單墫老師的書,是許多數(shù)學愛好者,尤其是關(guān)注數(shù)學競賽的人,是必備之書。本書是單墫老師的新力作。其輕快的文風,亦師亦友的敘述方式,使得令人生畏的數(shù)學解題變得輕松有趣起來。
這本《解題漫談》與已出版的《解題研究》、《我怎樣解題》,屬于解題系列,精神是一致的:以自己解過的題為例子,加以分析與討論,著重描述探究的過程,闡述我們怎樣解題。
本書分為三個部分:基礎(chǔ)部分(60節(jié)),提高部分(48節(jié)),附錄。
基礎(chǔ)部分的問題,內(nèi)容較淺,解法比較簡單.提高部分,內(nèi)容較深,解法比較復雜.附錄搜集我在《學數(shù)學》雜志上發(fā)表的一些文章。
怎樣提高解題能力?這是一個大家關(guān)心的問題。
首先,自己得解一定數(shù)量的題,其中有一些稍難的,需要動腦筋,不能依樣畫葫蘆的題。
解題是一種實踐性的智力活動,必須勤練才能嫻熟,嫻熟才能生巧。
有人說:“做了很多題,解題能力仍未提高。為什么?”
這多半是由于沒有及時做好總結(jié)。
每次做完一道不太簡單的題,一定要回顧一遍.弄清:需要哪些步驟?哪些是必須的?哪些是多余的(可以去掉)?哪些步驟是關(guān)鍵步驟?有無其它解法?能否解得更好?
這種總結(jié)工作,正是提高解題能力的最重要的一環(huán)。
如果有朋友在一起討論更好。
最近在網(wǎng)上看到一個帖子,說不喜歡我,因為我“老是指出別人的解有錯”,“說別人的解不好!
我想了一想,的確寫過幾篇糾錯的文章。但數(shù)學是一門科學.科學就要求真,就要糾錯。
鑰匙不僅要明辨是非,弄清對錯,還應(yīng)當精益求益,尋求最佳的解法,只有這樣,解題能力才能得到提高。
所以我還得寫一些文章,寫一些書皮,談解題中的問題。有錯誤就得糾正,有不妥就應(yīng)當指出,這教師與人為善的態(tài)度。當然,不要進行人身攻擊,貶低別人。好像打球,沖著球(問題)去,而不是沖著人去。
對于自己的錯誤,當然更不能寬容。寫這本書頗費功夫,改了多次,反復琢磨能不能把解答做得更好一些。但現(xiàn)在年齡大了,精力不夠,常有照顧不周的地方,請讀者與朋友多加批評。
基礎(chǔ)部分
基礎(chǔ)部分的問題比較容易,乃至的知識較少(很多只需要實踐的數(shù)學)。
基礎(chǔ)極為重要.基礎(chǔ)未打好就忙于提高,就如在沙灘上建筑高樓,也像楷書還未學好,就去寫狂草,當然不易成功。據(jù)我觀察,不少高三學生,實踐基礎(chǔ)并未打好。即使是參加競賽的選手,也有一些人需要加固基礎(chǔ)。
良好的解題習慣應(yīng)當在打基礎(chǔ)時養(yǎng)成(不良習慣也應(yīng)在這時及早糾正)。
遇到問題,要認真讀題,弄清已知與求證(或求),不僅要了解其意義,記在胸中,還要知道相關(guān)知識,如已知三角形是直角三角形,就應(yīng)知道兩個銳角互余,斜邊中線是斜邊的一邊,勾股定理,…,如果求證四邊形是平行四邊形,就應(yīng)考慮兩組對邊平行、兩組對邊相等、一組對邊平行且相等、對角線互相平分、……等有關(guān)的判定定理。
在這一部分,我們要介紹一些基本的技巧與手法,也介紹一些基本的解題方法。每道題都加以分析、討論與總結(jié)。
單墫,我國著名數(shù)學傳播、普及和數(shù)學競賽的專家。1964年畢業(yè)于揚州師范學院數(shù)學系,在中學、大學任教四十多年。
1983年獲理科博士學位(我國首批18名博士之一),1991年當選全國“優(yōu)秀教師”,1991年7月起享受政府特殊津貼,1992年評為國家有突出貢獻的中青年專家。1995年評為省“優(yōu)秀學科帶頭人”。
單墫教授曾任南京師范大學數(shù)學系主任,中國數(shù)學奧林匹克委員會委員、教練組組長,國家教委理科試驗班專家組組長,南京數(shù)學學會理事長。
單墫教授主要從事數(shù)論與組合方面的研究,很多成果達到國際先進水平。
1989年作為中國數(shù)學奧林匹克代表隊副領(lǐng)隊、主教練,1990年作為領(lǐng)隊,率隊參賽IMO均獲總分第1,為我國數(shù)學競賽事業(yè)作為很大貢獻。
基礎(chǔ)部分
1 溶液濃度
2 力求簡單
3 整數(shù)好算
4 從何切入
5 立方體的展開
6 階乘好大!
