目錄
前言
第1章 線性空間與線性變換 1
1.1 線性空間的基本概念 1
1.1.1 數(shù)域 1
1.1.2 線性空間的定義與性質(zhì) 2
1.2 基、坐標與維數(shù) 4
1.2.1 向量組的線性相關(guān)性 4
1.2.2 線性空間的基與維數(shù) 5
1.2.3 基變換與坐標變換 8
1.3 線性子空間 13
1.3.1 子空間的概念 13
1.3.2 子空間的交與和 15
1.3.3 子空間的直和 19
1.4 線性變換 21
1.4.1 線性變換的定義 21
1.4.2 線性變換的性質(zhì) 23
1.4.3 線性變換的運算 24
1.5 線性變換的矩陣 24
1.5.1 線性變換在給定基下的矩陣 24
1.5.2 線性變換在不同基下的矩陣 29
1.6 線性變換的值域、核及不變子空間
1.6.1 值域與核的定義 29
1.6.2 值域與核的相關(guān)理論 30
1.6.3 不變子空間 34
1.7 線性空間的同構(gòu) 34
1.7.1 同構(gòu)映射的定義 34
1.7.2 同構(gòu)映射的性質(zhì) 35
1.7.3 同構(gòu)的充要條件 36
1.8 線性變換的應用 36
1.8.1 在數(shù)字信號處理中的若干應用 36
1.8.2 關(guān)于矩陣的秩的一些結(jié)論 37
習題一 39
第2章 內(nèi)積空間與等距變換 43
2.1 內(nèi)積空間的基本概念 43
2.1.1 內(nèi)積空間的定義 43
2.1.2 向量的長度與夾角 45
2.2 標準正交基與Schnudt 正交化 46
2.2.1 標準正交基 46
2.2.2 Sch皿idt 正交化方法 48
2.3 正交子空間 50
2.4 等距變換 52
2.5 應用：小波分析中的正交基 55
習題二 57
第3章 矩陣的Jordan 標準形 60
3.1 特征值與特征向量 60
3.1.1 特征值與特征向量 60
3.1.2 矩陣的跡與行列式 62
3.1.3 特征子壁間 63
3.2 矩陣可對角化的條件 64
3.2.1 相似矩陣 64
3.2.2 矩陣可對角化的充要條件 64
3.2.3 正規(guī)矩陣 67
3.3 矩陣的Jordan 標準形及其應用 70
3.3.1 Jordan 矩陣 71
3.3.2 Jordan 標準形的存在定理 72
3.3.3 Jordan 標準形的求法 73
3.3.4 矩陣Jordan 標準形的應用 77
3.4 Haermilton-Cayley 定理及矩陣的最小多項式 78
3.4.1 Haermilton-Cayley 定理 78
3.4.2 最小多項式 80
3.5 矩陣特征值的估計及Hermite 矩陣特征值的性質(zhì) 83
3.5.1 矩陣特征值的圓盤定理 83
3.5.2 Hermite 矩陣特征值的性質(zhì) 87
習題三 88
第4章 矩陣分解 91
4.1 矩陣的三角分解 91
4.1.1 Gauss 消去法的矩陣表述 91
4.1.2 矩陣的三角分解 94
4.1.3.分塊矩陣的三角分解 96
4.2 矩陣的滿秩分解 97
4.2.1 矩陣的滿秩分解 97
4.2.2 關(guān)于行滿秩或列滿秩矩陣的性質(zhì) 99
4.2.3.長方矩陣的左、右逆 100
4.3 矩陣的QR 分解 101
4.3.1 矩陣的QR 分解 101
4.3.2.用初等旋轉(zhuǎn)矩陣求矩陣的QR 分解 104
4.3.3.用初等反射矩陣求矩陣的QR 分解 107
4.4 矩陣的奇異值分解 109
4.5.可對角化矩陣的譜分解 114
4.伊奇異值分解在現(xiàn)代譜分析中的應用 118
習題四 121
第5章 矩陣分析 123
5.1 向量范數(shù)及其性質(zhì) 123
5.1.1 向量范數(shù) 123
5.1.2 向量范數(shù)的連續(xù)性與等價性 126
5.2 矩陣范數(shù) 128
5.2.1 矩陣范數(shù)的定義與性質(zhì) 128
5.2.2 兒種常用的矩陣范數(shù) 131
5.2.3 范數(shù)的應用 135
5.3 矩陣序列與矩陣級數(shù) 136
5.3.1 向量序列與矩陣序列 136
5.3.2 矩陣級數(shù) 140
5.4 矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣 142
5.4.1 矩陣函數(shù)的定義 143
5.4.2 矩陣函數(shù)的計算 145
5.4.3 函數(shù)矩陣的微分與積分 151
5.5 矩陣函數(shù)的應用 157
5.5.1 一階線性常系數(shù)齊次微分方程組的解 157
5.5.2 一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組的解 159
習題五 160
第6章 矩陣的廣義逆 163
6.1 廣義逆矩陣的基本概念 163
6.1.1 廣義逆矩陣的定義 163
6.1.2 廣義逆矩陣的分類 164
6.2 {1}逆 165
6.2.1 {1}逆的定義與性質(zhì) 165
6.2.2 {1}逆的計算 166
6.3 Moore-Penrose 逆A+ 168
6.3.1 A+ 的性質(zhì) 168
6.3.2 A+ 的計算 169
6.4 A+ 在解線性方程組中的應用 171
6.4.1 線性方程組的求解問題 171
6.4.2 相容方程組的求解問題 172
6.4.3 矛盾方程組的求解問題 173
習題六 175
習題參考答案 177
參考文獻 187