第1章 復(fù) 數(shù)………………………………………………………………………… 1
1.1 復(fù)數(shù)的概念、運算及幾何表示……………………………………………… 1
1.1.1 復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)運算…………………………………………… 1
1.1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示、模與輻角………………………………………… 2
1.1.3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根………………………………………………… 7
1.2 復(fù)平面上的曲線和區(qū)域…………………………………………………… 8
1.2.1 平面點集的一般概念……………………………………………… 8
1.2.2 曲線和區(qū)域………………………………………………………… 8
1.3 復(fù)球面與無窮遠點………………………………………………………… 11
習(xí)題1 …………………………………………………………………………… 12
第2章 解析函數(shù)…………………………………………………………………… 14
2.1 復(fù)變函數(shù)…………………………………………………………………… 14
2.1.1 復(fù)變函數(shù)的概念…………………………………………………… 14
2.1.2 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)…………………………………………… 15
2.2 解析函數(shù)的概念…………………………………………………………… 16
2.2.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)…………………………………………………… 16
2.2.2 解析函數(shù)及其性質(zhì)………………………………………………… 17
2.3 柯西黎曼方程…………………………………………………………… 18
2.4 初等解析函數(shù)……………………………………………………………… 21
2.4.1 指數(shù)函數(shù)…………………………………………………………… 21
2.4.2 對數(shù)函數(shù)…………………………………………………………… 22
2.4.3 冪函數(shù)……………………………………………………………… 24
2.4.4 三角函數(shù)與雙曲函數(shù)……………………………………………… 25
2.4.5 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)………………………………………… 27
習(xí)題2 …………………………………………………………………………… 29
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分…………………………………………………………… 31
3.1 復(fù)積分的概念與計算……………………………………………………… 31
3.1.1 復(fù)積分的概念……………………………………………………… 31
3.1.2 復(fù)積分的計算……………………………………………………… 32
3.1.3 復(fù)積分的基本性質(zhì)………………………………………………… 34
3.2 柯西積分定理及推廣……………………………………………………… 35
3.2.1 柯西積分定理……………………………………………………… 35
3.2.2 多連通區(qū)域的柯西積分定理……………………………………… 37
3.3 解析函數(shù)的不定積分……………………………………………………… 39
3.4 柯西積分公式……………………………………………………………… 41
3.5 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)……………………………………………………… 43
3.5.1 高階導(dǎo)數(shù)公式……………………………………………………… 43
3.5.2 柯西不等式和劉維爾定理………………………………………… 45
3.6 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系……………………………………………… 46
習(xí)題3 …………………………………………………………………………… 48
第4章 級 數(shù)……………………………………………………………………… 51
4.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)與復(fù)變函數(shù)項級數(shù)…………………………………………… 51
4.1.1 復(fù)數(shù)序列與復(fù)數(shù)項級數(shù)…………………………………………… 51
4.1.2 復(fù)變函數(shù)項序列與復(fù)變函數(shù)項級數(shù)……………………………… 52
4.2 冪級數(shù)……………………………………………………………………… 53
4.2.1 冪級數(shù)的斂散性…………………………………………………… 53
4.2.2 冪級數(shù)收斂半徑的求法…………………………………………… 55
4.2.3 冪級數(shù)的運算和性質(zhì)……………………………………………… 55
4.3 泰勒級數(shù)…………………………………………………………………… 57
4.3.1 解析函數(shù)的泰勒展式……………………………………………… 57
4.3.2 一些初等函數(shù)的泰勒展式………………………………………… 59
4.4 解析函數(shù)的唯一性定理…………………………………………………… 62
4.4.1 解析函數(shù)的零點及唯一性定理…………………………………… 62
4.4.2 最大模原理………………………………………………………… 63
4.5 羅朗級數(shù)…………………………………………………………………… 64
4.6 解析函數(shù)的孤立奇點……………………………………………………… 69
4.6.1 孤立奇點的分類…………………………………………………… 69
4.6.2 函數(shù)在孤立奇點的性質(zhì)…………………………………………… 70
4.6.3 函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)…………………………………………… 72
習(xí)題4 …………………………………………………………………………… 74
第5章 留數(shù)理論及其應(yīng)用………………………………………………………… 77
5.1 留數(shù)定理…………………………………………………………………… 77
