第1章 復數(shù)的基本概念
1.1 復數(shù)及其運算
1.1.1 復數(shù)的定義
1.1.2 實部和虛部
1.1.3 才目等
1.1.4 復數(shù)的四則運算
1.1.5 復數(shù)的共軛運算
1.2 復數(shù)的幾何表示
1.2.1 復平面
1.2.2 復球面
1.2.3 無窮遠點
1.3 復數(shù)的冪與方根
1.3.1 復數(shù)的乘積與商
1.3.2 復數(shù)的冪
1.3.3 復數(shù)的根

第1章  復數(shù)的基本概念

  1.1  復數(shù)及其運算

    1.1.1  復數(shù)的定義

    1.1.2  實部和虛部

    1.1.3  才目等

    1.1.4  復數(shù)的四則運算

    1.1.5  復數(shù)的共軛運算

  1.2  復數(shù)的幾何表示

    1.2.1  復平面

    1.2.2  復球面

    1.2.3  無窮遠點

  1.3  復數(shù)的冪與方根

    1.3.1  復數(shù)的乘積與商

    1.3.2  復數(shù)的冪

    1.3.3  復數(shù)的根

  1.4  復數(shù)序列的極限

    1.4.1  復數(shù)的序列

    1.4.2  聚點與極限

    1.4.3  復數(shù)序列極限存在的充分必要條件——柯西判別法

    1.4.4  極限趨于無窮

第2章  解析函數(shù)

  2.1  復變函數(shù)

    2.1.1  區(qū)域

    2.1.2  復變函數(shù)的定義

    2.1.3  復變函數(shù)的極限

    2.1.4  復變函數(shù)的連續(xù)性

  2.2  復變函數(shù)的導數(shù)

    2.2.1  導數(shù)與微分

    2.2.2  可導的充分必要條件

    2.2.3  求導的運算法則

  2.3  解析函數(shù)的定義和判定條件

    2.3.1  解析函數(shù)的定義

    2.3.2  函數(shù)解析的充分必要條件

    2.3.3  解析函數(shù)的運算法則

  2.4  解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系

    2.4.1  調和函數(shù)

    2.4.2  共軛調和函數(shù)

  2.5  單值初等函數(shù)

    2.5.1  幕函數(shù)

    2.5.2  指數(shù)函數(shù)

    2.5.3  三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

第3章  多值函數(shù)及其單值分支

  3.1  對數(shù)函數(shù)ω=lnz

  3.2  冪函數(shù)ω=(z-α)α

  3.3  反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)

  3.4  多值函數(shù)的四則運算

  3.5  多值函數(shù)的復合函數(shù)

第4章  復變函數(shù)的積分

  4.1  復變函數(shù)積分的概念

    4.1.1  復變函數(shù)積分的定義

    4.1.2  積分的計算

    4.1.3  復變函數(shù)積分的幾個基本性質

  4.2  柯西積分定理

  4.3  不定積分

  4.4  柯西積分公式及其推論

第5章  復數(shù)項級數(shù)和復變函數(shù)項級數(shù)

  5.1  復級數(shù)

    5.1.1  復數(shù)列

    5.1.2  復數(shù)項級數(shù)

    5.1.3  復變函數(shù)項級數(shù)

  5.2  冪級數(shù)

    5.2.1  冪級數(shù)的斂散性質

    5.2.2  冪級數(shù)∑cnzn收斂半徑的求法

    5.2.3  冪級數(shù)∑cnzn和的解析性

  5.3  解析函數(shù)的泰勒展開

    5.3.1  泰勒定理

    5.3.2  一些初等函數(shù)的泰勒展開式

  5.4  解析函數(shù)的洛朗展開

    5.4.1  洛朗級數(shù)

    5.4.2  環(huán)形區(qū)域上解析函數(shù)的洛朗展開

第6章  留數(shù)理論及其應用

  6.1  孤立奇點

    6.1.1  奇點的分類

    6.1.2  零點與極點的關系

    6.1.3  解析函數(shù)在無窮遠點的性質

  6.2  留數(shù)定理

    6.2.1  留數(shù)的概念

    6.2.2  留數(shù)的求法

    6.2.3  在無窮遠點處的留數(shù)

    6.2.4  留數(shù)定理

  6.3  用留數(shù)定理計算實積分

    6.3.1  (sinx，cosx)dZ型積分的計算

    6.3.2  f(x)dx型積分的計算

    6.3.3  含三角函數(shù)的無窮型積分的計算

  6.4  積分路線上有奇點類型積分的計算

  6.5  多值函數(shù)的積分

    6.5.1  含多值函數(shù)的無窮限反常積分

    6.5.2  含有兩個冪函數(shù)乘積的積分

    6.5.3  利用含有對數(shù)函數(shù)的被積函數(shù)求其他積分

  6.6  其他積分例子

第7章  含參變量的積分

  7.1  解析函數(shù)的定義域延拓

  7.2  含參變量的積分

  7.3  Γ函數(shù)

