數(shù)值流形法（NMM）是以覆蓋為基礎(chǔ)的伽遼金（Galerkin）類數(shù)值方法。本書圍繞NMM的基本原理及其對巖土力學(xué)問題的初步應(yīng)用展開論述，涉及Galerkin變分法和NMM解的構(gòu)造。理論部分分別討論了以有限元網(wǎng)格和移動最小二乘法節(jié)點影響域作為數(shù)學(xué)覆蓋的NMM解的構(gòu)造，闡述了NMM與其他Galerkin類現(xiàn)代數(shù)值方法之間的關(guān)系。其中，“升階”和“切割”是NMM區(qū)別于其他Galerkin類數(shù)值方法的本質(zhì)特征。應(yīng)用部分展示了NMM在解決計算力學(xué)中幾個非共識問題方面的能力，如高階單元質(zhì)量矩陣的對角化問題、無網(wǎng)格Galerkin法本質(zhì)邊界條件的施加問題、外問題和不可壓縮問題等，這些都是基于NMM的“升階”特征而完成的。最后，討論了無壓滲流問題和壓剪裂紋擴展模擬的NMM方案，這些都體現(xiàn)了NMM的“切割”特征。
本書適合對先進數(shù)值分析方法有學(xué)習和研究興趣的所有讀者閱讀。
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作者自20世紀90年代中期就開始關(guān)注數(shù)值流形法（
numerical manifold method，NMM）了，但真正親力
親為地研究NMM是始于2012年冬，彼時作者剛擔任了一
個“973”項目的課題負責人。這個課題的主要任務(wù)是
數(shù)值仿真水電工程中的高陡巖質(zhì)邊坡在全生命周期內(nèi)的
變形和穩(wěn)定性演化，其中涉及巖石破裂過程的模擬。當
時模擬破裂的數(shù)值分析方法有很多，如無網(wǎng)格
Galerkin 法（element-free Galerkin method，EFG
）、擴展有限元法（extended finite element
method，XFEM）、離散元法（distinct element
method，DEM）和不連續(xù)變形分析法（discontinuous
deformation analysis method，DDA），以及其他為
此目的而設(shè)計的方法和軟件，如RFPA系統(tǒng)（rock
failure process analysis system，巖石破裂過程分
析系統(tǒng)）和CDEM（continuum discontinuum element
method，連續(xù)介質(zhì)非連續(xù)單元法）等。選擇NMM完全是
出于個人的知識結(jié)構(gòu)和審美情趣，我非常慶幸這一選擇
，因為經(jīng)過許多專家的共同努力，今天我們可以自豪地
說，NMM已經(jīng)成為當今主流的數(shù)值分析方法之一。這樣
說的根據(jù)不僅在于近幾年NMM領(lǐng)域的論文不斷在各主流
期刊上發(fā)表且引用頻次名列前茅，而且“數(shù)值流形法”
已成為一些雜志關(guān)鍵詞庫中的標準關(guān)鍵詞。
本書是基于作者對NMM的理解和所做的部分工作而
寫就的，素材主要來源于作者近年來受邀在海內(nèi)外講授
NMM/DDA的基本講義和部分期刊論文，旨在傳播NMM這一
現(xiàn)代數(shù)值分析方法。
全書共分為三篇。
第一篇介紹數(shù)值流形法基礎(chǔ)知識，由第1章～第4章
組成。
第1章論述Galerkin類數(shù)值方法的變分學(xué)基礎(chǔ)。固
體和結(jié)構(gòu)的有限元法（finite element method，F(xiàn)EM
）可以借助于物理直覺來建立其計算格式，如波音小組
所采用的直接剛度法。直接剛度法被有土木工程背景的
學(xué)生熟知并樂意接受。但是，直接剛度法無法用于構(gòu)建
NMM和其他Galerkin類現(xiàn)代數(shù)值方法，它們必須以問題
的弱形式或變分提法作為出發(fā)點。因此，針對一些常見
的邊值問題，作者基于自己的心得，給出了建立變分提
法的具體步驟，自以為比現(xiàn)有文獻所介紹的方法更容易
被初學(xué)者掌握。此外，在1.5節(jié)論述了處理本質(zhì)邊界條
件的廣義罰函數(shù)法和廣義拉格朗日（Lagrange）乘子法
。稱之為“廣義”是因為不要求邊值問題有相應(yīng)的勢能
泛函或里茲（Ritz）變分提法，這對于非自伴算子和一
