目錄
第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 區(qū)間與鄰域 1
1.1.2 函數(shù) 2
1.1.3 函數(shù)的特性 4
1.1.4 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、分段函數(shù) 7
1.1.5 初等函數(shù) 9
1.1.6 函數(shù)關(guān)系的建立 9
1.2 極限 11
1.2.1 數(shù)列的極限 11
1.2.2 函數(shù)的極限 15
1.2.3 極限的運(yùn)算法則 20
1.2.4 極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限 22
1.2.5 無窮小與無窮大 28
1.3 函數(shù)的連續(xù)性 35
1.3.1 函數(shù)連續(xù)性的概念 35
1.3.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 37
1.3.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 38
1.3.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 39
1.4 經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 41
1.4.1 常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù) 42
1.4.2 函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 44
習(xí)題1 44
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 49
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 49
2.1.1 引例 49
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 50
2.1.3 由定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 51
2.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 53
2.1.5 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 54
2.2 一階導(dǎo)數(shù)基本求法 55
2.2.1 四則運(yùn)算法 55
2.2.2 反函數(shù)求導(dǎo)法 57
2.2.3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 58
2.2.4 公式法 59
2.2.5 隱函數(shù)求導(dǎo)法 60
2.2.6 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 61
2.2.7 參數(shù)方程求導(dǎo)法 61
2.3 高階導(dǎo)數(shù) 62
2.3.1 初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 62
2.3.2 兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù) 63
2.3.3 隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 64
2.3.4 由參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 64
2.4 微分 65
2.4.1 引例 65
2.4.2 微分的定義 65
2.4.3 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 66
2.4.4 微分的幾何意義 67
2.4.5 微分的基本公式及運(yùn)算法則 67
2.4.6 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 69
習(xí)題2 70
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 72
3.1 微分中值定理 72
3.1.1 羅爾(Rolle)定理 72
3.1.2 拉格朗日(La-ran-e)中值定理 73
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理 76
3.1.4 微分中值定理間的關(guān)系 76
3.2 洛必達(dá)法則 77
3.2.1 或不定型 77
3.2.2 0·∞，∞-∞，00，1∞，∞0 不定型 80
3.3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)與作圖 81
3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性 81
3.3.2 函數(shù)的極值 83
3.3.3 函數(shù)的最值 86
3.3.4 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 87
3.3.5 曲線的漸近線 90
3.3.6 描繪簡單函數(shù)的圖形 92
3.4 曲率與曲率半徑 94
3.4.1 弧微分 94
3.4.2 曲率 95
3.4.3 曲率半徑 96
3.5 導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 97
3.5.1 邊際 97
3.5.2 彈性 100
3.5.3 最值問題 103
習(xí)題3 105
第4章 不定積分 107
4.1 不定積分的概念 107
4.1.1 原函數(shù)的概念 107
4.1.2 不定積分的概念 108
4.1.3 不定積分的幾何意義 109
4.1.4 不定積分的性質(zhì) 109
4.1.5 不定積分的基本公式 109
4.2 不定積分的計(jì)算方法 111
4.2.1 第一換元積分法——湊微分法 112
4.2.2 不定積分第二換元積分法 114
4.2.3 不定積分分部積分法 115
4.3 有理函數(shù)的積分 117
4.3.1 有理函數(shù)的積分 118
4.3.2 可化為有理函數(shù)的積分 119
習(xí)題4 121
第5章 定積分 124
5.1 定積分的概念 124
5.1.1 定積分的概念 124
5.1.2 定積分的性質(zhì) 128
5.2 變上限積分 130
5.2.1 變上限積分與原函數(shù)存在定理 130
5.2.2 對(duì)變上限積分的積分上限求導(dǎo)的有關(guān)問題 131
5.3 牛頓-萊布尼茨公式 133
5.4 定積分的計(jì)算方法 134
5.4.1 第一換元積分法 135
5.4.2 第二換元積分法 135
5.4.3 分部積分法 137
5.5 廣義積分 138
5.5.1 無窮限廣義積分 138
5.5.2 無界函數(shù)的廣義積分 140
5.6 定積分的應(yīng)用 142
5.6.1 幾何應(yīng)用 142
5.6.2 物理應(yīng)用 151
5.6.3 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 155
習(xí)題5 156
第6章 二元函數(shù)微積分 161
6.1 二元函數(shù)的基本概念 161
6.1.1 平面點(diǎn)集 161
6.1.2 二元函數(shù)概念 162
6.1.3 二元函數(shù)的極限 163
6.1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 164
6.2 二元函數(shù)微分法 165
6.2.1 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義 165
6.2.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 166
6.2.3 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 169
6.2.4 二元函數(shù)的全微分 169
6.3 二元函數(shù)微分法的應(yīng)用 172
6.3.1 數(shù)學(xué)應(yīng)用 172