  7.4  B函數(shù)

第8章  傅里葉變換

  8.1  傅里葉積分公式

    8.1.1  傅里葉級數(shù)的三角形式

    8.1.2  傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式

    8.1.3  非周期函數(shù)的展開問題

  8.2  傅里葉變換

  8.3  單位脈沖函數(shù)——δ函數(shù)

    8.3.1  δ函數(shù)的定義

    8.3.2  廣義傅里葉變換

  8.4  傅里葉積分的性質

  8.5  傅里葉變換的應用

第9章  拉普拉斯變換

  9.1  拉普拉斯變換的概念

  9.2  拉普拉斯變換及其逆變換的定義

  9.3  拉普拉斯變換的存在定理

  9.4  周期函數(shù)的拉普拉斯變換

  9.5  關于拉普拉斯變換的積分下限問題

  9.6  拉普拉斯變換的基本性質

  9.7  象原函數(shù)的求法

  9.8  拉普拉斯變換的應用

    9.8.1  解常系數(shù)線性微分方程的初值問題

    9.8.2  求解常系數(shù)線性微分方程的邊值問題

    9.8.3  解某些變系數(shù)線性微分方程

    9.8.4  求解某些積分方程、微分積分方程

    9.8.5  解常系數(shù)線性微分方程組

第10章  二階線性常微分方程的級數(shù)解法

  10.1  二階線性常微分方程的常點和奇點

  10.2  方程常點鄰域內的解

  10.3  方程正則奇點鄰域內的解

第11章  典型方程的推導及基本概念

  11.1  典型方程的導出

    11.1.1  弦的微小橫振動方程

    11.1.2  在固體申的熱傳導方程

    11.1.3  拉普拉斯方程和泊松方程

  11.2  定解條件

    11.2.1  初始條件

    11.2.2  邊界條件

    11.2.3  定解問題及其分類

    11.2.4  定解問題的適定性

    11.2.5  疊加原理

第12章  行波法

  12.1  行波法

    12.1.1  弦振動方程的達朗貝爾解法

    12.1.2  達朗貝爾公式的物理意義

    12.1.3  依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域

    12.1.4  有累積效應與無累積效應

    12.1.5  非齊次方程與齊次化原理

  12.2  延拓法求解半無限長振動問題

    12.2.1  半無限長弦的自由振動問題

    12.2.2  半無限長弦的強迫振動問題

  12.3  高維波動方程的初值問題

    12.3.1  平均值法求解三維波動方程初值問題

    12.3.2  降維法

第13章  分離變量法

  13.1  有界弦的自由振動

    13.1.1  分離變量法的求解過程

    13.1.2  關于求解過程的評注

    13.1.3  波動方程的物理意義

  13.2  有限長桿上的熱傳導問題

    13.2.1  使用分離變量法求解第一類齊次邊界條件的定解問題

    13.2.2  使用分離變量法求解其他類型的齊次邊界條件定解問題

  13.3  非齊次方程的求解問題

  13.4  非齊次邊界條件的處理

第14章  常微分方程的本特征值問題

  14.1  二階線性常微分方程的本征值問題

  14.2  斯特姆-劉維爾方程的本征值問題

  14.3  兩類本征值問題的相互轉化

第15章  亥姆霍茲方程在不同坐標系下的表現(xiàn)形式

  15.1  拉普拉斯算子在不同坐標系下的表現(xiàn)形式

  15.2  球坐標系和柱坐標系中亥姆霍茲方程的變數(shù)分離

  15.3  圓內的狄里希累問題

第16章  勒讓德多項式

  16.1  勒讓德方程的求解

  16.2  勒讓德多項式的生成函數(shù)和遞推公式

  16.3  勒讓德級數(shù)

  16.4  連帶的勒讓德多項式

第17章  貝塞爾函數(shù)

  17.1  貝塞爾方程及其求解

  17.2  貝塞爾函數(shù)

  17.3  貝塞爾函數(shù)的性質

    17.3.1  母函數(shù)和積分表示

    17.3.2  微分關系和遞推公式

    17.3.3  半階函數(shù)

    17.3.4  貝塞爾函數(shù)的零點和衰減振蕩特性

  17.4  貝塞爾方程的固有值問題

  17.5  貝塞爾函數(shù)的應用

  17.6  球貝塞爾函數(shù)和變型(虛宗量)貝塞爾函數(shù)

第18章  格林函數(shù)

  18.1  亥姆霍茲方程的格林函數(shù)

  18.2  格林函數(shù)的性質

  18.3  廣義格林函數(shù)

  18.4  全空間上的格林函數(shù)——基本解

  18.5  求特殊形狀區(qū)域內格林函數(shù)的電像法

  18.6  含時間問題的格林函數(shù)及其應用

  18.7  格林函數(shù)的級數(shù)解法

第19章  求解微分方程定解問題積分變換法的普遍原理

  19.1  基本原理

  19.2  一些積分變換的例子

參考文獻