主要內(nèi)容包括整除性、同余、有限域、二次和高次剩余、素性檢測和密碼算法中的數(shù)學(xué)知識選講,涵蓋網(wǎng)絡(luò)空間安全專業(yè)密碼學(xué)原理、網(wǎng)絡(luò)安全等課程所需要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識。與國內(nèi)外同類教材比較,本教材有兩個主要特點:(1)從第三章開始直接以比較直接的方式介紹有限域的構(gòu)造、性質(zhì)和計算方法,然后,以有限域作為基本工具研究二次和高次剩余及多項式的一些性質(zhì),比一般的教材從群、環(huán)再過渡到域能讓學(xué)生在較短時間內(nèi)理解和熟練運用有限域這一基本代數(shù)結(jié)構(gòu)。(2)教材中每章將設(shè)置一定數(shù)量的程序設(shè)計題,讓學(xué)生將抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)和具體的代數(shù)符號和數(shù)值關(guān)聯(lián)起來,有助于學(xué)生加深理解,同時也為學(xué)生以后參加CTF競賽或者實際工作奠定一定的基礎(chǔ)。
與國內(nèi)外同類教材比較,本教材有兩個主要特點:(1)從第三章開始直接以比較直接的方式介紹有限域的構(gòu)造、性質(zhì)和計算方法,然后,以有限域作為基本工具研究二次和高次剩余及多項式的一些性質(zhì),比一般的教材從群、環(huán)再過渡到域能讓學(xué)生在較短時間內(nèi)理解和熟練運用有限域這一基本代數(shù)結(jié)構(gòu)。(2)教材中每章將設(shè)置一定數(shù)量的程序設(shè)計題,讓學(xué)生將抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)和具體的代數(shù)符號和數(shù)值關(guān)聯(lián)起來,有助于學(xué)生加深理解,同時也為學(xué)生以后參加CTF競賽或者實際工作奠定一定的基礎(chǔ)。
本教材根據(jù)筆者在華中科技大學(xué)講授的信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程所編講義整理而成,共分為8章,適合信息安全、網(wǎng)絡(luò)空間安全、密碼科學(xué)與技術(shù)及相關(guān)專業(yè)本科生學(xué)習(xí)使用,可為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)密碼學(xué)理論提供必要的知識儲備。第1章講述整數(shù)整除中的帶余除法、因子、*大公因數(shù)、*小公倍數(shù)和算術(shù)基本定理等基本概念,大多數(shù)學(xué)生對這部分內(nèi)容是比較熟悉的,筆者希望通過展示從帶余除法到*終的算術(shù)基本定理的推演過程,系統(tǒng)化地向?qū)W生展示整數(shù)研究的一般方法。在第3章所示的多項式的唯一因式分解定理的證明過程中,這種系統(tǒng)化的方法再次得到體現(xiàn)。第2章講述同余,也就是模運算,包括整數(shù)同余的基本性質(zhì)和同余式(組)的求解。學(xué)習(xí)重點是歐拉定理、費馬小定理、中國剩余定理和一般同余式(組)的基本求解方法。同余和同余式(組)是公鑰密碼學(xué)重要的研究對象,例如,RSA加密算法就是模冪運算的體現(xiàn)。第3章講述有限域的結(jié)構(gòu)定理,整數(shù)關(guān)于素數(shù)p的模加和模乘形成*小的有限域Zp,Zp上的多項式關(guān)于n次不可約多項式的模加和模乘形成Zp的元素個數(shù)為pn的擴(kuò)域。有限域的學(xué)習(xí)重點是有限域的加法結(jié)構(gòu)(向量結(jié)構(gòu))和乘法結(jié)構(gòu)、子域及域的擴(kuò)張的相關(guān)性質(zhì)。第4章講述二次剩余與方根,這部分內(nèi)容直接對應(yīng)密碼學(xué)中的Rabin密碼、GM密碼和離散對數(shù)等問題。將第4章的內(nèi)容放在有限域等代數(shù)知識之后學(xué)習(xí)是筆者經(jīng)過多次教學(xué)實踐之后的慎重決定,希望學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中能關(guān)聯(lián)第3章所學(xué)的有限域的知識,進(jìn)一步熟悉用代數(shù)的思想分析和解決問題,以免造成知識脫節(jié)。第5章講述代數(shù)系統(tǒng)中環(huán)的基礎(chǔ)理論,一方面,將前面所學(xué)的多項式和有限域的知識作進(jìn)一步的提升和串聯(lián),使學(xué)生掌握理想和剩余類環(huán)的基本概念,另一方面,重點介紹整環(huán)的唯一分解條件,說明在整環(huán)中,唯一分解定理并不總是成立的。第6章講述代數(shù)數(shù)論研究的重要內(nèi)容數(shù)域。包括數(shù)域的概念和數(shù)域的擴(kuò)張、代數(shù)整數(shù)和代數(shù)整數(shù)環(huán),以及研究數(shù)域的重要工具范數(shù)與跡。