本書是河南省數學教學指導委員會推薦用書。根據一般本科類院校高等數學教學大綱的基本要求，結合作者多年來實踐教學經驗和研究心得編寫而成。內容包括極限與函數、一元函數微分學及其應用、一元函數積分學及其應用、代數與幾何初步、常微分方程、多元函數微分學及其應用、多元函數積分學及其應用、無窮級數及其應用、數學實踐與建模等9部分。
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目錄
前言
第1章 函數、極限與連續(xù) 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合之間的運算 2
1.1.3 區(qū)間和鄰域 2
習題1.1 3
1.2 函數及其特性 3
1.2.1 映射 3
1.2.2 函數 4
1.2.3 函數的基本性質 7
習題1.2 9
1.3 反函數與復合函數 9
1.3.1 反函數 9
1.3.2 復合函數 10
習題1.3 11
1.4 初等函數 11
1.4.1 基本初等函數 11
1.4.2 初等函數 15
1.4.3 雙曲函數和反雙曲函數 15
習題1.4 16
1.5 數列極限 16
1.5.1 數列的基本概念 17
1.5.2 數列的極限 18
1.5.3 收斂數列的性質 20
習題1.5 21
1.6 函數的極限 22
1.6.1 當x→∞時函數f(x)的極限 22
1.6.2 當x→x0時函數f(x)的極限 23
1.6.3 函數極限的性質 25
習題1.6 25
1.7 兩種特殊的量——無窮小量與無窮大量 26
1.7.1 無窮小量 26
1.7.2 無窮大量 26
1.7.3 無窮小量與無窮大量的關系 27
習題1.7 28
1.8 極限的運算法則 28
1.8.1 無窮小的運算法則 28
1.8.2 函數極限的四則運算法則 29
1.8.3 復合函數的極限運算法則 31
習題1.8 32
1.9極限存在準則與兩個重要極限 32
1.9.1 極限的夾逼準則及應用 32
1.9.2 單調有界準則及應用 34
習題1.9 37
1.10無窮小的比較 38
1.10.1 無窮小比較的定義 38
1.10.2 無窮小的等價代換——簡稱等價代換 39
習題1.10 41
1.11 函數的連續(xù)與間斷 41
1.11.1 函數在一點連續(xù)的概念 41
1.11.2 函數在區(qū)間上連續(xù)的概念 42
1.11.3 連續(xù)函數的運算性質及初等函數的連續(xù)性 43
1.11.4 函數的間斷點及其分類 44
習題1.11 46
1.12閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 46
1.12.1 最大值、最小值定理 46
1.12.2 有界性定理 47
1.12.3 介值定理 47
1.12.4 致連續(xù)性 48
習題1.12 49
本章小結 49
一、內容概要 49
二、解題指導 49
復習題1 50
第2章 導數與微分 52
2.1 函數的瞬時變化率——導數的概念 52
2.1.1 概念引入 52
2.1.2 導數的定義 54
2.1.3 函數的可導性與連續(xù)性的關系 56
2.1.4 幾個基本初等函數的導數公式的推導 57
習題2.1 58
2.2 導數的運算法則 59
2.2.1 導數的四則運算法則 59
2.2.2 反函數和復合函數的求導法則 61
2.2.3 導數基本公式表 65
習題2.2 66
2.3 高階導數 67
2.3.1 高階導數的概念 67
2.3.2 高階導數的求導運算法則 69
習題2.3 70
2.4 隱函數以及由參數方程確定的函數的求導法 70
2.4.1 隱函數求導法 70
2.4.2 由參數方程確定的函數的求導法 74
2.4.3 相關變化率 77
習題2.4 78
2.5 函數的微分及其應用 79
2.5.1 微分的定義 79
2.5.2 可微與可導的關系 80
2.5.3 微分的幾何意義 80
2.5.4 微分基本公式和運算法則 81
2.5.5 復合函數的微分微分的形式不變性 81
2.5.6 微分在近似計算中的應用 82
習題2.5 83
本章小結 84
一、內容概要 84
二、解題指導 84
二、數學史與人物介紹 84
復習題2 86
第3章 微分中值定理與導數的應用 88
3.1 微分中值定理 88
3.1.1 羅爾中值定理 88
3.1.2 拉格朗日中值定理 91
3.1.3 柯西中值定理 94
習題3.1 96
3.2 洛必達法則 97
3.2.1 型未定式的洛必達法則 97
3.2.2 型未定式的洛必達法則 99
3.2.3 其他類型的未定式 100
3.2.4 注意事項舉例 101
習題3.2 102
3.3 泰勒公式 103
3.3.1 問題的提出 103
3.3.2 系數的選取 103
3.3.3 誤差的確定 104
3.3.4 泰勒中值定理 105
習題3.3 109
3.4 函數性態(tài)的研究 109
3.4.1 函數的單調性 109
3.4.2 函數的極值 111
3.4.3 函數的最大（小）值 113
3.4.4 曲線的凹凸性及拐點 115
習題3.4 119
3.5 函數圖形的描繪 121
3.5.1 曲線的漸近線 121
3.5.2 函數圖形的描繪 121
習題3.5 123
3.6 平面曲線的曲率 124
3.6.1 弧微分 124
3.6.2 曲率及其計算公式 124
3.6.3 曲率同與曲率半徑 127
