平面調(diào)和映射于世紀(jì)年代提出并用來(lái)研究極小曲面等相關(guān)問(wèn)題，自此之后，人們很快發(fā)現(xiàn)平面調(diào)和映射在工程、電磁學(xué)、醫(yī)學(xué)等其他許多領(lǐng)域中都有廣泛地應(yīng)用，成為解決許多工程問(wèn)題和物理問(wèn)題的重要工具，比如水流通過(guò)地下含水層、穩(wěn)態(tài)溫度分布、靜電場(chǎng)強(qiáng)度，鹽分通過(guò)通道的擴(kuò)散等.極小曲面是指平均曲率為零的曲面，即滿足某些約束條件的面積小的曲面.利用極小曲面的Weierstrass表示把調(diào)和映射與極小曲面聯(lián)系起來(lái)，因此可以把調(diào)和映射的一些結(jié)論應(yīng)用到極小曲面的理論上，從而得到新的結(jié)論.極小曲面的研究涉及幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)及拓?fù)鋵W(xué)等諸多方面.極小曲面因其在理論研究、工程應(yīng)用等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用和重大價(jià)值，自提出之日起便一直受到許多物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家們的關(guān)注。


來(lái)，單葉復(fù)值調(diào)和函數(shù)（又稱單葉調(diào)和函數(shù)）的研究再度興起，我們將探索這些函數(shù)的幾何性質(zhì)，這些性質(zhì)構(gòu)成了一個(gè)新研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)，本課題我們將介紹平面調(diào)和映射和微分幾何的景和基礎(chǔ)理論，微分幾何是一個(gè)將微積分的思想和技術(shù)應(yīng)用于幾何形狀的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.然后將介紹極小曲面.我們利用復(fù)分析的思想，給出Weierstrass表示來(lái)描述極小曲面，并將曲面的幾何量與這種描述聯(lián)系起來(lái).這使我們能夠開(kāi)始研究一些有趣的性質(zhì)和新的研究問(wèn)題，這些問(wèn)題可以通過(guò)Mathematica軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)可視化.目前國(guó)內(nèi)尚未出版有關(guān)平面調(diào)和映射的學(xué)術(shù)專著，本書(shū)結(jié)合作者本人的科研方向和研究成果，具有一定的原創(chuàng)性和性，反映了平面調(diào)和映射與極小曲面的新研展，并且系統(tǒng)化整結(jié)、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn).本書(shū)利用Mathematica軟件畫(huà)出大量的圖示使原本比較抽象的數(shù)學(xué)概念、函數(shù)的性質(zhì)變得直觀易懂，并且把Mathematica軟件應(yīng)用到相關(guān)的計(jì)算和分析當(dāng)中去，讀者在透徹理解理論的同時(shí)，還能充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美.


本書(shū)一共分為7章，本書(shū)第1章介紹平面調(diào)和映射理論的基本概念以及主要用到的工具等；第2章介紹調(diào)和映射的線性組合，它是構(gòu)造具有給定性質(zhì)的新函數(shù)的常用方法之一，得到了滿足某些特定條件的調(diào)和函數(shù)族的線性組合沿實(shí)軸方向凸的一些充分條件，是M.Dorff、李瀏蘭等人的結(jié)果推廣；第3章介紹調(diào)和映射的卷積，調(diào)和映射的卷積也是構(gòu)造單葉調(diào)和映射的另一種方法，一些新的右半平面調(diào)和函數(shù)族與其他類的調(diào)和函數(shù)族的卷積，利用Cohn's Rule和Gauss-Lucas定理證明調(diào)和映射卷積的單葉性并且沿某個(gè)方向凸