7 又見階乘
8 等比的值
9 最簡單的證法
10 別沒事找事
11 如愿以償
12 化為互質(zhì)
13 是平方數(shù)
14 唯有一個
15 條件太多
16 五人合作
17 1的變形
18 變?yōu)橥帜?br />
19 盯緊分母
20 瞄準目標
21 沒有根式
22 一個恒等式
23 配方更好
24 又用配方
25 無需花招
26 何需套路
27 弄巧成拙
28 一次函數(shù)
29 變更原點
30 列表更好
31 盡信書,不如無書
32 用判別式?
33 三次根式
34 不可忽視
35 不解風情
36 根的正負
37 函數(shù)單調(diào)
38 先定范圍
39 中點距離
40 先抓西瓜
41 拼圖游戲
42 知識障
43 面積之比
44 六邊形面積
45 芝麻,開門
46 尋找條件
47 改造題目
48 排定大小
49 第六種證法
50 老封編的題
51 倒立而行
52 座位相鄰
53 復數(shù),并不復雜
54 取數(shù)
55 多項式
56 中位數(shù)
57 一座雄關(guān)
58 復數(shù)又來了
59 子集族個數(shù)
60 集合個數(shù)
未帶地圖的旅人
提高部分
61 葉中豪的題
62 姜霽恒的題
63 外心的對稱點
64 西摩松線
65 對稱性
66 有與沒有
67 三分之一
68 一道競賽題的推廣
69 新編幾何題
70 相交的圓
71 兩圓相切
72 又是兩圓相切
73 無窮多個平方數(shù)
74 難親數(shù)列
75 蒼蠅、蠅魂
76 幽靈數(shù)列
77 沿數(shù)軸前進
78 侶伴數(shù)列
79 代數(shù)式的值
80 冪和的不等式
81 整數(shù)逼近
82 標準化
83 兩組正整數(shù)
84 整數(shù)組數(shù)
85 多個函數(shù)
86 一個多項式
87 乘積的項數(shù)
88 上要封頂
89 柳暗花明
90 完全剩余系相加
91 添加元素
92 數(shù)論函數(shù)
93 廉潔不廉潔
94 四進制
95 差分再來
96 復數(shù)的模
97 遞推與歸納
98 不動點
99 又一個函數(shù)
100 元素、集合
101 功不唐捐
102 元素的和
103 集合、映射
104 好子集
105 元素的和相等
106 暗示
107 元數(shù)的最大值
108 小孩買糖
109 圖的染色
110 友好的賽事
眼界與品味
附錄
1 代數(shù)問題應(yīng)當用代數(shù)解法
2 近在眼前
3 相似形、透視形、位似形
4 一題五解
5 兩道2013年江蘇高考題
6 三次函數(shù)與中心對稱
7 談?wù)勌岣呓忸}能力
8 解首屆“學數(shù)學”邀請賽的感想
9 Mobius函數(shù)
10 再談提高解題能力
11 也談一道競賽題的純幾何解法
12 兩道高考題
13 每道題做三遍
14 一同做2015年江蘇省數(shù)學高考試題
15 Ramanujam的一個恒等式
16 解第30屆中國數(shù)學奧林匹克試題
17 簡評第二屆“學數(shù)學”數(shù)學奧林匹克邀請賽(秋季賽)
18 談第55屆國際數(shù)學奧林匹克試題的解法
19 做第三屆“學數(shù)學”邀請賽(春季賽)的試題
1. 溶液濃度
問題:A瓶裝180毫升濃度為35.5%的某種溶液,B瓶裝120毫升濃度為67.2%的同種溶液。從A、B取出等量的溶液,然后分別倒入B、A.混合后兩瓶溶液恰好相等。問各取出多少毫升溶液?