學(xué)習(xí)的重點是代數(shù)整數(shù)環(huán),整個代數(shù)學(xué)的知識架構(gòu)再次得到補充和延伸。第7章講述格的相關(guān)理論,一方面介紹了格的定義與*短向量問題,另一方面介紹了格密碼和誤差還原問題,學(xué)生在學(xué)習(xí)時要重點了解格理論在密碼學(xué)中的應(yīng)用。第8章講述了布爾函數(shù)、兩種Walsh變換、布爾函數(shù)的非線性度和Bent函數(shù),介紹了布爾函數(shù)的安全性指標(biāo)。教材每一章后面均有適量的練習(xí)題,練習(xí)題是對相應(yīng)章節(jié)內(nèi)容的鞏固和擴(kuò)展,是完整學(xué)習(xí)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不可缺少的部分。為便于學(xué)生更好地理解抽象理論知識,提高解決實際數(shù)學(xué)、密碼學(xué)問題的能力,教材在每一章后面還附有一定的補充知識或者思考題(擴(kuò)展閱讀與實踐),要求學(xué)生用SageMath編程解決問題,根據(jù)教學(xué)目的的不同,實際教學(xué)中也可以選擇Mathematica、Miracl、Python等其他編程環(huán)境。附錄A對部分思考題的實現(xiàn)給出了參考代碼,附錄B對一些常見的SageMath函數(shù)分類進(jìn)行了舉例說明,便于讀者查詢。梁哲銘、姜雨奇、何智禹等同學(xué)積極參與了本教材的寫作、試用,付出了辛勤的勞動。由于編者水平有限,教材內(nèi)容難免存在疏漏,懇請廣大師生批評指正。編者2023年5月于武漢
1991年~1998年武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系獲理學(xué)學(xué)士、碩士學(xué)位,2006年華中科技大學(xué)計算機學(xué)院獲工學(xué)博士學(xué)位。1998年至今在華中科技大學(xué)計算機學(xué)院任教
1整除(1)
1.1整除性(1)
1.2最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)(3)
1.3素數(shù)與算術(shù)基本定理(11)
1.4高斯函數(shù)(15)
1.5練習(xí)題(16)
1.6擴(kuò)展閱讀與實踐(17)
2同余(19)
2.1同余的基本性質(zhì)(19)
2.2歐拉定理與費馬小定理(22)
2.3同余式的概念和一次同余式(24)
2.4中國剩余定理和同余式組(26)
2.5模為素數(shù)冪的同余式的解法(29)
2.6練習(xí)題(32)
2.7擴(kuò)展閱讀與實踐(33)
3有限域(37)
3.1域的定義與基本性質(zhì)(37)
3.2域上多項式(39)
3.3擴(kuò)域的構(gòu)造(45)
3.4多項式的分解(48)
3.5有限域結(jié)構(gòu)定理(51)
3.6練習(xí)題(57)
3.7擴(kuò)展閱讀與實踐(59)
4二次剩余與方根(67)
4.1歐拉判別法則與勒讓德符號(67)
4.2雅可比符號(71)
4.2.1Rabin加密算法(73)
4.2.2GoldwasserMicali加密算法(73)
4.3模為奇素數(shù)的平方根(74)
4.4階與指標(biāo)(75)
4.5練習(xí)題(80)
4.6擴(kuò)展閱讀與實踐(80)
信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)目錄5環(huán)(83)
5.1環(huán)與理想(83)
5.2剩余類環(huán)(86)
5.3唯一分解整環(huán)(90)
5.4Dedekind整環(huán)(95)
5.5練習(xí)題(99)
5.6擴(kuò)展閱讀與實踐(99)
6數(shù)域(104)
6.1數(shù)域與擴(kuò)張(104)
6.2代數(shù)整數(shù)環(huán)(107)
6.3范數(shù)與跡(110)
6.4練習(xí)題(114)
6.5擴(kuò)展閱讀與實踐(115)
6.5.1數(shù)域的構(gòu)造(115)
6.5.2a bm(116)
6.5.3a b(116)
6.5.4平方根計算(117)
7格(119)
7.1格的定義(119)
7.2最短向量問題(122)
7.3格密碼(125)
7.4誤差還原問題(127)
7.5練習(xí)題(128)
7.6擴(kuò)展閱讀與實踐(128)
7.6.1循環(huán)碼(128)
7.6.2NTRUEncrypt的泛化(131)
8布爾函數(shù)(134)
8.1布爾變量與布爾函數(shù)(134)
8.2Walsh變換(136)
8.3Bent函數(shù)(136)
8.4布爾函數(shù)的安全性指標(biāo)(137)
8.4.1平衡性(137)
8.4.2代數(shù)次數(shù)(138)
8.4.3差分均勻度(138)
8.4.4非線性度(138)
8.4.5相關(guān)免疫階性(138)
8.5練習(xí)題(138)
8.6擴(kuò)展閱讀與實踐(139)
附錄A擴(kuò)展閱讀與實踐提示(140)
附錄BSageMath常用函數(shù)(167)
附錄C符號表(176)
參考文獻(xiàn)(179)