)(133)
9.7.3冪級(jí)數(shù)求和(136)
9.7.4冪級(jí)數(shù)展開(139)
習(xí)題9.7(146)
9.8Fourier級(jí)數(shù)(149)
9.8.1函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)(149)
9.8.2Fourier級(jí)數(shù)的其他形式(152)
9.8.3收斂定理(156)
9.8.4Fourier級(jí)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用(163)
習(xí)題9.8(168)
9.9應(yīng)用事例與研究課題(171)
第10章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用(175)
10.1多元函數(shù)極限和連續(xù)性(175)
10.1.1多元函數(shù)的概念(175)
10.1.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)性(176)
10.1.3多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(181)
習(xí)題10.1(183)
10.2多元函數(shù)微分學(xué)(185)
10.2.1可微性與全微分(185)
10.2.2可微性條件(187)
10.2.3微分中值定理(189)
10.2.4多元函數(shù)微分的幾何意義與應(yīng)用(189)
10.2.5復(fù)合函數(shù)的微分(191)
10.2.6高階偏導(dǎo)與高階微分(193)
10.2.7多元函數(shù)的Taylor公式(197)
習(xí)題10.2(200)
10.3方向?qū)?shù)與梯度(202)
10.3.1方向?qū)?shù)(203)
10.3.2梯度(205)
習(xí)題10.3(207)
10.4隱函數(shù)定理及其應(yīng)用(207)
10.4.1隱函數(shù)定理(208)
10.4.2隱函數(shù)組定理(211)
10.4.3反函數(shù)組與坐標(biāo)變換(215)
10.4.4隱函數(shù)定理的幾何應(yīng)用(217)
10.4.4無條件極值、最大值與最小值(219)
10.4.5條件極值和Lagrange乘子法(222)
習(xí)題10.4(224)
10.5空間曲線的曲率與撓率(227)
10.5.1Frenet標(biāo)架(227)
10.5.2曲率與撓率(229)
習(xí)題10.5(231)
10.6應(yīng)用事例與探究課題(231)
第11章含參變量積分(235)
11.1含參變量定積分(235)
11.1.1含參變量定積分(235)
11.1.2含參變量定積分的性質(zhì)與應(yīng)用(236)
習(xí)題11.1(241)
11.2含參變量反常積分(243)
11.2.1含參變量反常積分的一致收斂性及其判別法(243)
11.2.2含參變量反常積分的性質(zhì)與應(yīng)用(247)
習(xí)題11.2(252)
11.3Euler積分(253)
11.3.1Gamma函數(shù)(254)
11.3.2Beta函數(shù)(255)
習(xí)題11.3(258)
11.4應(yīng)用事例與研究課題(259)
第12章多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用(263)
12.1二重積分(263)
12.1.1平面點(diǎn)集的面積(263)
12.1.2二重積分的定義與性質(zhì)(265)
12.1.3二重積分的計(jì)算(267)
12.1.4二重積分的變量變換(274)
習(xí)題12.1(278)
12.2三重積分(281)
12.2.1三重積分定義與性質(zhì)(281)
12.2.2三重積分的計(jì)算(282)
12.2.3三重積分的變量變換(285)
習(xí)題12.2(289)
12.3重積分應(yīng)用(290)
12.3.1反常重積分(291)
12.3.2含參變量重積分(293)
12.3.3曲面的面積(294)
12.3.4重積分的物理應(yīng)用(295)
習(xí)題12.3(297)
12.4曲線積分(298)
12.4.1第一型曲線積分(298)
12.4.2第一型曲線積分的計(jì)算(299)
12.4.3第二型曲線積分(301)
12.4.4第二型曲線積分的計(jì)算(302)
12.4.5兩型曲線積分的聯(lián)系(304)
習(xí)題12.4(306)
12.5曲面積分(307)
12.5.1第一型曲面積分(307)
12.5.2第一型曲面積分的計(jì)算(308)
12.5.3第二型曲面積分(310)
12.5.4第二型曲面積分的計(jì)算(312)
12.5.5兩型曲面積分的聯(lián)系(314)
習(xí)題12.5(315)
12.6三個(gè)重要公式·場(chǎng)論(316)
12.6.1Green公式(317)
12.6.2曲線積分與路徑無關(guān)的條件(320)
12.6.3Gauss公式(324)
12.6.4Stokes公式(326)
12.6.5場(chǎng)論初步(327)
習(xí)題12.6(330)
12.7應(yīng)用事例與研究課題(333)
參考文獻(xiàn)(336)