5.1.1 留數(shù)的定義及留數(shù)定理…………………………………………… 77
5.1.2 留數(shù)的求法………………………………………………………… 79
5.1.3 函數(shù)在無窮遠點處的留數(shù)………………………………………… 81
5.2 應(yīng)用留數(shù)計算定積分……………………………………………………… 83
5.2.1 
5.2.4 積分路徑上有奇點的情形………………………………………… 89
5.2.5 一些其他類型的積分……………………………………………… 91
5.3 輻角原理和儒歇定理……………………………………………………… 93
5.3.1 對數(shù)留數(shù)定理……………………………………………………… 93
5.3.2 輻角原理…………………………………………………………… 94
5.3.3 儒歇定理…………………………………………………………… 95
習(xí)題5 …………………………………………………………………………… 97
第6章 保形映射…………………………………………………………………… 99
6.1 保形映射的概念…………………………………………………………… 99
6.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義…………………………………………………… 99
6.1.2 單葉解析函數(shù)的映射性質(zhì)……………………………………… 101
6.1.3 保形映射的概念………………………………………………… 102
6.2 分式線性映射…………………………………………………………… 103
6.2.1 分式線性映射的分解…………………………………………… 104
6.2.2 分式線性映射的保形性………………………………………… 105
6.2.3 分式線性映射的保圓性………………………………………… 106
6.2.4 分式線性映射的保對稱點性…………………………………… 107
6.2.5 分式線性映射的保交比性……………………………………… 108
6.2.6 兩個重要的分式線性映射……………………………………… 109
6.3 一些初等函數(shù)的映射…………………………………………………… 111
6.3.1 冪函數(shù)與根式函數(shù)……………………………………………… 111
6.3.2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)…………………………………………… 112
6.3.3* 儒可夫斯基函數(shù)……………………………………………… 113
6.3.4 復(fù)合映射舉例…………………………………………………… 115
6.4* 施瓦茲克里斯托菲公式……………………………………………… 118
習(xí)題6…………………………………………………………………………… 124
第7章 傅里葉變換………………………………………………………………… 127
7.1 傅里葉變換的概念……………………………………………………… 127
7.1.1 傅里葉級數(shù)(有限傅里葉變換)………………………………… 127
7.1.2 傅里葉變換的定義……………………………………………… 130
7.2 廣義傅里葉變換………………………………………………………… 133
7.3 傅里葉變換的性質(zhì)及應(yīng)用……………………………………………… 136
7.3.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)………………………………………… 136
7.3.2 卷積與卷積定理………………………………………………… 140
7.3.3* 相關(guān)函數(shù)……………………………………………………… 143
7.3.4* 綜合舉例……………………………………………………… 145
習(xí)題7…………………………………………………………………………… 149
第8章 拉普拉斯變換……………………………………………………………… 152
8.1 拉普拉斯變換的概念…………………………………………………… 152
8.1.1 拉普拉斯變換的定義…………………………………………… 152
8.1.2 拉普拉斯變換存在定理………………………………………… 153
8.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)及應(yīng)用…………………………………………… 155
8.2.1 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)……………………………………… 155
8.2.2 卷積與卷積定理………………………………………………… 160
8.2.3 拉普拉斯逆變換的計算………………………………………… 162
8.2.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用…………………………………………… 165
習(xí)題8…………………………………………………………………………… 170
第9章* 解析函數(shù)在平面場的應(yīng)用……………………………………………… 172
9.1 用復(fù)變函數(shù)表示平面場………………………………………………… 172
9.2 復(fù)變函數(shù)在流體力學(xué)中的應(yīng)用………………………………………… 173
9.2.1 流量與環(huán)量……………………………………………………… 173
9.2.2 平面穩(wěn)定流動的復(fù)勢及應(yīng)用…………………………………… 175
9.3 復(fù)變函數(shù)在靜電場中的應(yīng)用…………………………………………… 179
習(xí)題9…………………………………………………………………………… 182
習(xí)題答案與提示……………………………………………………………………… 183
習(xí)題1…………………………………………………………………………… 183
習(xí)題2…………………………………………………………………………… 183
習(xí)題3…………………………………………………………………………… 185
習(xí)題4 …………………………………………………………………………… 186
習(xí)題5…………………………………………………………………………… 188
習(xí)題6…………………………………………………………………………… 189
習(xí)題7…………………………………………………………………………… 190
習(xí)題8…………………………………………………………………………… 192
習(xí)題9…………………………………………………………………………… 193
附錄 傅氏變換與拉氏變換簡表…………………………………………………… 194
參考文獻……………………………………………………………………………… 202