本書由三個(gè)單元構(gòu)成，按照問題驅(qū)動(dòng)式結(jié)構(gòu)編寫。*單元為工程計(jì)算必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，特別增加了現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算必需的變分方法；第二單元為常用統(tǒng)計(jì)方法，主要包括參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析與方差分析；第三單元簡要介紹數(shù)學(xué)反演的基礎(chǔ)理論和方法。通過學(xué)習(xí)本書，能夠?yàn)楣こ讨械恼囱輪栴}打下數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
本書主要包括科學(xué)計(jì)算的基本理論和方法、統(tǒng)計(jì)分析理論和方法、數(shù)學(xué)模型參數(shù)反演的理論和方法等3個(gè)主要部分，每個(gè)部分以數(shù)學(xué)建模的為切入點(diǎn)，通過建模-求解-分析的流程組織教材內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)全國工科研究生數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)小組多次強(qiáng)調(diào)的：工科研究生數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重概念、重方法、重應(yīng)用、重能力的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)目標(biāo)。
各類工程問題的分析和計(jì)算，除了需要具備扎實(shí)的本專業(yè)理論知識(shí)和實(shí)踐能力外，還需要掌握專業(yè)所需的多種數(shù)學(xué)理論和方法基礎(chǔ)，二者互相促進(jìn)、融合，共同推動(dòng)數(shù)學(xué)各學(xué)科專業(yè)和各工程學(xué)科專業(yè)的發(fā)展和進(jìn)步，乃至孕育出新的數(shù)學(xué)研究方向、新的工程問題研究方向。工程問題多種多樣，需要的數(shù)學(xué)工具自然也是多種多樣的，特別是隨著計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)軟硬件理論及技術(shù)的日新月異，對(duì)各類工程問題的研究而言，機(jī)遇與挑戰(zhàn)并存。
從2009年我國實(shí)行全日制專業(yè)學(xué)位碩士研究生培養(yǎng)改革以來，原有的學(xué)術(shù)型碩士研究生的培養(yǎng)思路與教材已不能適應(yīng)專業(yè)型碩士研究生的培養(yǎng)目標(biāo)與定位：高層次應(yīng)用型專門人才，突出該類型研究生的專業(yè)性，以具備解決實(shí)際問題的能力培養(yǎng)為能力目標(biāo)，與學(xué)術(shù)型碩士研究生處于同一層次。因此，如何開展面向全日制專業(yè)學(xué)位碩士研究生（以下簡稱專碩）的數(shù)學(xué)教育自然是一個(gè)亟需解決的關(guān)鍵問題。其中，面向?qū)４T的數(shù)學(xué)教材建設(shè)是關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。
工程問題的范圍很廣，我們不可能在有限的篇幅內(nèi)包羅萬象。作為面向?qū)４T的數(shù)學(xué)教材，應(yīng)該是基礎(chǔ)性的。通過編者及團(tuán)隊(duì)近幾年的教學(xué)實(shí)踐和改革以及與相關(guān)院校的交流，我們逐步確立了以科學(xué)計(jì)算、常用統(tǒng)計(jì)方法和反演方法為主要授課內(nèi)容，這三個(gè)方面的內(nèi)容能夠涵蓋大多數(shù)的專碩專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，能夠?yàn)閷W(xué)生進(jìn)行專業(yè)應(yīng)用奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及知識(shí)面�；诖�，我們?cè)诮虒W(xué)講義的基礎(chǔ)上編著了面向?qū)４T的《工程數(shù)學(xué)》教材。
