第 1章 矩陣與高斯消元法 1 1.1 引言 1 1.2 線(xiàn)性方程組的幾何意義 4 1.2.1 列向量和線(xiàn)性組合 6 1.2.2 奇異情形 8 習(xí)題 10 1.3 高斯消元法的一個(gè)例子 12 1.3.1 失效的消元法 14 1.3.2 消元運(yùn)算的成本 15 習(xí)題 16 1.4 矩陣定義與矩陣乘法 20 1.4.1 矩陣與向量的乘法 21 1.4.2 消元步驟的矩陣形式 23 1.4.3 矩陣乘法 24 習(xí)題 28 1.5 三角因子和行交換 33 1.5.1 A=LU：n×n的情形 36 1.5.2 一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)=兩個(gè)三角形系統(tǒng) 37 1.5.3 行交換與置換矩陣 39 1.5.4 簡(jiǎn)易消元法：PA=LU 41 習(xí)題42 1.6 矩陣的逆和轉(zhuǎn)置 47 1.6.1 A^{ 1}的計(jì)算方法：高斯–若爾當(dāng)法 49 1.6.2 可逆=非奇異（n個(gè)主元） 51 1.6.3 轉(zhuǎn)置矩陣 52 1.6.4 對(duì)稱(chēng)矩陣 53 1.6.5 對(duì)稱(chēng)矩陣RTR、RRT和LDLT 53 習(xí)題 54 1.7 特殊矩陣及其應(yīng)用 61 習(xí)題 66 第 1章復(fù)習(xí)題 67 第 2章 向量空間 71 2.1 向量空間和子空間 71 2.1.1 矩陣A的列空間 73 2.1.2 矩陣A的零空間 75 習(xí)題 76 2.2 方程組Ax=0和Ax=b的解 79 2.2.1 階梯矩陣U和行最簡(jiǎn)矩陣R 80 2.2.2 主變量與自由變量 82 2.2.3 求解Ax=b, Ux=c, Rx=d 84 2.2.4 另一個(gè)實(shí)例演示 86 習(xí)題 88 2.3 線(xiàn)性無(wú)關(guān)、基和維數(shù) 94 2.3.1 張成子空間 97 2.3.2 向量空間的基 97 2.3.3 向量空間的維數(shù) 99 習(xí)題 100 2.4 四種基本子空間 104 2.4.1 逆的存在性 110 2.4.2 秩為1的矩陣 112 習(xí)題 113 2.5 圖與網(wǎng)絡(luò) 116 2.5.1 生成樹(shù)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行向量 119 2.5.2 橄欖球隊(duì)排名 120 2.5.3 網(wǎng)絡(luò)與離散應(yīng)用數(shù)學(xué) 122 習(xí)題 125 2.6 線(xiàn)性變換 127 2.6.1 變換的矩陣表示 130 2.6.2 旋轉(zhuǎn)Q、投影P、反射H 132 習(xí)題 135 第 2章復(fù)習(xí)題 139 第3章 正交性 143 3.1 正交向量與子空間 143 3.1.1 正交向量 144 3.1.2 正交子空間 145 3.1.3 矩陣和子空間 148 習(xí)題 150 3.2 夾角余弦和直線(xiàn)上的投影 154 3.2.1 內(nèi)積和夾角余弦 155 3.2.2 直線(xiàn)上的投影 156 3.2.3 秩為1的投影矩陣 158 3.2.4 內(nèi)積的轉(zhuǎn)置 159 習(xí)題 160 3.3 投影與最小二乘法 162 3.3.1 多變量的最小二乘問(wèn)題 163 3.3.2 向量積矩陣A^{T}A 165 3.3.3 投影矩陣 166 3.3.4 數(shù)據(jù)的最小二乘擬合 167 3.3.5 加權(quán)最小二乘法 170 習(xí)題 172 3.4 正交基與格拉姆–施密特正交化 175 3.4.1 正交矩陣 176 3.4.2 具有標(biāo)準(zhǔn)正交列的矩形矩陣 178 3.4.3 格拉姆–施密特正交化過(guò)程 180 3.4.4 QR分解 183 3.4.5 函數(shù)空間和傅里葉級(jí)數(shù) 184 習(xí)題 187 3.5 快速傅里葉變換 190 3.5.1 復(fù)數(shù)單位根 191 3.5.2 傅里葉矩陣及其逆矩陣 193 3.5.3 快速傅里葉變換概述 195 3.5.4 快速傅里葉變換的完整過(guò)程和蝶形運(yùn)算 197 習(xí)題 198 第3章復(fù)習(xí)題 199 第4章 行列式 202 4.1 引言 202 4.2 行列式的性質(zhì) 204 習(xí)題 208 4.3 行列式的公式 211 習(xí)題 216 4.4 行列式的應(yīng)用 221 習(xí)題 227 第4章復(fù)習(xí)題 231 第5章 特征值與特征向量 233 5.1 引言 233 5.1.1 Ax=λx的解 235 5.1.2 小結(jié)和例題 