第1章 問(wèn)題求解 1
1.1 問(wèn)題求解 1
1.1.1 喬治?波利亞解題法 1
1.1.2 解題策略 2
1.1.3 幾個(gè)數(shù)學(xué)原則 7
練習(xí)1.1 11
1.2 歸納推理和演繹推理 14
1.2.1 歸納推理 15
1.2.2 錯(cuò)誤的歸納推理 17
1.2.3 演繹推理 18
練習(xí)1.2 20
1.3 估計(jì) 23
1.3.1 舍入法 23
1.3.2 相容數(shù)字法 23
1.3.3 估計(jì)圖形數(shù)據(jù) 24
練習(xí)1.3 27
本章復(fù)習(xí)題 30
本章測(cè)試 31
第2章 集合論 32
2.1 集合語(yǔ)言 32
2.1.1 集合的表示法 32
2.1.2 定義明確的集合 34
2.1.3 元素符號(hào) 35
2.1.4 基數(shù) 35
練習(xí)2.1 36
2.2 集合比較 39
2.2.1 集合相等 39
2.2.2 等價(jià)集合 39
2.2.3 子集 40
2.2.4 維恩圖 40
練習(xí)2.2 43
2.3 集合運(yùn)算 46
2.3.1 并集 46
2.3.2 交集 47
2.3.3 補(bǔ)集 48
2.3.4 差集 49
2.3.5 運(yùn)算順序 49
練習(xí)2.3 52
2.4 調(diào)查問(wèn)題 54
2.4.1 命名維恩圖 54
2.4.2 調(diào)查問(wèn)題 55
2.4.3 調(diào)查問(wèn)題中的矛盾 58
練習(xí)2.4 59
2.5 深入觀(guān)察：無(wú)限集合 62
2.5.1 無(wú)限集合 63
2.5.2 可數(shù)集合 63
2.5.3 基數(shù)c 64
練習(xí)2.5 65
本章復(fù)習(xí)題 65
本章測(cè)試 66
第3章 邏輯 68
3.1 命題、聯(lián)結(jié)詞和量詞 68
3.1.1 命題 68
3.1.2 聯(lián)結(jié)詞 69
3.1.3 量詞 71
3.1.4 量詞的否定 72
練習(xí)3.1 73
3.2 真值表 75
3.2.1 真值表 76
3.2.2 復(fù)合命題 77
3.2.3 邏輯等價(jià)命題 79
3.2.4 德?摩根定律 80
3.2.5 三值邏輯 82
練習(xí)3.2 83
3.3 條件和雙條件 85
3.3.1 條件 85
3.3.2 條件的派生形式 87
3.3.3 條件的替代用語(yǔ) 88
3.3.4 雙條件 89
練習(xí)3.3 89
3.4 論證的驗(yàn)證 92
3.4.1 論證的驗(yàn)證 92
3.4.2 無(wú)效論證 94
3.4.3 有效論證形式和謬誤 95
練習(xí)3.4 96
3.5 用歐拉圖驗(yàn)證三段論 99
3.5.1 有效三段論 99
3.5.2 無(wú)效三段論 100
練習(xí)3.5 103
3.6 深入觀(guān)察：模糊邏輯 105
3.6.1 模糊命題 105
3.6.2 模糊聯(lián)結(jié)詞 105
3.6.3 模糊決策 107
練習(xí)3.6 108
本章復(fù)習(xí)題 110
本章測(cè)試 111
第4章 圖論（網(wǎng)絡(luò)） 112
4.1 圖、謎題和地圖著色 112
4.1.1 圖的術(shù)語(yǔ) 112
4.1.2 一筆畫(huà) 113
4.1.3 歐拉定理 114
4.1.4 弗羅萊算法 117
4.1.5 圖的歐拉化 118
4.1.6 地圖著色 119
練習(xí)4.1 122
4.2 旅行推銷(xiāo)員問(wèn)題 126
4.2.1 哈密頓路徑 127
4.2.2 查找哈密頓回路 127
4.2.3 暴力破解算法 130
4.2.4 最近鄰算法 131
4.2.5 最佳邊算法 133
練習(xí)4.2 134
4.3 有向圖 137
4.3.1 有向圖 137
4.3.2 影響力建模 138
4.3.3 疾病建模 140
練習(xí)4.3 141
4.4 深入觀(guān)察：PERT圖及其應(yīng)用 144
4.4.1 PERT圖 144
4.4.2 高效日程安排 146
練習(xí)4.4 149
本章復(fù)習(xí)題 151
本章測(cè)試 153
第5章 數(shù)系 154
5.1 數(shù)系的演變 154
5.1.1 埃及數(shù)系 154
5.1.2 羅馬數(shù)系 157
5.1.3 中國(guó)數(shù)系 159
練習(xí)5.1 160
5.2 位值數(shù)系 162
5.2.1 巴比倫數(shù)系 163
5.2.2 瑪雅數(shù)系 164
