目錄
第6章 多元函數(shù)微分學(xué) 1
6.1 多元函數(shù)和向量函數(shù)的極限與連續(xù) 1
6.1.1 n維向量空間的區(qū)域 1
6.1.2 多元函數(shù)和向量函數(shù) 4
6.1.3 多元函數(shù)和向量函數(shù)的極限 7
6.1.4 多元函數(shù)和向量函數(shù)的連續(xù) 9
6.1.5 線性度量空間的極限與連續(xù) 10
習(xí)題6.1 12
6.2 偏導(dǎo)數(shù) 14
6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念 14
6.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 15
6.2.3 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 18
6.2.4 向量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 18
習(xí)題6.2 24
6.3 全微分及其應(yīng)用 25
6.3.1 全微分的概念 25
6.3.2 函數(shù)可微的充分條件和必要條件 26
6.3.3 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 30
習(xí)題6.3 30
6.4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 31
6.4.1 復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 31
6.4.2 復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 38
6.4.3 全微分形式的不變性 40
習(xí)題6.4 41
6.5 隱函數(shù)求導(dǎo) 43
6.5.1 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的求導(dǎo) 43
6.5.2 由方程組確定的隱函數(shù)組的求導(dǎo) 47
習(xí)題6.5 49
6.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 50
6.6.1 空間曲線的切線方程和法平面方程 50
6.6.2 空間曲面的切平面與法線 52
習(xí)題6.6 57
6.7 方向?qū)��?shù)與數(shù)量場的梯度 58
6.7.1 場的概念 58
6.7.2 方向?qū)��?shù)和梯度 64
6.7.3 梯度的物理意義和幾何意義 65
6.7.4 梯度的運(yùn)算性質(zhì) 66
習(xí)題6.7 69
6.8 多元函數(shù)的Taylor公式與極值 70
6.8.1 多元函數(shù)的Taylor公式 70
6.8.2 多元函數(shù)的極值 73
6.8.3 函數(shù)的最大值與最小值 76
6.8.4 條件極值與Lagrange乘數(shù)法 78
6.8.5 最小二乘法 82
習(xí)題6.8 85
第6章 綜合練習(xí)題 86
第7章 解析函數(shù)與共形映射 89
7.1 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 89
7.1.1 復(fù)數(shù) 89
7.1.2 復(fù)平面區(qū)域 92
7.1.3 復(fù)球面擴(kuò)充復(fù)平面 94
7.1.4 復(fù)變函數(shù) 95
7.1.5 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù) 97
習(xí)題7.1 100
7.2 解析函數(shù) 101
7.2.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分Cauchy-Riemann方程 101
7.2.2 解析函數(shù) 105
習(xí)題7.2 107
7.3 初等解析函數(shù) 108
7.3.1 指數(shù)函數(shù) 108
7.3.2 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 109
7.3.3 對數(shù)函數(shù) 111
7.3.4 乘冪ab和冪函數(shù) 113
7.3.5 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù) 114
習(xí)題7.3 115
7.4 共形映射 116
7.4.1 解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 116
7.4.2 共形映射的概念及若干基本定理 119
習(xí)題7.4 122
7.5 分式線性映射 123
7.5.1 分式線性映射 123
7.5.2 分式線性映射的性質(zhì) 125
習(xí)題7.5 134
7.6 若干初等函數(shù)的共形映射 134
7.6.1 冪函數(shù)的映射 134
7.6.2 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的映射 141
7.6.3 茹科夫斯基函數(shù) 146
習(xí)題7.6 148
第7章 綜合練習(xí)題 150
第8章 第一型積分 152
8.1 第一型積分的概念和性質(zhì) 152
8.1.1 質(zhì)量分布模型和第一型積分 152
8.1.2 第一型積分的性質(zhì) 154
8.1.3 向量函數(shù)的第一型積分 156
習(xí)題8.1 156
8.2 重積分在直角坐標(biāo)系下的表示和計(jì)算 157
8.2.1 二重積分在直角坐標(biāo)系下的表示和計(jì)算 157
8.2.2 三重積分在直角坐標(biāo)系下的表示和計(jì)算 164
習(xí)題8.2 170
8.3 利用極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)計(jì)算重積分 171
8.3.1 重積分的換元積分法 171
8.3.2 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 175
8.3.3 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 179
8.3.4 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 180
習(xí)題8.3 183
8.4 第一型曲線積分和曲面積分 185
8.4.1 第一型曲線積分 185
8.4.2 第一型曲面積分 189
習(xí)題8.4 196
8.5 第一型積分的應(yīng)用 197
8.5.1 第一型積分的幾何應(yīng)用 197
8.5.2 質(zhì)量、矩、重心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 201
8.5.3 引力 205
習(xí)題8.5 207
第8章 綜合練習(xí)題 208
第9章 第二型曲線積分與復(fù)變函數(shù)積分 211
9.1 第二型曲線積分 211
9.1.1 第二型曲線積分的概念 211
9.1.2 第二型曲線積分的性質(zhì) 213
9.1.3 第二型曲線積分的計(jì)算 214
9.1.4 第二型曲線積分與第一型曲線積分的關(guān)系 217
習(xí)題9.1 218
9.2 Green公式 220
9.2.1 Green公式 220
9.2.2 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 226
9.2.3 全微分方程 231
習(xí)題9.2 231
9.3 復(fù)變函數(shù)的積分Cauchy積分定理 233
9.3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念 233
9.3.2 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì) 235
9.3.3 Cauchy積分定理 235
9.3.4 原函數(shù)與不定積分 238
習(xí)題9.3 241
9.4 Cauchy積分公式 242
9.4.1 Cauchy積分公式 242
9.4.2 Cauchy型積分與解析函數(shù)的無限次可微性 244
9.4.3 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 247
習(xí)題9.4 251
第9章 綜合練習(xí)題 252
第10章 第二型曲面積分與場論 255
10.1 第二型曲面積分 255
10.1.1 第二型曲面積分的概念與性質(zhì)通量 255
10.1.2 第二型曲面積分的計(jì)算 259
習(xí)題10.1 265
10.2 Gauss公式與散度 266
10.2.1 Gauss公式 266
10.2.2 散度 271
10.2.3 外微分形式簡介 274
習(xí)題10.2 280
10.3 Stokes公式與旋度 281
10.3.1 Stokes公式 281
10.3.2 旋度 285
10.3.3 旋度的運(yùn)算性質(zhì) 287
10.3.4 Hamilton算子 289
習(xí)題10.3 293
10.4 特殊場 294
10.4.1 空間曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件 294
10.4.2 幾種重要的特殊場 296
10.4.3 平面向量場與復(fù)勢 301
習(xí)題10.4 305
10.5 場在正交曲線坐標(biāo)系下的表示 306
10.5.1 正交曲線坐標(biāo)Lame系數(shù) 306
10.5.2 基變換與坐標(biāo)變換 309
10.5.3 算子與場在正交曲線坐標(biāo)系下的表示 312
習(xí)題10.5 318
第10章 綜合練習(xí)題 320
部分習(xí)題參考答案 322
參考文獻(xiàn) 338
附錄 區(qū)域的共形映射表 339
索引 343