237 5.1.3 MATLAB中的eigshow命令 240 習(xí)題 241 5.2 矩陣的對(duì)角化 244 5.2.1 對(duì)角化的例題 247 5.2.2 冪和乘積：Ak和AB 248 習(xí)題 250 5.3 差分方程與矩陣的冪Ak 253 5.3.1 斐波那契數(shù) 254 5.3.2 馬爾可夫矩陣 257 5.3.3 u_{k+1}=Au_{k}的穩(wěn)定性 259 5.3.4 正矩陣及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 260 習(xí)題 263 5.4 微分方程和e^{At} 266 5.4.1 微分方程的穩(wěn)定性 270 5.4.2 二階方程 274 習(xí)題 276 5.5 復(fù)矩陣 281 5.5.1 復(fù)數(shù)及其共軛 281 5.5.2 復(fù)向量的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)置 283 5.5.3 埃爾米特矩陣 284 5.5.4 酉矩陣 287 習(xí)題 290 5.6 相似變換 293 5.6.1 基變換=相似變換 295 5.6.2 利用酉矩陣生成的三角形式 296 5.6.3 對(duì)稱(chēng)矩陣和埃爾米特矩陣的對(duì)角化 298 5.6.4 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 300 習(xí)題 303 特征值和特征向量的性質(zhì) 307 第5章復(fù)習(xí)題 308 第6章 正定矩陣 311 6.1 極小值、極大值和鞍點(diǎn) 311 6.1.1 正定矩陣與不定矩陣：碗形與鞍形 312 6.1.2 高維的情形：線(xiàn)性代數(shù) 314 習(xí)題 316 6.2 正定性的判別法 317 6.2.1 正定矩陣與最小二乘法 320 6.2.2 半定矩陣 321 6.2.3 n維空間中的橢球面 322 6.2.4 慣性定律 324 6.2.5 廣義特征值問(wèn)題 326 習(xí)題 327 6.3 奇異值分解 331 習(xí)題 338 6.4 最小值原理 340 6.4.1 條件最小值 341 6.4.2 再說(shuō)最小二乘法 343 6.4.3 瑞利商 343 6.4.4 特征值的纏結(jié) 344 習(xí)題 346 6.5 有限元法 347 6.5.1 試驗(yàn)函數(shù) 348 6.5.2 線(xiàn)性有限元 349 6.5.3 特征值問(wèn)題 351 習(xí)題 351 第7章 矩陣的計(jì)算 353 7.1 引言 353 7.2 矩陣的范數(shù)和條件數(shù) 354 7.2.1 非對(duì)稱(chēng)矩陣 356 7.2.2 范數(shù)公式 358 習(xí)題 359 7.3 特征值的計(jì)算 361 7.3.1 三對(duì)角矩陣和海森伯格形式 363 7.3.2 計(jì)算特征值的QR算法 366 習(xí)題 368 7.4 解Ax=b的迭代法 369 習(xí)題 375 第8章 線(xiàn)性規(guī)劃與博弈論 378 8.1 線(xiàn)性不等式 378 8.1.1 可行集與成本函數(shù) 379 8.1.2 松弛變量 380 8.1.3 餐食問(wèn)題及其對(duì)偶問(wèn)題 381 8.1.4 典型應(yīng)用 381 習(xí)題 382 8.2 單純形法 383 8.2.1 幾何方法：沿邊移動(dòng) 384 8.2.2 單純形算法 385 8.2.3 單純形表 387 8.2.4 組織單純形法的步驟 390 8.2.5 卡馬卡方法 392 習(xí)題 393 8.3 對(duì)偶問(wèn)題 394 8.3.1 對(duì)偶性的證明 397 8.3.2 影子價(jià)格 398 8.3.3 內(nèi)點(diǎn)法 400 8.3.4 不等式理論 401 習(xí)題 403 8.4 網(wǎng)絡(luò)模型 404 8.4.1 婚配問(wèn)題 406 8.4.2 生成樹(shù)和貪婪算法 408 8.4.3 再論網(wǎng)絡(luò)模型 409 習(xí)題 410 8.5 博弈論 411 8.5.1 矩陣博弈 413 8.5.2 最小最大定理 414 8.5.3 實(shí)際的博弈 416 習(xí)題 417 附錄A 空間的交、和與積 419 附錄B 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 426 部分習(xí)題的答案 433 矩陣分解 475 詞匯表 477 MATLAB教學(xué)代碼 485 人名索引 487 術(shù)語(yǔ)索引 490 線(xiàn)性代數(shù)概要 500