些非線性問題有特殊的重要性。根據(jù)作者的授課經(jīng)驗，
僅學(xué)過直接剛度法有限元的研究生在接受這一章內(nèi)容時
有一定的困難。但是，欲從事現(xiàn)代工程數(shù)值分析，這是
必須要邁過的坎兒。當然，若對Galerkin變分學(xué)有相當
的了解，這一章除1.5節(jié)外可以略過不讀。
第2章以二階問題為例，論述了NMM的基礎(chǔ)，引入了
NMM中的一些基本概念，其中，對于數(shù)學(xué)覆蓋中的基本
構(gòu)成元件“片”的幾何形狀沒有做任何特殊的要求。希
望通過本章的學(xué)習，幫助讀者克服對NMM中“流形”這
一“高大上”名詞的畏懼，了解為何要引入“數(shù)學(xué)覆蓋
”和“物理覆蓋”這些似乎令人心生敬畏的名詞。第2
章實際上是NMM的核心內(nèi)容。
第3章以我們熟知的有限元網(wǎng)格為數(shù)學(xué)覆蓋來論述
NMM。通過本章的學(xué)習，讀者會了解NMM與FEM的聯(lián)系和
區(qū)別，也可進一步了解為何NMM能FEM所不能。
第4章論述非有限元覆蓋的NMM。通過本章的學(xué)習，
可以進一步加深對NMM的理解，堅信如果用NMM來審視
Galerkin類數(shù)值分析方法，可以解決囿于這些方法難以
解決的重要問題，這將在隨后的章節(jié)中反復(fù)看到。
NMM誕生于1991年（Shi，1991），是作者知曉的
最早基于單位分解來構(gòu)造Galerkin近似解的現(xiàn)代數(shù)值方
法。作者認為NMM有兩個最鮮明的特點，即“升階”和
“切割”�！吧A”不僅僅是指在片上引入高階多項式
作為片上的局部逼近，而且可以是反映解在片上局部特
性的任何函數(shù)。“切割”是為了反映不連續(xù)，進而使
NMM特別適用于在固定格子或數(shù)學(xué)覆蓋上求解一切涉及
運動界面的問題。無“切割”的NMM實際上就是單位分
解法（partition of unity method，PUM）。本書的
第二篇和第三篇正是圍繞NMM的這兩個特點而組織的。
第二篇由第5章～第8章組成，展示了利用NMM的“
升階”功能所解決的計算力學(xué)中的幾個著名難題，簡述
如下。
現(xiàn)有的有嚴格數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)的單元質(zhì)量矩陣對角化
方法僅適用于線性單元，如果將其應(yīng)用于平面八節(jié)點等
參元等高階單元，會導(dǎo)致零甚至負的節(jié)點質(zhì)量，因此不
得不借助于物理直覺來生成其對角質(zhì)量矩陣。計算力學(xué)
界普遍認為現(xiàn)有的高階單元對角質(zhì)量矩陣的生成純粹是
“tricky”。第5章以平面八節(jié)點等參元為例，先將FEM
看成NMM的特例，待在NMM框架下解決問題后，再回到
FEM并用FEM的語言給出相應(yīng)的解決方案。在數(shù)值特性方
面，基于NMM的對角質(zhì)量矩陣甚至優(yōu)于一致質(zhì)量矩陣。
EFG等現(xiàn)代數(shù)值方法在克服了FEM的某些不足的同時
也帶來了新的問題，其中**的一個問題便是本質(zhì)條件
的施加變得困難了。已有大量的論文論述這一問題
第一篇 數(shù)值流形法基礎(chǔ)
第1章 Galerkin類數(shù)值方法的變分學(xué)基礎(chǔ)
1.1 線性向量空間概要
1.2 邊值問題兩種提法的抽象形式
1.2.1 邊值問題的方程提法
1.2.2 變分提法
1.2.3 非齊次本質(zhì)邊界條件
1.2.4 Ritz變分提法
1.2.5 向量場問題
1.3 邊值問題的Galerkin變分提法實例
1.3.1 Einstein求和約定
1.3.2 兩點邊值問題
1.3.3 本質(zhì)邊界-界面條件和自然邊界-界面條件
1.3.4 變分提法的優(yōu)點
1.3.5 二階問題
1.3.6 四階問題
1.3.7 非自伴算子的邊值問題
1.4 Galerkin法
1.4.1 齊次本質(zhì)邊界條件
1.4.2 非齊次本質(zhì)邊界條件的處理——精確方法
1.4.3 矢量場的Galerkin法——以三維彈性力學(xué)為例
1.5 廣義罰函數(shù)法和廣義Lagrange乘子法
1.5.1 再談本質(zhì)邊界-界面條件
1.5.2 罰函數(shù)法
1.5.3 Lagrange乘子法
第2章 數(shù)值流形法基礎(chǔ)——以二階問題為例