5.2.3 印度－阿拉伯?dāng)?shù)系 166
5.2.4 排槳帆船法和奈皮爾乘除器 167
練習(xí)5.2 169
5.3 其他進(jìn)位基數(shù) 171
5.3.1 非十進(jìn)制 171
5.3.2 非十進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算 174
5.3.3 二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制 178
練習(xí)5.3 179
5.4 深入觀(guān)察：模數(shù)系 181
5.4.1 模m數(shù)系 181
5.4.2 模m數(shù)系運(yùn)算 183
5.4.3 解同余 184
練習(xí)5.4 186
本章復(fù)習(xí)題 188
本章測(cè)試 188
第6章 數(shù)論和實(shí)數(shù)系 190
6.1 數(shù)論 190
6.1.1 素?cái)?shù) 190
6.1.2 整除性檢驗(yàn)方法和因數(shù)分解 192
6.1.3 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 194
6.1.4 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的
應(yīng)用 197
練習(xí)6.1 198
6.2 整數(shù) 200
6.2.1 整數(shù)的加減 201
6.2.2 整數(shù)的乘除 202
練習(xí)6.2 204
6.3 有理數(shù) 206
6.3.1 有理數(shù)相等 206
6.3.2 有理數(shù)的加減 208
6.3.3 有理數(shù)的乘除 209
6.3.4 帶分?jǐn)?shù) 211
6.3.5 循環(huán)小數(shù) 212
練習(xí)6.3 214
6.4 實(shí)數(shù)系 216
6.4.1 無(wú)理數(shù) 217
6.4.2 根式計(jì)算 219
6.4.3 實(shí)數(shù)的應(yīng)用 219
6.4.4 實(shí)數(shù)的性質(zhì) 221
練習(xí)6.4 223
6.5 指數(shù)和科學(xué)記數(shù)法 226
6.5.1 指數(shù) 226
6.5.2 科學(xué)記數(shù)法 228
6.5.3 科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用 230
練習(xí)6.5 231
6.6 深入觀(guān)察：數(shù)列 233
6.6.1 等差數(shù)列 234
6.6.2 等比數(shù)列 236
6.6.3 斐波那契數(shù)列 238
練習(xí)6.6 240
本章復(fù)習(xí)題 242
本章測(cè)試 242
第7章 代數(shù)模型 244
7.1 線(xiàn)性方程 244
7.1.1 解線(xiàn)性方程 244
7.1.2 截點(diǎn) 246
7.1.3 直線(xiàn)的斜截式 249
練習(xí)7.1 250
7.2 線(xiàn)性方程建模 253
7.2.1 一個(gè)點(diǎn)和斜率建模 254
7.2.2 兩點(diǎn)建模 255
7.2.3 最佳擬合直線(xiàn) 256
練習(xí)7.2 258
7.3 二次方程建模 260
7.3.1 二次公式 261
7.3.2 二次方程作圖 262
7.3.3 二次方程建模 263
練習(xí)7.3 265
7.4 指數(shù)方程和增長(zhǎng) 267
7.4.1 指數(shù)增長(zhǎng) 267
7.4.2 指數(shù)模型 270
7.4.3 邏輯斯蒂模型 273
練習(xí)7.4 275
7.5 比例和變分 277
7.5.1 比和比例 278
7.5.2 捕獲－再捕獲法 279
7.5.3 變分 279
練習(xí)7.5 282
7.6 線(xiàn)性方程組和不等式組建模 285
7.6.1 線(xiàn)性方程組 285
7.6.2 消元法解方程組 286
7.6.3 方程組建模 289
7.6.4 解線(xiàn)性不等式 291
7.6.5 解不等式組 293
7.6.6 不等式組建模 294
練習(xí)7.6 295
7.7 深入研究：動(dòng)力系統(tǒng) 299
7.7.1 動(dòng)力系統(tǒng) 299
7.7.2 平衡值和穩(wěn)定性 301
練習(xí)7.7 303
本章復(fù)習(xí)題 304
本章測(cè)試 306
第8章 消費(fèi)者數(shù)學(xué) 308
