目　錄　



第　1章 科學(xué)計算與MATLAB　1

1.1　科學(xué)計算的意義　1

1.2　誤差基礎(chǔ)知識　2

1.2.1　誤差的來源　2

1.2.2　誤差度量　2

1.2.3　有效數(shù)字　3

1.2.4　向量的誤差　3

1.2.5　計算機的浮點數(shù)系　4

1.2.6　一個實例　4

1.2.7　數(shù)值計算中應(yīng)注意的幾個問題　5

1.3　MATLAB軟件　8

1.3.1　簡介　8

1.3.2　向量和矩陣的基本運算　9

1.3.3　流程控制　16

1.3.4　腳本文件和函數(shù)文件　19

1.3.5　幫助系統(tǒng)　23

1.3.6　畫圖功能　27

1.3.7　數(shù)據(jù)操作　31

習(xí)題一　34

數(shù)值實驗一　34



第　2章 線性方程組的直接解法　36

2.1　高斯消去法　36

2.2　矩陣的三角分解　40

2.2.1　LU分解和LDU分解　40

2.2.2　喬列斯基分解　43

2.2.3　追趕法　45

2.2.4　分塊三角分解　47

2.3　QR分解和奇異值分解　48

2.3.1　正交矩陣　48

2.3.2　QR分解　51

2.3.3　奇異值分解　53

習(xí)題二　54

數(shù)值實驗二　56



第3章　多項式插值與樣條插值　57

3.1　多項式插值　57

3.1.1　多項式插值問題的定義　57

3.1.2　插值多項式的存在58

3.1.3　插值基函數(shù)　58

3.2　拉格朗日插值　59

3.2.1　拉格朗日插值基函數(shù)　59

3.2.2　拉格朗日插值多項式　59

3.2.3　插值余項　61

3.3　牛頓插值　62

3.3.1　差商　62

3.3.2　牛頓插值公式及其余項　65

3.3.3　差分與等距節(jié)點的插值公式　66

3.4　埃爾米特插值　67

3.4.1　兩點三次埃爾米特插值　67

3.4.2　埃爾米特插值多項式的余項　69

3.4.3　n 1個點2n 1次埃爾米特插值多項式H2n 1(x)及其余項R2n 1(x)　69

3.5　三次樣條插值　71

3.5.1　樣條插值概念的產(chǎn)生　71

3.5.2　三次樣條函數(shù)　74

習(xí)題三　82

數(shù)值實驗三　84



第4章　函數(shù)逼近　85

4.1　內(nèi)積與正交多項式　85

4.1.1　權(quán)函數(shù)和內(nèi)積　85

4.1.2　正交函數(shù)系　86

4.1.3　勒讓德多項式　87

4.1.4　切比雪夫多項式　88

4.1.5　其他正交多項式　90

4.2　**佳一致逼近與切比雪夫展開　90

4.2.1　**佳一致逼近多項式　90

4.2.2　線性**佳一致逼近多項式的求法　92

4.2.3　切比雪夫展開與近似**佳一致逼近多項式　93

4.3　**佳平方逼近　94

4.3.1　預(yù)備知識　94

4.3.2　**佳平方逼近　95

4.4　曲線擬合的**小二乘法　99

4.4.1　**小二乘法　99

4.4.2　利用正交多項式做**小二乘擬合　102

4.4.3　非線性**小二乘問題　104

4.4.4　矛盾方程組　107

4.5　周期函數(shù)逼近與快速傅里葉變換　108

4.5.1　周期函數(shù)的**佳平方逼近　108

4.5.2　快速傅里葉變換(FFT)　110

習(xí)題四　112

數(shù)值實驗四　113



第5章　數(shù)值積分與數(shù)值微分　114

5.1　幾個常用積分公式及其復(fù)合積分公式　114

5.1.1　幾個常用積分公式　114

5.1.2　代數(shù)精度　116

5.1.3　積分公式的復(fù)合　118

5.2　變步長方法與外推加速技術(shù)　123

5.2.1　變步長梯形法　123

5.2.2　外推加速技術(shù)與龍貝格求積方法　124

5.3　牛頓-科茨公式　126

5.4　高斯公式　128

5.4.1　高斯公式的定義及性質(zhì)　128

5.4.2　常用高斯型公式　132

5.4.3　高斯型公式的應(yīng)用　137

5.5　多重積分的計算　140

5.5.1　二重積分的計算　140

5.5.2　蒙特卡羅模擬求積法簡介　143

5.6　數(shù)值微分　146

5.6.1　基于拉格朗日插值多項式的求導(dǎo)方法　146

5.6.2　基于樣條函數(shù)的求導(dǎo)方法　149

習(xí)題五　152

數(shù)值實驗五　154



第6章　線性方程組的迭代解法　156

6.1　范數(shù)和條件數(shù)　156

6.1.1　矩陣范數(shù)　156

6.1.2　擾動分析和條件數(shù)　157

6.2　基本迭代法　159

6.2.1　雅可比迭代法　160

6.2.2　高斯-賽德爾迭代法　161

6.2.3　超松弛(SOR)迭代法　162

6.2.4　迭代的收斂性分析和誤差估計　164

6.3　不定常迭代法　168

6.3.1　**速下降法　169

6.3.2　共軛梯度法　172

6.3.3　廣義極小殘量法　175

6.3.4　預(yù)處理技術(shù)　180

習(xí)題六　181

數(shù)值實驗六　183



第7章　非線性方程求根　184

7.1　非線性方程求根的基本問題　184

7.2　二分法　187

7.3　不動點迭代方法　188

7.4　迭代加速　191

7.5　牛頓法　193

7.6　割線法　199

7.7　非線性方程組簡介　201

7.8　非線性**小二乘問題　204

7.9　大范圍求解方法　206

習(xí)題七　209

數(shù)值實驗七　210



第8章　矩陣特征值與特征向量的計算　211

8.1　前言　211

8.2　冪方法　213

8.2.1　乘冪法　213

8.2.2　反冪法　217

8.2.3　結(jié)合原點平移的反冪法　218

8.3　QR方法　219

習(xí)題八　221

數(shù)值實驗八　222



第9章　常微分方程初邊值問題數(shù)值解　223

9.1　歐拉公式及其改進　223

9.1.1　歐拉公式　223

9.1.2　數(shù)值積分與多步法　225

9.1.3　預(yù)估校正公式　228

9.2　龍格-庫塔公式　230

9.3　收斂性與穩(wěn)定性　235

9.3.1　顯式單步法的收斂性　235

9.3.2　單步法的穩(wěn)定性　238

9.4　微分方程組和剛性問題　240

9.5　有限差分法　244

習(xí)題九　247

數(shù)值實驗九　248



參考文獻　249

索引　250