本書主要由三個(gè)單元構(gòu)成，特點(diǎn)是問題驅(qū)動(dòng)。第一單元為工程計(jì)算必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，與數(shù)值分析或計(jì)算方法部分內(nèi)容重合，我們?cè)黾恿爽F(xiàn)代科學(xué)計(jì)算必需的變分方法；第二單元為常用統(tǒng)計(jì)方法，主要包括參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析與方差分析；第三單元簡要介紹數(shù)學(xué)反演的基礎(chǔ)理論和方法。通過學(xué)習(xí)本書，能夠?yàn)楣こ讨械恼囱輪栴}打下數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本書授課時(shí)間約需64學(xué)時(shí)。
本書由崔學(xué)慧、明輝、范申、彭曉明編著。具體編寫分工如下：第1、2、4～8章由崔學(xué)慧編著，第3章由彭曉明編著，第9、10章由明輝編著，第11章由范申編著，全書由崔學(xué)慧統(tǒng)稿。
本書適合作為全日制專業(yè)型碩士研究生計(jì)算類教材和普通高等院校本科高年級(jí)的計(jì)算類數(shù)學(xué)教材，作為學(xué)術(shù)型碩士研究生的數(shù)學(xué)教材也有一定的適用性，還可作為廣大工程技術(shù)人員的參考書。
編者及團(tuán)隊(duì)衷心感謝對(duì)本書編寫給予熱忱幫助的中國石油大學(xué)（北京）研究生院的相關(guān)同志。成稿過程中得到中國石油大學(xué)（北京）理學(xué)院數(shù)學(xué)系劉建軍教授、高陽副教授的熱情幫助，構(gòu)思過程中得到了吉林省教學(xué)名師、長春工業(yè)大學(xué)王新民教授的指導(dǎo)，在此致以誠摯謝意。
由于我們的學(xué)識(shí)有限，書中疏漏和不足之處不可避免，敬請(qǐng)廣大讀者批評(píng)指正。
編著者
2017年10月
崔學(xué)慧，男，滿族，1975年出生，遼寧人，博士，副教授，碩士研究生導(dǎo)師。2006年進(jìn)入中國石油大學(xué)（北京）工作至今�，F(xiàn)任理學(xué)院教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)委員，發(fā)表學(xué)術(shù)論文15篇，出版教材2部。主持橫向課題10項(xiàng)，參與國家自然科學(xué)基金2項(xiàng)，主持縱向課題1項(xiàng)，主持全國工程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)課題1項(xiàng)。明輝，中國石油大學(xué)，講師，專業(yè)方向概率統(tǒng)計(jì)。范申，中國石油大學(xué)，講師，專業(yè)方向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。彭曉明，中國石油大學(xué)，講師，專業(yè)方向應(yīng)用數(shù)學(xué)。
第1章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)1
1.1線性空間與賦范線性空間1
1.1.1線性空間（1）
1.1.2賦范線性空間（3）
1.2內(nèi)積空間7
1.2.1內(nèi)積及內(nèi)積空間的定義（7）
1.2.2內(nèi)積范數(shù)（9）
1.2.3內(nèi)積與正交投影及
投影向量（10）
1.2.4GramSchmidt正交化方法
（11）
1.2.5正交多項(xiàng)式（13）
1.2.6算子的概念（18）
1.3常用矩陣變換19
1.3.1Gauss變換陣與矩陣的
三角分解（19）
1.3.2Householder變換陣與矩陣的正交分解（22）
1.3.3Givens變換陣與正交分解（26）
1.3.4奇異值（SVD）分解（28）
1.3.5計(jì)算實(shí)例（29）
1.4算法穩(wěn)定性與有效數(shù)字35
1.4.1算法的穩(wěn)定性（35）
1.4.2誤差與有效數(shù)字（36）
習(xí)題137
第2章插值法38
2.1Lagrange插值法與
Newton插值法39
2.1.1多項(xiàng)式插值的存在唯一性（39）
2.1.2Lagrange插值法（40）
2.1.3Lagrange插值多項(xiàng)式的誤差（42）
