引言

數學到底是一種由行家施展身手來表演如何化解難題的高度復雜的智力游戲，還是數學家在探索數學實在這一獨立領域過程中所帶來的發(fā)現？為什么這個看似抽象的學科能夠提供打開物理宇宙深層秘密的鑰匙？如何回答這些問題將明顯影響著我們對實在的形而上的思考。在岡道爾夫堡和劍橋召開的兩次跨學科專題討論會上，數學家、物理學家和哲學家們對這些問題進行了探討。本書以周詳的形式再現了每位與會者在會議熱烈討論中所展現的風采。文章盡力保持這樣一種平衡：既反映進行這種討論所需的思想精確性，又照顧到準備在此領域做出一番事業(yè)的非專業(yè)讀者的可讀性。

劍橋大學科學哲學教授彼得·利普頓參加了第一次會議，并有精彩發(fā)言。但不幸的是，這之后他溘然長逝，對此我們感到非常難過。所有與會者有一個共同心愿：將本書作為我們對這位尊敬的學者和謙和、富于啟迪的同事的美好追憶。

本書的前兩章由數學家蒂莫西·高爾斯和馬庫斯·杜·索托伊撰寫。他們能夠充分利用長期從事數學研究的豐富經驗來闡述問題。高爾斯特別重視發(fā)明和發(fā)現這兩個詞是如何被數學界實際運用的。他的結論是，當導致重要結論的論證基本上只有唯一一條途徑時，用發(fā)現來說明似乎是恰當的。而如果存在多條清晰的論證途徑時，則人們更愿意用發(fā)明一詞來形容。杜·索托伊描述了在洞察一個事件時靈感閃現的情形，這是這樣一種經驗：可以確信，有待識別的東西早就已經在那兒等待被發(fā)現了。

接下來的兩章由數學物理學家約翰·波金霍爾和羅杰·彭羅斯撰寫。波金霍爾旨在通過對哥德爾不完全性和人類數學能力進化的論述來捍衛(wèi)數學實在。兩位物理學家都非�？粗財祵W在他們做出發(fā)現過程中所扮演的角色。彭羅斯認為，哥德爾不完全性意味著有意識的思想要遠比神經網絡計算來得復雜。

其余章節(jié)由哲學家執(zhí)筆。彼得·利普頓撰寫的一章以短文呈現，以彰顯他對第一次研討會做出的貢獻。這篇文章討論了知識、理解和解釋等概念，強調了他認為這些概念在科學和數學之間應用的差異。斯圖爾特·夏皮羅幫忙為本文提供了一個附錄，說明本次討論的一些方法可能會得到進一步擴展�，旣�·倫對那種發(fā)現的感覺 許多數學家論證認為必然由此導致柏拉圖的數學實在的觀點 持否定態(tài)度。相反，她認為，這種感覺可以理解為出自邏輯上的必然性。邁克爾·德特勒夫森則對古代和現代圍繞發(fā)明或發(fā)現的爭論進行了廣泛的調查。他對哥德爾著名的數學知覺與感性知覺之間的類比給予了謹慎的批評。斯圖爾特·夏皮羅認為，數學是一種人類活動，其傳統(tǒng)源自人類的選擇。在他看來，關鍵概念是認知律令。這個概念用來說明不同的人做同樣的計算所取得的結果應有必然的一致性這一現象。他認為這一觀點鼓勵人們從發(fā)現的角度去看問題。吉
迪恩·羅森探討了這樣一種觀念：數學的地位相當于他所謂的有條件的實在論。他將這一判斷描述成對數學作為形而上學上第二等的一種裁決，因為它依賴于更基本的邏輯事實。最后，馬克·施泰納將我們領向笛卡兒而不是柏拉圖。他強調，數學似乎能夠提供某種剩余價值，允許數學家超越公理（數學家自己則將這種超越稱為深入的品質）。

本項研討會的一個特點是討論氛圍的活泛和透徹。與會者希望本書能將這種氣質傳遞給讀者，因此我們對每篇文章都附上一篇由其他與會者撰寫的短評。我們相信，這些評論是正文報告的一個重要組成部分，它反映了研討會帶來的啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性。

研討會的兩次會議均得到了約翰·鄧普頓基金會（John Templeton Foundation）的支持。所有與會者對這一慷慨資助表示由衷的感激。我們特別要感謝基金會的瑪麗·安·邁爾斯博士，她在組織協(xié)調方面提供了大力幫助，并對會議議題表現出濃厚興趣。