目錄
中文版序
前言
緒論 1
第1章 量綱分析、建模與不變性 4
1.1 引言 4
1.2 量綱分析：Buckingham Pi定理 4
1.2.1 量綱分析蘊(yùn)涵的假設(shè) 4
1.2.2 量綱分析的結(jié)論 6
1.2.3 Buckingham Pi定理的證明 7
1.2.4 舉例 9
習(xí)題1.2 13
1.3 量綱分析在PDEs中的應(yīng)用 14
習(xí)題1.3 21
1.4 量綱分析的推廣：變量尺度作用下PDEs的不變性 22
習(xí)題1.4 26
1.5 討論 28
第2章 Lie變換群與無窮小變換 29
2.1 簡介 29
2.2 Lie 變換群 29
2.2.1 群 30
2.2.2 群的舉例 30
2.2.3 變換群 31
2.2.4 單參數(shù)Lie變換群 31
2.2.5 單參數(shù)Lie變換群舉例 32
習(xí)題2.2 33
2.3 無窮小變換群 33
2.3.1 Lie第一基本定理 34
2.3.2 Lie第一基本定理應(yīng)用舉例 35
2.3.3 無窮小生成元 36
2.3.4 不變函數(shù) 39
2.3.5 正則坐標(biāo) 40
2.3.6 正則坐標(biāo)集舉例 42
習(xí)題2.3 44
2.4 點(diǎn)變換和拓展變換（延拓） 45
2.4.1 點(diǎn)變換的拓展群：單個因變量和單個自變量 46
2.4.2 拓展的無窮小變換：單個因變量和單個自變量 52
2.4.3 拓展變換：單個因變量和n個自變量 54
2.4.4 拓展的無窮小變換：單個因變量和n個自變量 57
2.4.5 拓展的變換與拓展的無窮小變換：m個因變量和n個自變量 60
習(xí)題2.4 62
2.5 多參數(shù)Lie變換群和Lie代數(shù) 64
2.5.1 r參數(shù)Lie變換群 64
2.5.2 Lie代數(shù) 68
2.5.3 Lie代數(shù)舉例 70
2.5.4 可解Lie代數(shù) 72
習(xí)題2.5 73
2.6 曲線和曲面映射 75
2.6.1 不變曲面、不變曲線、不變點(diǎn) 75
2.6.2 曲線映射 78
2.6.3 曲線映射例子 79
2.6.4 曲面映射 80
習(xí)題2.6 81
2.7 局部變換 81
2.7.1 點(diǎn)變換 81
2.7.2 接觸和高階變換 83
2.7.3 局部變換例子 84
習(xí)題2.7 85
2.8 討論 85
第3章 常微分方程 88
3.1 引言 88
習(xí)題3.1 92
3.2 一階 ODEs 92
3.2.1 正則坐標(biāo) 93
3.2.2 積分因子 95
3.2.3 解曲線的映射 96
3.2.4 —階常微分方程組的確定方程 98
3.2.5 給定群作用下一階ODEs不變量的確定 100
習(xí)題3.2 104
3.3 點(diǎn)對稱作用下二階和高階ODEs的不變性 106
3.3.1 通過正則坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)階的約化 107
3.3.2 通過微分不變量實(shí)現(xiàn)階的約化 109
3.3.3 階的約化舉例 111
3.3.4 n階ODE的點(diǎn)變換的確定方程 116
3.3.5 給定群作用下n階ODEs的不變量的確定 120
習(xí)題3.3 122
3.4 多參數(shù)Lie點(diǎn)變換群作用下階的約化 124
3.4.1 2參數(shù)Lie群作用下二階ODE的不變性 124
3.4.2 2參數(shù)Lie群作用下n階ODE的不變性 128
3.4.3 具有可解Lie代數(shù)的r參數(shù)Lie群作用下n階ODE的不變性 132
3.4.4 具有可解Lie代數(shù)的r參數(shù)Lie群作用下超定常微分方程組的不變性 140
習(xí)題3.4 144
3.5 接觸對稱和高階對稱 146
3.5.1 接觸對稱和高階對稱的確定方程 147
3.5.2 接觸對稱和高階對稱舉例 149
3.5.3 利用具有特征形式的點(diǎn)對稱實(shí)現(xiàn)階的約化 155
3.5.4 用接觸和高階對稱實(shí)現(xiàn)階的約化 159
習(xí)題3.5 163
3.6 通過積分因子獲得首次積分和階的約化 164
3.6.1 —階ODEs 166
3.6.2 二階ODEs的積分因子的確定方程 169
3.6.3 二階ODEs的首次積分 173
3.6.4 三階和高階ODEs的積分因子的確定方程 185
3.6.5 三階和高階ODEs的首次積分舉例 197
習(xí)題3.6 203
3.7 積分因子與對稱之間的基本聯(lián)系 206
3.7.1 伴隨對稱 207
3.7.2 伴隨不變性條件和積分因子 210
3.7.3 發(fā)現(xiàn)伴隨對稱和積分因子舉例 212
3.7.4 Noether定理、變分對稱和積分因子 219
3.7.5 對稱、伴隨對稱和積分因子計算的比較 224
習(xí)題3.7 225
3.8 由對稱和伴隨對稱實(shí)現(xiàn)首次積分的直接構(gòu)造 227
3.8.1 源于對稱和伴隨對稱的首次積分 228
3.8.2 用對稱或伴隨對稱從Wronski公式獲得首次積分 234
3.8.3 自伴隨ODEs的首次積分 242
習(xí)題3.8 245
3.9 應(yīng)用于邊值問題 246
習(xí)題3.9 248
3.10 不變解 250
習(xí)題3.10 258
3.11 討論 259
第4章 偏微分方程 264
4.1 引言 264
4.1.1 PDE的不變性 264
4.1.2 初等例子 266
習(xí)題4.1 268
4.2 標(biāo)量PDEs的不變性 269
4.2.1 不變解 269
4.2.2 k階PDE對稱的確定方程 271
4.2.3 例子 275
習(xí)題4.2 288
4.3 偏微分方程組的不變性 293
4.3.1 不變解 294
4.3.2 偏微分方程組對稱的確定方程 296
4.3.3 例子 298
習(xí)題4.3 308
4.4 應(yīng)用于邊值問題 312
4.4.1 標(biāo)量PDE的邊值問題不變性的公式 313
4.4.2 —個線性標(biāo)量PDE的不完全不變性 329
4.4.3 線性偏微分方程組的不完全不變性 337
習(xí)題4.4 339
4.5 討論 344
參考文獻(xiàn) 347
譯后記 358
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)譯叢》已出版書目 359