2.1.4Newton（牛頓）插值法（43）
2.1.5Newton插值多項(xiàng)式的誤差（45）
2.1.6導(dǎo)數(shù)值作為插值條件的多項(xiàng)式插值（Hermite插值）（46）
2.2分段低次插值49
2.2.1高次插值的Runge現(xiàn)象（49）
2.2.2分段低次插值（50）
2.2.3三次樣條插值（52）
2.2.4實(shí)例計(jì)算（56）
2.3二元函數(shù)分片插值法59
2.3.1問題的提出（59）
2.3.2矩形域上的分片插值問題（60）
習(xí)題263
第3章小二乘原理及其應(yīng)用65
3.1小二乘原理65
3.2小二乘解的計(jì)算方法67
3.2.1內(nèi)積空間中小二乘解的計(jì)算方法（67）
3.2.2計(jì)算實(shí)例（73）
習(xí)題374
第4章數(shù)值積分法75
4.1等距節(jié)點(diǎn)的牛頓柯特斯公式76
4.1.1插值型求積公式（76）
4.1.2牛頓柯特斯（NewtonCotes）
求積公式（77）
4.1.3插值型求積公式的
代數(shù)精度（78）
4.1.4NewtonCotes公式的
截?cái)嗾`差（81）
4.1.5NewtonCotes公式的數(shù)值
穩(wěn)定性分析（83）
4.2復(fù)化求積法83
4.2.1復(fù)化求積公式（83）
4.2.2變步長復(fù)化求積公式（85）
4.3Gauss型求積公式89
4.3.1構(gòu)造Gauss型求積公式的
基本原理（89）
4.3.2構(gòu)造Gauss型求積公式的
具體方法（93）
4.3.3Gauss型求積公式的
穩(wěn)定性分析（97）
4.3.4實(shí)例應(yīng)用（98）
習(xí)題499
目錄|
|工程數(shù)學(xué)
第5章線性代數(shù)方程組的數(shù)值
解法101
5.1解線性代數(shù)方程組的
直接解法101
5.1.1Gauss消元法及其矩陣表示（102）
5.1.2正交分解法及其矩陣表示（105）
5.2解線性代數(shù)方程組的誤差
分析106
5.3解線性代數(shù)方程組的
迭代解法109
5.3.1構(gòu)造迭代格式的基本思想和
收斂性（109）
5.3.2三種經(jīng)典的迭代格式（111）
5.4解線性代數(shù)方程組的
變分方法115
5.4.1對(duì)稱正定線性代數(shù)方程組解的
變分原理（116）
5.4.2求解極小值點(diǎn)的一般方法（118）
5.4.3速下降法（119）
5.4.4共軛梯度法（120）
5.4.5計(jì)算實(shí)例（123）
習(xí)題5125
第6章非線性方程的數(shù)值解法127
6.1二分法128
6.1.1方程根的概念（128）
6.1.2二分法（129）
6.2迭代法及其收斂性130
6.2.1迭代格式的構(gòu)造及
收斂條件（130）
6.2.2迭代格式的局部收斂性（132）
6.3Newton迭代與割線法133
6.3.1Newton迭代格式（133）
6.3.2Newton迭代法的局部
收斂性（134）
6.3.3弦截法（134）
6.3.4計(jì)算實(shí)例（135）
6.4解非線性方程組的迭代法139
6.4.1不動(dòng)點(diǎn)迭代法（139）
6.4.2NewtonRaphson迭代法（140）
習(xí)題6141
第7章常微分方程數(shù)值解法初步143
7.1求解初值問題數(shù)值方法的
基本原理144
7.1.1初值問題的數(shù)值解（144）
7.1.2構(gòu)造初值問題數(shù)值方法的
基本途徑（145）
7.1.3梯形公式與預(yù)估校正思想（146）
7.1.4單步法的誤差分析和
穩(wěn)定性（147）
7.2高精度的單步法152
7.2.1基本原理（152）
7.2.2二階RungeKutta方法
的推導(dǎo)（153）
7.2.3經(jīng)典的四階RK方法（154）
7.3線性多步法156
7.3.1基于數(shù)值積分的
Adams公式（157）
7.3.2預(yù)估校正算法（159）
7.4一階微分方程組的解法162
7.5邊值問題的打靶法和差分法164
7.5.1打靶法（Shooting Method）（164）
7.5.2差分法（Difference Method）（165）
7.6計(jì)算實(shí)例167
習(xí)題7168
第8
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