本書將根據教育部“工科類數學基礎課程教學基本要求”的精神和原則，結合編者多年教學實踐與研究而編寫，內容符合“復變函數與積分變換”課程的教學基本要求。教材編寫力求結構嚴謹、邏輯清晰、深入淺出、重點突出、例題豐富、方便自學。突出應用性，使學生學會應用數學思想、概念和方法去處理工程實踐中的實際問題；尤其“用MATLAB進行復變函數與積分變換運算一章，體現了教材的現代化，加強數學實驗的教學與實踐，使讀者能夠熟悉MATLAB在復變函數與積分變換的基本使用方法。本書每章都有小結，有利于讀者全面把握教材內容和基本方法，也便于教學與自學。
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目錄
前言
第1章 復數與復變函數 1
1.1 復數及其運算 1
1.1.1 復數的基本概念 1
1.1.2 復數的代數運算 1
1.1.3 復平面 2
1.1.4 復數的乘冪與方根 5
1.2 復球面與區(qū)域 10
1.2.1 復球面 10
1.2.2 區(qū)域 11
1.3 復變函數 13
1.3.1 復變函數的概念 13
1.3.2 映射 14
1.3.3 復變函數的極限 16
1.3.4 復變函數的連續(xù)性 18
本章 小結 19
習題1 20
第2章 解析函數 23
2.1 解析函數的概念及充要條件 23
2.1.1 復變函數的導數與微分 23
2.1.2 解析函數的概念及性質 25
2.1.3 函數解析的充要條件 27
2.2 初等函數 32
2.2.1 指數函數 32
2.2.2 對數函數 33
2.2.3 冪函數 34
2.2.4 三角函數 36
2.2.5 反三角函數 39
2.2.6 雙曲函數與反雙曲函數 39
本章 小結 40
習題2 42
第3章 復變函數的積分 44
3.1 復變函數積分的概念 44
3.1.1 復積分的定義 44
3.1.2 復積分存在的條件及計算 45
3.1.3 復積分的性質 48
3.2 復變函數積分的基本定理 49
3.2.1 柯西古薩基本定理 49
3.2.2 基本定理的推廣——復合閉路定理 50
3.2.3 原函數與不定積分 52
3.3 復變函數積分的基本公式 56
3.3.1 柯西積分公式 56
3.3.2 解析函數的高階導數公式 57
3.4 解析函數與調和函數的關系 60
3.4.1 調和函數的概念 61
3.4.2 共軛調和函數 61
3.4.3 解析函數與調和函數的關系 62
本章 小結 64
習題3 66
第4章 級數70
4.1 復數項級數與冪級數 70
4.1.1 復數列的極限 70
4.1.2 復數項級數的概念 72
4.1.3 復數項級數的審斂法 72
4.1.4 復變函數項級數的概念 74
4.1.5 冪級數及其收斂圓 76
4.1.6 冪級數的運算和性質 80
4.2 泰勒級數 82
4.2.1 泰勒展開定理 82
4.2.2 函數展開成泰勒級數的方法 84
4.3 洛朗級數 87
4.3.1 雙邊冪級數的概念與性質 88
4.3.2 洛朗展開定理 89
4.3.3 函數展開成洛朗級數的方法 92
本章 小結 96
習題4 100
第5章 留數 103
5.1 孤立奇點 103
5.1.1 可去奇點 103
5.1.2 極點 104
5.1.3 本性奇點 106
5.1.4 解析函數的零點與極點的關系 106
5.1.5 函數在無窮遠點的性態(tài) 108
5.2 留數 110
5.2.1 留數概念及留數定理 110
5.2.2 留數的計算規(guī)則 113
5.2.3 在無窮遠點的留數 115
5.3 留數在定積分計算中的應用 119
5.3.1 形如R(cos0，sin O)d0積分 119
5.3.2 形如R(x)dx的積分 120
5.3.3 形如R(x)e。dx(a>0)的積分 121
本章 小結 124
習題5128
第6章 Fourier變換 130
6.1 Fourier積分 130
6.1.1 Fourier級數 130
6.1.2 Fourier積分定理 132
6.2 Fourier變換 136
6.2.1 Fourier變換與Fourier逆變換的概念 136
6.2.2 單位脈沖函數的概念與性質 139
6.2.3 單位脈沖函數的Fourier變換 143
6.3 Fourier變換的性質 145
6.3.1 線性性質 145
6.3.2 位移性質 146
6.3.3 相似性質 147
6.3.4 對稱性質 148
6.3.5 微分性質 148
6.3.6 積分性質 149
6.3.7 Parserval等式 151
6.4 卷積與卷積定理 151
6.4.1 卷積的概念 152
6.4.2 卷積定理 155
6.5 Fourier變換的應用 157
本章 小結 160
習題6 163
第7章 Laplace變換 166
7.1 Laplace變換的概念 166
7.1.1 Laplace變換的定義 166
7.1.2 Laplace變換的存在定理 168
7.1.3 周期函數的Laplace變換 171
7.2 Laplace變換的性質 173
7.2.1 線性性質 174
7.2.2 微分性質 174
7.2.3 積分性質 176
7.2.4 位移性質 178
7.2.5 延遲性質 178
7.2.6 相似性質 181
7.2.7 *初值定理與終值定理 182
7.3 卷積 184
7.3.1 卷積的概念 184
7.3.2 卷積定理 185
7.4 Laplace逆變換 188
7.4.1 反演積分公式 188
7.4.2 利用留數計算反演積分 189
7.5 Laplace變換的應用 195
7.5.1 解線性常微分方程 195
7.5.2 解積分微分方程 199
7.5.3 解線性常微分方程組 201
7.5.4 *解線性偏微分方程 203
7.5.5 *線性系統(tǒng)的傳遞函數 206
本章小結 208
習題7 212
第8章 Matlab在復變函數與積分變換中的應用 215
8.1 Matlab編程基礎 215
8.1.1 語句與變量 215
8.1.2 向量與矩陣 216
8.1.3 控制流和M文件 216
8.2 Matlab在復變函數與積分變換中的應用 218
8.2.1 復數與復矩陣的生成 218
8.2.2 復數的運算 219
8.2.3 留數 220
8.2.4 復變函數的積分 222
8.2.5 Fourier變換 224
8.2.6 Laplace變換 225
本章 小結 226
習題8 227
習題答案 228
參考文獻 239
附錄I Fourier變換簡表 240
附錄II Laplace變換簡表 243
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