8.1 百分?jǐn)?shù)、稅收和通貨膨脹 308
8.1.1 百分?jǐn)?shù) 308
8.1.2 變化百分比 309
8.1.3 百分比等式 310
8.1.4 稅收 312
8.1.5 通貨膨脹 313
練習(xí)8.1 314
8.2 利息 316
8.2.1 單利 317
8.2.2 復(fù)利 318
8.2.3 求復(fù)利公式中的未知數(shù) 319
練習(xí)8.2 323
8.3 消費(fèi)貸款 325
8.3.1 附加利息法 326
8.3.2 未付余額法 327
8.3.3 日均余額法 328
8.3.4 利息費(fèi)用計(jì)算方法之比較 330
練習(xí)8.3 330
8.4 年金 333
8.4.1 計(jì)算年金 333
8.4.2 累積基金 336
練習(xí)8.4 338
8.5 分期償還貸款 340
8.5.1 分期償還 340
8.5.2 分期償還計(jì)劃 342
8.5.3 計(jì)算年金的現(xiàn)值 343
8.5.4 為貸款再融資 344
練習(xí)8.5 346
8.6 深入觀(guān)察：年百分率 348
8.6.1 計(jì)算年百分率 348
8.6.2 估算年百分率 351
練習(xí)8.6 352
本章復(fù)習(xí)題 353
本章測(cè)試 354
第9章 幾何 356
9.1 線(xiàn)、角和圓 356
9.1.1 點(diǎn)、線(xiàn)和面 356
9.1.2 角 357
9.1.3 圓 360
練習(xí)9.1 362
9.2 多邊形 365
9.2.1 多邊形 365
9.2.2 多邊形和角 367
9.2.3 相似多邊形 369
練習(xí)9.2 371
9.3 周長(zhǎng)和面積 375
9.3.1 周長(zhǎng)和面積 375
9.3.2 衍生面積公式 375
9.3.3 畢達(dá)哥拉斯定理 378
9.3.4 圓 379
練習(xí)9.3 382
9.4 體積和表面積 387
9.4.1 體積 387
9.4.2 圓柱 388
9.4.3 圓錐和球體 391
練習(xí)9.4 392
9.5 公制和量綱分析 395
9.5.1 公制 395
9.5.2 公制單位 396
9.5.3 公制計(jì)量之間的關(guān)系 396
9.5.4 公制換算 396
9.5.5 量綱分析 398
練習(xí)9.5 402
9.6 對(duì)稱(chēng)性和密鋪 405
9.6.1 剛體運(yùn)動(dòng) 405
9.6.2 對(duì)稱(chēng)性 409
9.6.3 密鋪 410
練習(xí)9.6 413
9.7 深入觀(guān)察：分形 416
9.7.1 分形 417
9.7.2 長(zhǎng)度和面積 419
9.7.3 維數(shù) 420
9.7.4 分形的應(yīng)用 423
練習(xí)9.7 423
本章復(fù)習(xí)題 424
本章測(cè)試 426
第10章 分配 428
10.1 理解分配 428
10.1.1 漢彌爾頓分配法 429
10.1.2 衡量公平性 430
練習(xí)10.1 433
10.2 亨廷頓－希爾分配原則 435
10.2.1 分配準(zhǔn)則 435
10.2.2 亨廷頓－希爾法 436
10.2.3 分配風(fēng)電場(chǎng)聯(lián)合體董事會(huì)
成員 437
10.2.4 其他應(yīng)用 438
10.2.5 亨廷頓－希爾原則的推導(dǎo) 439
練習(xí)10.2 440
10.3 其他悖論和分配法 442
10.3.1 標(biāo)準(zhǔn)除數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)配額 443
10.3.2 更多分配悖論 445
10.3.3 其他分配法 447
練習(xí)10.3 450
10.4 深入觀(guān)察：公平分配 453
10.4.1 公平分配 453
10.4.2 密封投標(biāo)法 454
練習(xí)10.4 457
本章復(fù)習(xí)題 460
本章測(cè)試 461
第11章 投 票 462
11.1 投票方法 462
11.1.1 相對(duì)多數(shù)法 462
11.1.2 波達(dá)計(jì)數(shù)法 463
11.1.3 末位淘汰法 465
11.1.4 成對(duì)比較法 466
練習(xí)11.1 468
11.2 投票方法的缺陷 471
11.2.1 絕對(duì)多數(shù)準(zhǔn)則 471
11.2.2 孔多塞準(zhǔn)則 472