習題3.6 128
3.7 方程的近似解 129
3.7.1 二分法 129
3.7.2 牛頓迭代法 130
習題3.7 133
本章小結 133
一、內容概要 133
一、解題指導 134
二、人物介紹 134
復習題3 137
第4章 不定積分 140
4.1 不定積分的概念 140
4.1.1 原函數與不定積分的概念 140
4.1.2 基本積分表 143
4.1.3 不定積分的性質 144
習題4.1 146
4.2 換元積分法 147
4.2.1 第一類換元法 147
4.2.2 第二類換元法 153
習題4.2 157
4.3 分部積分法 159
習題4.3 162
4.4 有理函數積分法 163
4.4.1 有理函數的積分 163
4.4.2 可化為有理函數的積分 165
習題4.4 167
本章小結 168
一、內容概要 168
一、解題指導 168
復習題4 169
第5章 定積分 17l
5.1 定積分的概念與性質 171
5.1.1 中學基礎知識回顧 171
5.1.2 定積分的定義 174
5.1.3 定積分的基本性質 177
習題5.1 182
5.2 微積分基本定理 183
5.2.1 積分上限的函數 184
5.2.2 微積分基本定理 185
習題5.2 189
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 192
5.3.1 定積分的換元積分法 192
5.3.2 定積分的分部積分法 195
5.3.3 定積分第二中值定理 197
習題5.3 198
5.4 反常積分 200
5.4.1 無限區(qū)間上的反常積分 200
5.4.2 無界函數的反常積分 202
5.4.3 反常積分的柯西主值 204
習題5.4 204
5.5 反常積分的收斂判別法 205
5.5.1 無限區(qū)間上反常積分的斂散性判別法 205
5.5.2 無界函數的反常積分的斂散性判別法 210
習題5.5 211
本章小結 212
一、內容概要 212
一、解題指導 212
二、歷史人物介紹 213
復習題5 214
第6章 定積分的應用 217
6.1 定積分的微元法 217
6.2 定積分的幾何應用 218
6.2.1 平面圖形的面積 218
6.2.2 體積 222
6.2.3 平面曲線的弧長 226
6.2.4 旋轉曲面的面積 228
習題6.2 229
6.3 定積分的物理應用 230
6.3.1 變力沿直線做功 230
6.3.2 液體的壓力 233
6.3.3 引力 234
6.3.4 質量 235
習題6.3 235
6.4 定積分的經濟應用 236
6.4.1 總產量 236
6.4.2 最大利潤 236
6.4.3 消費過剩 237
習題6.4 237
本章小結 238
一、內容概要 238
一、解題指導 238
復習題6 238
第7章 常微分方程 240
7.1 微分方程的基本概念 240
習題7.1 243
7.2 可分離變量的一階方程與齊次方程 244
7.2.1 可分離變量的方程 244
7.2.2 齊次方程 247
7.2.3 可化為齊次的方程 250
習題7.2 251
7.3 階線性微分方程 252
7.3.1 一階線性方程 252
7.3.2 伯努利方程 256
習題7.3 257
7.4 可降階的高階微分方程 258
7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 259
7.4.2 y=f(x，y)型的微分方程 259
7.4.3 y=f(y，y)型的微分方程 260
習題7.4 264
7.5 高階線性微分方程 264
7.5.1 二階線性微分方程舉例 264
7.5.2 線性微分方程的解的結構 266
7.5.3 常數變易法 268
習題7.5 271
7.6 常系數線性齊次微分方程 271
習題7.6 277
7.7 常系數線性非齊次微分方程 277
7.7.1 f（x）=eλxPm(x)型 278
7.7.2 型 280
習題7.7 282
7.8 歐拉方程 282
習題7.8 284
本章小結 284
一、內容概要 285
二、解題指導 285
三、數學史與人物介紹 286
復習題7 287
第8章 MATLAB軟件與一元函數微積分 290
8.1 MATLAB T作環(huán)境與編程 290
8.1.1 MATLAB的安裝與啟動 290
8.1.2 MATLABT作環(huán)境 290
8.1.3 MATLAB的幫助功熊 291
8.1.4 對輸入指令的編輯及部分通用指令 292
8.1.5 MATLAB的基本設計 293
8.2 元函數微分學實驗 293
8.2.1 曲線繪圖 293
8.2.2 MATLAB求函數極限 297
8.2.3 MATLAB求導數 297
8.2.4 MATLAB求極值和最值 298
8.2.5 MATI AB求方程的根 300
8.2.6 常微分方程符號求解 301
8.3 元函數積分學實驗 302
8.3.1 MATI AB求不定積分 303
8.3.2 MATI AB求數值積分 303
本章小結 307
復習題8 308
附錄I 二階和三階行列式簡介 309
附錄Ⅱ 幾種常用的曲線 313
附錄Ⅲ 積分表 315
附錄Ⅳ 部分常用數學公式 325
習題答案與提示 328
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