2.1 數(shù)學(xué)覆蓋及其權(quán)函數(shù)
2.2 物理覆蓋及其權(quán)函數(shù)
2.3 局部逼近和整體逼近
2.4 NMM解的變分合法性
2.5 NMM小結(jié)
本章附錄 關(guān)于流形的直觀定義
第3章 有限元覆蓋
3.1 NMM視角下的FEM
3.2 基于有限元覆蓋的NMM
3.3 基于有限元覆蓋的NMM的實質(zhì)
3.3.1 被邊界所切割的流形單元
3.3.2 被結(jié)構(gòu)面完全切割所生成的流形單元
3.3.3 被結(jié)構(gòu)面部分切割所生成的流形單元
3.4 采用高階多項式局部逼近時的線性相關(guān)問題
3.5 流形單元上的積分和總體矩陣的組裝
3.5.1 非奇異被積函數(shù)的積分
3.5.2 含1/r奇異性的被積函數(shù)的數(shù)值積分
第4章 非有限元覆蓋的數(shù)值流形法
4.1 移動最小二乘法
4.2 關(guān)于MLS-權(quán)的選取和基于MLS的覆蓋系統(tǒng)
4.2.1 關(guān)于MLS-權(quán)的選取和生成
4.2.2 基于MLS的覆蓋系統(tǒng)
4.3 背景網(wǎng)格
第二篇 計算力學(xué)中幾個問題的NMM方案
第5章 嚴格的高階單元質(zhì)量矩陣的對角化
5.1 彈性動力問題的變分提法
5.2 動力問題的有限元法
5.3 半離散格式的時間積分方案
5.3.1 直接積分法——Newmark方法
5.3.2 模態(tài)分析法
5.3.3 振型疊加法
5.4 基于流形上積分定義的集中質(zhì)量矩陣
5.5 算例
5.5.1 細長桿自由振動
5.5.2 懸臂梁自由振動
5.5.3 圓柱殼受迫振動
5.6 結(jié)論與討論
第6章 本質(zhì)邊界-界面條件的精確滿足
6.1 問題的定義
6.2 物理片上的局部逼近
6.3 勢問題的整體逼近和NMM
6.4 關(guān)于NMM和FEM的進一步討論
6.5 算例
6.6 仍待解決的問題
第7章 不可壓縮彈性材料問題的求解
7.1 與壓縮性無關(guān)的彈性本構(gòu)
7.2 不可壓縮材料邊值問題的弱形式
7.3 數(shù)值流形法逼近
7.3.1 位移的逼近
7.3.2 壓力的逼近
7.4 弱形式的離散格式
7.4.1 平衡方程的離散
7.4.2 不可壓縮條件的離散
7.5 算例
7.5.1 懸臂梁問題
7.5.2 Cook梁
7.6 結(jié)論與討論
第8章 外問題
8.1 FEM中的無界元技術(shù)
8.1.1 映射無界元
8.1.2 位移衰減無界元
8.2 外問題的NMM
8.2.1 由有限元網(wǎng)格生成的覆蓋
8.2.2 NMM逼近
8.2.3 弱形式的數(shù)值積分
8.3 FEM和NMM的進一步比較
8.4 算例
8.4.1 位勢問題
8.4.2 彈性半無限空間問題
8.4.3 有限深度無限長區(qū)域的彈性力學(xué)問題
8.5 結(jié)論與討論
第三篇 運動邊界問題的數(shù)值流形法
第9章 無壓滲流問題
9.1 引言
9.2 問題的微分方程提法
9.3 混合形式的變分提法
9.4 數(shù)值流形法近似
9.5 自由面調(diào)整策略
9.6 算例
9.6.1 均質(zhì)矩形壩
9.6.2 非均質(zhì)矩形壩
9.6.3 梯形截面溝滲流
9.6.4 心墻土石壩滲流
9.7 結(jié)論與討論
第10章 多體系統(tǒng)動態(tài)接觸問題的解法
10.1 接觸問題的微分方程提法
10.2 接觸條件
10.2.1 接觸條件的精確表述
10.2.2 罰形式的接觸本構(gòu)
10.3 變分提法
10.4 被提前的時間離散
10.4.1 經(jīng)典離散方式所遇到的挑戰(zhàn)
10.4.2 時間積分
10.5 空間離散——數(shù)值流形法
10.5.1 NMM逼近
10.5.2 外力的虛功
10.5.3 內(nèi)力的虛功
10.6 與接觸相關(guān)的虛功
10.6.1 接觸類型與剪切力強度
10.6.2 接觸力的虛功
10.7 迭代求解
10.7.1 總體方程組
10.7.2 開-閉迭代
10.8 關(guān)于罰參數(shù)的選取
第11章 壓剪裂紋動態(tài)擴展的模擬
11.1 問題的提法
11.2 基于強度的裂紋擴展準則
11.2.1 引言
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