的一些充分條件，解決了M.Dorff、M.Nowak和M.Woloszkiewicz三人提出的關(guān)于右半平面調(diào)和卷積的猜想；第4章主要研究滿足某些系數(shù)條件的調(diào)和調(diào)和映射線性微分算子的凸、星象以及單葉半徑等，其中有些結(jié)論是對(duì)Kalaj等人所做工作的推廣和；第5章介紹極小曲面的理論背景、極小曲面的Weierstrass-Enneper表示以及常見(jiàn)的通過(guò)等溫參數(shù)表示的極小曲面的例子；第6章介紹極小曲面與調(diào)和映射的聯(lián)系，并利用剪切原理構(gòu)建一系列新的調(diào)和映射，當(dāng)伸縮商為一解析函數(shù)的平方時(shí)提升至極小曲面，介紹利用Heinz's不等式對(duì)極小曲面的曲率的行估計(jì)，利用調(diào)和映射的Schwarzian導(dǎo)數(shù)得到調(diào)和映射的全局單葉性準(zhǔn)則；第7章介紹對(duì)數(shù)調(diào)和映射的相關(guān)理論及作者近的一些研展，構(gòu)造了對(duì)數(shù)調(diào)和Koebe函數(shù)、右半平面對(duì)數(shù)調(diào)和調(diào)和映射、雙裂縫對(duì)數(shù)調(diào)和映射，并證明這些映射像域的性，對(duì)單葉星象對(duì)數(shù)調(diào)和函數(shù)的系行了估計(jì)，提出了類似于經(jīng)典的解析函數(shù)的對(duì)數(shù)調(diào)和映射的Bicberbach猜想和對(duì)數(shù)調(diào)和映射的覆蓋定理，本書(shū)的第1章由王智剛撰寫(xiě)，第2章由李迎春撰寫(xiě)，第3、4、5、6、7章由劉志宏撰寫(xiě).本書(shū)正文部分是使用LATgX[ElegantBook v3.08 中文版](https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook)模板制作，


感謝[EthanDeng](https://github.com/EthanDeng)提供的模板.


1984年，Clunie 和Sheil-Small得到了若干關(guān)于單葉調(diào)和映射與共形映射中經(jīng)典問(wèn)題的類比結(jié)果，自此以后，平面調(diào)和映射一直倍受關(guān)注，并發(fā)展成為一個(gè)熱門(mén)的研究課題.調(diào)和映射很早就被用來(lái)表示極小曲面，而極小曲面是微分幾何中一類重要的曲面，它的研究涉及到幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)及拓?fù)鋵W(xué)等諸多的學(xué)科領(lǐng)域，極小曲面在理論研究和工程技術(shù)等方面也有廣泛應(yīng)用和重要意義，為了寫(xiě)好本著作，我們收集了大量的資料，主要的經(jīng)典著括Peter Duren、Michael Dorff、Christian Pommerenke、Walter Hengartner 的著作，主要論括Zayid Abdulhadi、 Martin Chuaqui、 Saminathan Ponnusamy、Anti Rasila、李瀏蘭及很多數(shù)學(xué)家的工作.我們也將自己團(tuán)隊(duì)近期在調(diào)和映射的線性組合、調(diào)和映射的卷積、對(duì)數(shù)調(diào)和映射等成果融匯其中，在本書(shū)的編寫(xiě)過(guò)程中，我們得到了很多師長(zhǎng)、朋友和學(xué)生們的幫助，作者在此表示衷心地感謝！感謝蔣月評(píng)教授對(duì)論文的指導(dǎo)和對(duì)出國(guó)交流的大力支持，感謝王仙桃教授在平面調(diào)和映射映射研討班的悉心指導(dǎo)和與他的團(tuán)隊(duì)的交流探討，感謝 SaminathanPonnusamy 教授在訪學(xué)期間生活上的照顧與學(xué)業(yè)上的指導(dǎo)，感謝 Anti Rasila教授對(duì)論文的修改和建議，感謝他們?yōu)楸緯?shū)的順利出版提供了大力支持，感謝國(guó)家自然科學(xué)項(xiàng)目：平面調(diào)和映射與極小曲面中的若干問(wèn)題（11961013）提供的部分資金支持.由于水平有限，錯(cuò)誤之處敬請(qǐng)讀者指正.


劉志宏王智剛李迎春


22年4月