《應用拓撲學基礎》講述點集拓撲和代數(shù)拓撲的核心內容，同時介紹在理論計算機科學的一個重要研究領域——Domain理論中有廣泛應用的序結構和內蘊拓撲。
《應用拓撲學基礎》共8章。第1章是集合論基礎；第2章是拓撲空間與連續(xù)映射；第3章為構造新拓撲空間的方法；第4章是拓撲性質和相應的特殊類型拓撲空間；第5章介紹網和濾子的收斂，刻畫諸如閉包、連續(xù)映射、緊致性等概念；第6章為序結構與內蘊拓撲；第7章為同倫與基本群；第8章是可剖分空間及其單純同調群。《應用拓撲學基礎》給出了許多具體實例幫助理解相關概念和定理，各章節(jié)均配備了適量的習題以便讀者閱讀和練習。正文帶*號的內容是可不講的內容，習題帶*號的是難度較大的習題。
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目錄
前言
第1章 集合論基礎 1
1.1 集合及其基本運算 1
1.2 關系、映射與偏序 3
1.2.1 關系與映射 3
1.2.2 等價關系 6
1.2.3 預序、偏序及全序 7
1.3 集族及其運算 10
1.4 基數(shù)與序數(shù) 12
1.4.1 可數(shù)集 12
1.4.2 基數(shù) 13
1.4.3 序數(shù) 14
1.5 選擇公理與Zorn引理 16
第2章 拓撲空間與連續(xù)映射 18
2.1 度量與度量空間 18
2.2 拓撲與拓撲空間 20
2.3 開集與鄰域 22
2.4 閉集與閉包 24
2.5 內部與邊界 26
2.6 基與子基 27
2.7 連續(xù)映射與同胚 30
2.8 序列及其收斂 33
第3章 拓撲空間經典構造方法 35
3.1 子空間 35
3.2 積空間 38
3.3 商拓撲與商空間 41
3.4 商映射 42
第4章 拓撲性質及特殊類型拓撲空間 45
4.1 可分性與可分空間 45
4.2 可數(shù)性與可數(shù)性空間 46
4.3 連通性與連通空間 49
4.4 道路連通性與道路連通空間 53
4.4.1 道路與曲線 53
4.4.2 道路連通空間與道路連通分支 54
4.5 分離性與Ti空間 56
4.6 緊致性與緊致空間 65
4.7 仿緊性與仿緊空間 73
4.8 度量空間的拓撲性質 76
第5章 收斂理論與拓撲概念刻畫 82
5.1 網的收斂理論 82
5.1.1 網及其收斂 82
5.1.2 收斂類和拓撲 87
5.2 集合濾子及其收斂理論 89
5.3 緊致性的收斂式刻畫和序列緊性 92
第6章 序結構與內蘊拓撲 103
6.1 拓撲空間的特殊化序與Sober空間 103
6.2 分配格、dcpo和完備格 105
6.3 偏序集的內蘊拓撲 108
6.3.1 Alexandrov拓撲、上拓撲和下拓撲 108
6.3.2 Scott拓撲、Lawson拓撲和測度拓撲 109
6.4 偏序集上內蘊拓撲的連通性 113
第7章 同倫與基本群 117
7.1 映射的同倫 118
7.2 基本群 121
7.2.1 道路類的逆和乘積 121
7.2.2 基本群與基點的關系 123
7.3 簡單空間的基本群計算 125
7.3.1 S1的基本群 125
7.3.2 Sn(n2)的基本群 127
7.3.3 T2的基本群 128
7.4 拓撲空間的同倫等價 129
7.5 基本群的同倫不變性 132
7.6 Van-Kampen定理介紹 133
7.7 基本群的應用 135
第8章 可剖分空間及其單純同調群 137
8.1 單純復合形與三角剖分 137
8.1.1 單純形 137
8.1.2 單純復合形 139
8.1.3 多面體與可剖分空間 140
8.2 復形的鏈群與同調群 141
8.2.1 單形的定向與復形的鏈群 142
8.2.2 邊緣同態(tài) 143
8.2.3 復形的同調群 144
8.3 同調群的性質及幾何意義 145
8.3.1 同調群的性質 145
8.3.2 同調群的幾何意義 146
8.3.3 Euler-Poincaré公式 147
8.4 同調群計算舉例 148
8.5 單純映射與單純逼近 153
8.5.1 單純映射 153
8.5.2 單純逼近 155
8.6 重心重分與單純逼近存在定理 158
8.7 連續(xù)映射誘導的同調群同態(tài) 162
8.7.1 同調群的重分不變性 162
8.7.2 連續(xù)映射f誘導同態(tài)f*q 164
8.7.3 多面體與可剖分空間的同調群 166
8.8 同調群的同倫不變性 167
8.9 映射度與同調群應用 168
參考文獻 171
符號說明 172
名詞索引 178
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