6.3.2 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 177
6.4 二元函數(shù)積分法 178
6.4.1 二重積分的概念與性質(zhì) 179
6.4.2 二重積分的計(jì)算方法 182
習(xí)題6 188
第7章 微分方程與差分方程 190
7.1 微分方程的基本概念 190
7.1.1 引例 190
7.1.2 微分方程的概念 191
7.2 一階微分方程的解法 192
7.2.1 可分離變量的微分方程 192
7.2.2 齊次微分方程 195
7.2.3 一階線性微分方程 197
7.3 可降階的高階微分方程 201
7.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 201
7.3.2 y″=f(x，y′)型的微分方程 201
7.3.3 y″=f(y，y′)型的微分方程 202
7.4 二階常系數(shù)線性微分方程 203
7.4.1 二階線性微分方程解的性質(zhì) 203
7.4.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解 204
7.4.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解 206
7.5 差分方程的基本概念 209
7.5.1 差分的概念 209
7.5.2 差分方程的基本概念 210
7.6 一階常系數(shù)線性差分方程 211
7.6.1 線性差分方程解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì) 211
7.6.2 一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解 212
7.6.3 一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解 213
7.7 微分方程與差分方程的簡單經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 216
習(xí)題7 220
第8章 無窮級(jí)數(shù) 223
8.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 223
8.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 223
8.1.2 無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 227
8.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 228
8.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 229
8.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 234
8.2.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 235
8.3 冪級(jí)數(shù) 237
8.3.1 冪級(jí)數(shù)及其斂散性 237
8.3.2 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 241
8.4 泰勒級(jí)數(shù) 243
8.4.1 泰勒公式 243
8.4.2 泰勒級(jí)數(shù) 245
8.4.3 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 246
8.4.4 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用 250
習(xí)題8 253
第9章 微積分學(xué)中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 256
9.1 Matlab簡介 256
9.1.1 Matlab窗口環(huán)境 256
9.1.2 Matlab命令形式 257
9.1.3 基本數(shù)學(xué)運(yùn)算 257
9.1.4 M 文件與函數(shù)調(diào)用 260
9.1.5 符號(hào)工具箱的使用 261
9.2 Matlab求解微積分問題 264
9.2.1 函數(shù)的計(jì)算 264
9.2.2 函數(shù)作圖 264
9.2.3 函數(shù)極限的計(jì)算 268
9.2.4 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 270
9.2.5 函數(shù)極值的計(jì)算 272
9.2.6 積分的計(jì)算 272
9.2.7 方程的求解 275
9.2.8 無窮級(jí)數(shù) 279
習(xí)題9 281
第10章 微積分學(xué)中的數(shù)學(xué)模型 283
10.1 數(shù)學(xué)模型的基本概念和主要方法 283
10.1.1 原型與模型 283
10.1.2 數(shù)學(xué)模型 283
10.1.3 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué) 283
10.1.4 評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn) 284
10.1.5 數(shù)學(xué)建模常用方法 284
10.2 連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用舉例 285
10.2.1 問題的提出 285
10.2.2 模型假設(shè) 285
10.2.3 模型建立 285
10.2.4 模型求解 286
10.3 導(dǎo)數(shù)與微分方程的應(yīng)用舉例 286
10.3.1 問題背景 286
10.3.2 問題的提出 287
10.3.3 模型的構(gòu)建 287
10.3.4 模型的求解 288
10.4 導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用舉例 288
10.4.1 問題背景 288
10.4.2 問題分析與求解 288
10.5 導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用舉例 289
10.5.1 問題的提出 289
10.5.2 模型的構(gòu)建 289
10.5.3 模型的應(yīng)用 290
10.6 積分的應(yīng)用舉例 291
10.6.1 問題背景 291
10.6.2 問題分析 292
10.6.3 模型建立與求解 292
10.7 微分方程的應(yīng)用舉例 296
10.7.1 問題的提出 296
10.7.2 模型假設(shè) 296
10.7.3 模型構(gòu)成 297
10.7.4 模型應(yīng)用 298
10.8 差分方程的應(yīng)用舉例 298
10.8.1 問題的提出 298
10.8.2 模型的構(gòu)建和求解 298
10.8.3 模型的應(yīng)用 302
習(xí)題10 302
數(shù)學(xué)二考研模擬試題一 304
數(shù)學(xué)二考研模擬試題二 307
數(shù)學(xué)二考研模擬試題三 310
數(shù)學(xué)二考研模擬試題四 313
數(shù)學(xué)二考研模擬試題五 316
數(shù)學(xué)三考研模擬試題一 319
數(shù)學(xué)三考研模擬試題二 322
數(shù)學(xué)三考研模擬試題三 325
數(shù)學(xué)三考研模擬試題四 328
數(shù)學(xué)三考研模擬試題五 332
習(xí)題參考答案 335
數(shù)學(xué)考研模擬試題答案 348
參考文獻(xiàn) 357
附錄 358
A.1 常用數(shù)學(xué)公式 358
A.2 基本初等函數(shù)的圖形和主要性質(zhì) 361
A.3 幾種常用的曲線 363
A.4 導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式和法則 364
A.5 基本的積分表 365
A.6 幾個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式 366
A.7 幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式 366