目　錄 第1章 天賦還是勤奮 1.1　沒什么特別的人類 1.2　難以測量的直覺 第2章 想象力是最大的武器 2.1　哥貝克力石陣 2.2　規(guī)天矩地 2.3　數(shù)字崇拜 第3章 數(shù)字背后的邏輯 3.1　誰更有錢 3.2　一一映射 3.3　快速計算比賽場次 3.4　漢字簡化 3.5　基數(shù)與序數(shù) 第4章 區(qū)分抽象與還原 4.1　抽象的數(shù)學處理 4.2　生動的數(shù)學還原 4.3　抽象與還原之爭 第5章 文明的進步 5.1　古巴比倫數(shù)字 5.2　古埃及數(shù)字 5.3　古代中國的算籌 5.4　印度人的貢獻 5.5　一場生物學制造的意外 第6章 背離經(jīng)驗的科學 6.1　相對論的拼圖 6.2　缺損棋盤問題 6.3　失效的經(jīng)驗 第7章 數(shù)學應該怎樣學（I） 7.1　邏輯感 7.2　一道解三角形題的本質(zhì) 7.3　計算三角函數(shù)值的標準做法 7.4　“三段式”論證 7.5　你知道有幾只病狗嗎 第8章 數(shù)學應該怎樣學（II） 8.1　結(jié)構(gòu)感知力 8.2　回歸求知的本心 第9章 史上最大的“邏輯漏洞” 9.1　真相是什么 9.2　阿基米德的證明 9.3　數(shù)學走上神壇 第10章 無窮的困境 10.1　芝諾悖論 10.2　阿基里斯與烏龜 10.3　飛矢不動 10.4　理性與感觀 第11章 第一次嘗試 11.1　伽利略的悖論 11.2　抽象與演繹的沖突 11.3　伽利略的選擇 第12章 無法回避的難題 12.1　封閉的疆域 12.2　幾何能做的也有限 12.3　數(shù)學界的思想解放 第13章 探尋之路 13.1　實數(shù)的模型 13.2　混亂的狀況 13.3　柯西與極限 13.4　柯西收斂準則 第14章 實數(shù)軸的重生 14.1　康托爾的實數(shù)模型 14.2　 1.000等于0.999嗎 14.3　堅實的基礎 第15章 芝諾悖論的數(shù)學終結(jié) 15.1　可數(shù)無窮集合 15.2　不平凡的可數(shù)集 15.3　實數(shù)集合不可數(shù) 15.4　遲到的榮耀 第16章 給長度一個交代 16.1　長度的數(shù)學本質(zhì) 16.2　升級版長度 16.3　勒貝格測度 第17章 分析學的三條路徑和一種范式 17.1　從有限到無窮 17.2　從局部到整體 17.3　以簡單代替復雜 第18章 歸結(jié)原則和兩個重要極限 18.1　第一個重要極限： 18.2　從數(shù)列過渡到函數(shù) 18.3　第二個重要極限： 18.4　“收斂速度”可以求出來嗎 18.5　怎樣跑贏通貨膨脹 18.6　第二個重要極限的證明 第19章 連續(xù)性的陷阱 19.1　狄利克雷函數(shù) 19.2　無窮振蕩曲線 19.3　不可求長曲線 19.4　魏爾斯特拉斯函數(shù) 第20章 微分的前世今生 20.1　切線與微分 20.2　導數(shù)：差商的極限 20.3　微分在今天的含義 20.4　導數(shù)等于微商嗎 第21章 自然的數(shù)學法則 21.1　函數(shù)[ex]的特性 21.2　指數(shù)函數(shù)與等角螺線 21.3　自然界中的等角螺線 21.4　等角螺線與地圖投影 第22章 分割的藝術(shù) 22.1　黎曼積分 22.2　性質(zhì)與實用的平衡 22.3　黎曼積分的性質(zhì) 22.4　可積性判定準則 22.5　勒貝格積分 第23章 微分與積分的統(tǒng)一 23.1　面積如何求導 23.2　變限積分：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù) 23.3　牛頓-萊布尼茲公式 23.4　增強版微積分基本定理 23.5　微分中值定理與積分中值定理的統(tǒng)一 第24章 多元函數(shù)的世界 24.1　方向?qū)��?shù) 24.2　空間直線有斜率嗎 24.3　偏導數(shù)——方向?qū)��?shù)衍生品 24.4　從切線到切平面 24.5　梯度 24.6　積分也有方向 24.7　斯托克斯公式 第25章 泰勒展開 25.1　微分法 25.2　密切法 25.3　插值法 25.4　冪級數(shù)的春天 第26章 傅里葉展開 26.1　最小二乘法 26.2　正交投影法 26.3　三角級數(shù)的魅力 第27章 最小作用量原理 27.1　光的折射定律 27.2　笛卡兒的解釋 27.3　費馬最小時間原理 第28章 最優(yōu)逼近——泰勒展開的第四張面孔 28.1　局部與整體的再一次擁抱 28.2　最優(yōu)逼近多項式 28.3　逆矩陣的秘密 28.4　最優(yōu)逼近多項式的極限 第29章 最佳近似——超定方程組的現(xiàn)實選擇 29.1　純代數(shù)的方案 29.2　利用費馬定理求極值點的方案 29.3　造福人類的CT技術(shù) 第30章 最小損失——人工智能的決策法門 30.1　直線擬合的損失函數(shù) 30.2　梯度下降 30.3　梯度下降法的變體