甲:這個濃度問題,我會做。
師:那你就做一做。
乙:這題我也會做。
師:我把數(shù)據(jù)改一改,35.5%、67.2%分別改為32.5%、58.4%.你做做看。
過了一會,兩人都做好了。
甲:答案是72毫升。
乙:我的答案也是72毫升。
甲:題目數(shù)據(jù)不同,怎么答案恰好一樣,太巧了。
師:看看你們怎么做的。
甲:我用算術(shù)方法。
乙:我用代數(shù)方法。
師:進入中學,用代數(shù)方法更多,我們先看看乙的做法。
乙:設(shè)各取出x毫升,則
(180-x)×35.5%+x·67.2%180=(120-x)×67.2%+x·35.5%120
然后去分母整理,最后得出結(jié)果。
甲:不見得比算術(shù)方法好。
乙:老師怎么做的?師:我的方法和你的差不多。同樣設(shè)取出x毫升.但將題目中的數(shù)據(jù)改成字母:A瓶有a毫升濃度為p的溶液,B瓶有b毫升濃度為q的溶液(p≠q)。
甲:那么方程就是
(a-x)p+xqa=(b-x)q+xpb
去分母整理得
(a+b)(p-q)x=ab(p-q)
因為p≠q,所以
x=aba+b.(1)
在a=180,b=120時,x=72。
乙:這比數(shù)的計算簡單。
甲:不論p、q為什么值,答案都是(1)。
師:代數(shù)就是用字母代替數(shù).用字母代替數(shù)后,不但計算簡單(避免了繁瑣的數(shù)值計算),而且具有一般性,容易看到規(guī)律.學習代數(shù)后,就應(yīng)當自覺地用字母代替數(shù),力求得出一般的結(jié)果。
所謂好的解法,就是簡單而又一般的解法。
評注:引入字母后,數(shù)學發(fā)生了巨大的變化。研究的對象不僅是數(shù),而且還有字母。字母可以代表數(shù)(起初就是這樣),也可以不代表數(shù)(比如代表向量、矩陣等等)。字母自成體系(或稱為系統(tǒng)),可以有各種運算與規(guī)則(比如矩陣可以定義乘法,滿足結(jié)合律,卻不滿足交換律)。
2. 力求簡單
問題酒精與水的溶液中,酒精∶溶液總量=k∶m.如果再加x個單位的水或者去掉x個單位的酒精(x≠0),那么得到的酒精∶溶液總量的比都相同。求這新的比的數(shù)值。
師:還是濃度問題。
甲:不妨設(shè)原溶液中有k個單位酒精,(m-k)個單位水。由題意
km+x=k-xm-x(1)
去分母,整理得
x(x+m-2k)=0(2)
所以
x=2k-m(3)
代入(1)的左邊得新比的值為
km+x=k2k=12
乙:我設(shè)新比為r,則
k=(m+x)r(4)
k=(m-x)r+x(5)
(4)-(5)得
2xr=x(6)
所以
r=12.
師:不求x,直接得出r。等二種解法稍簡單一些。
甲:還有其它解法嗎?
師:題意,在兩種情況,酒精與溶液總量的比相等。其中第二種情比第一種,酒精少x個單位,水也少x個單位,即總量少2x個單位。如果將酒精為x個單位,溶液總量為2x個單位的溶液加到第二種情況的溶液中,那么就變?yōu)榈谝环N情況,而濃度(酒精與溶液問題的比)不變。所以加入,濃度與它們也相同,即濃度為x2x=12。
乙:這種解法更加簡單。
師:其實這種解法與你們的解法并無實質(zhì)的差異,只不過省去了一些形式上的演算.但省去形式上的演算,更多地用腦思考,對發(fā)展思維能力是有益的。
很多數(shù)學會議休息時,數(shù)學家們邊喝咖啡邊討論問題。這時不可能進行紙面上的演算,更需要直接剖析問題的本質(zhì)。
數(shù)學家Erd s曾說:數(shù)學家是將咖啡轉(zhuǎn)變成定理的機器”。