11.2.3 無(wú)關(guān)因素獨(dú)立性準(zhǔn)則 473
11.2.4 單調(diào)性準(zhǔn)則 475
練習(xí)11.2 477
11.3 加權(quán)投票系統(tǒng) 479
11.3.1 加權(quán)投票系統(tǒng) 480
11.3.2 聯(lián)盟 481
11.3.3 班扎夫權(quán)力指數(shù) 482
練習(xí)11.3 485
11.4 深入觀(guān)察：夏普利?舒比克指數(shù) 487
11.4.1 排列 487
11.4.2 核心投票者 488
11.4.3 夏普利?舒比克指數(shù) 489
練習(xí)11.4 491
本章復(fù)習(xí)題 493
本章測(cè)試 494
第12章 計(jì)數(shù) 496
12.1 計(jì)數(shù)方法簡(jiǎn)介 496
12.1.1 系統(tǒng)化計(jì)數(shù) 496
12.1.2 樹(shù)圖 497
12.1.3 樹(shù)圖可視化 500
練習(xí)12.1 501
12.2 基本計(jì)數(shù)原理 504
12.2.1 基本計(jì)數(shù)原理 504
12.2.2 槽位圖 505
12.2.3 特殊條件處理 506
練習(xí)12.2 507
12.3 排列組合 510
12.3.1 排列 510
12.3.2 階乘表示法 512
12.3.3 組合 513
12.3.4 計(jì)數(shù)方法組合 515
練習(xí)12.3 518
12.4 深入觀(guān)察：計(jì)數(shù)和賭博 521
12.4.1 基本計(jì)數(shù)原理在賭博中的
應(yīng)用 521
12.4.2 計(jì)數(shù)和撲克牌 522
練習(xí)12.4 524
本章復(fù)習(xí)題 525
本章測(cè)試 525
第13章 概率 527
13.1 概率論基礎(chǔ) 527
13.1.1 樣本空間和事件 527
13.1.2 計(jì)數(shù)和概率 530
13.1.3 幾率 533
13.1.4 概率和遺傳學(xué) 534
練習(xí)13.1 536
13.2 事件的補(bǔ)集和并集 540
13.2.1 事件的補(bǔ)集 540
13.2.2 事件的并集 541
13.2.3 補(bǔ)集公式和并集公式的
組合 543
練習(xí)13.2 544
13.3 條件概率和事件的交集 547
13.3.1 條件概率 547
13.3.2 事件的交集 550
13.3.3 概率樹(shù) 552
13.3.4 相依事件和獨(dú)立事件 554
練習(xí)13.3 555
13.4 期望值 558
13.4.1 期望值 559
13.4.2 碰運(yùn)氣游戲的期望值 560
13.4.3 期望值的其他應(yīng)用 562
練習(xí)13.4 563
13.5 深入觀(guān)察：二項(xiàng)試驗(yàn) 566
13.5.1 二項(xiàng)概率 566
13.5.2 二項(xiàng)概率的應(yīng)用 568
練習(xí)13.5 570
本章復(fù)習(xí)題 571
本章測(cè)試 572
第14章 描述性統(tǒng)計(jì) 574
14.1 數(shù)據(jù)的組織和可視化 574
14.1.1 總體和樣本 574
14.1.2 頻數(shù)表 575
14.1.3 數(shù)據(jù)可視化表達(dá) 577
14.1.4 莖葉圖 580
練習(xí)14.1 581
14.2 集中趨勢(shì)的測(cè)度 585
14.2.1 平均數(shù)和中位數(shù) 585
14.2.2 五數(shù)概括 589
14.2.3 集中趨勢(shì)的測(cè)度對(duì)比 591
練習(xí)14.2 592
14.3 離散趨勢(shì)的測(cè)度 596
14.3.1 數(shù)據(jù)集的極差 597
14.3.2 標(biāo)準(zhǔn)差 597
14.3.3 離散系數(shù) 600
練習(xí)14.3 602
14.4 正態(tài)分布 605
14.4.1 正態(tài)分布 605
14.4.2 z值 607
14.4.3 原始值轉(zhuǎn)換為z值 610
14.4.4 應(yīng)用 612
練習(xí)14.4 614
14.5 深入觀(guān)察：線(xiàn)性相關(guān) 617
14.5.1 散點(diǎn)圖 617
14.5.2 線(xiàn)性相關(guān) 617
14.5.3 最佳擬合線(xiàn) 620
練習(xí)14.5 621
本章復(fù)習(xí)題 622
本章測(cè)試 623