本書系統(tǒng)介紹了群、環(huán)、域的基本概念與初步性質(zhì)，以及近世代數(shù)方法在編碼、密碼中的一些應(yīng)用。全書共分四章，第一章講述群的基本概念與性質(zhì)，除了通常的群、子群、正規(guī)子群及群同態(tài)的基本定理外，還介紹了群的應(yīng)用。第二章講述環(huán)、子環(huán)、理想與商環(huán)的基本概念與性質(zhì)，還介紹了環(huán)的一些應(yīng)用。第三章講述整環(huán)中的因子分子分解。第四章討論了域的擴(kuò)張的理論。
肖水晶，男，漢族，1975年9月生，中共黨員，博士研究生學(xué)歷，副教授、碩導(dǎo)，現(xiàn)為南昌大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系教師。先后主持和參與5項(xiàng)國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目及多項(xiàng)各類省部級(jí)項(xiàng)目，以第一作者共發(fā)表SCI收錄學(xué)術(shù)論文31篇，獲江西省自然科學(xué)三等獎(jiǎng)1項(xiàng)并入選江西省百千萬人才工程和江西省青年科學(xué)家。
目 錄
第1章 基本概念 1
§1.1 集合 1
習(xí)題1.1 2
§1.2 映射與變換 2
習(xí)題1.2 5
§1.3 代數(shù)運(yùn)算 6
習(xí)題1.3 7
§1.4 運(yùn)算律 7
習(xí)題1.4 11
§1.5 同態(tài)與同構(gòu) 11
習(xí)題1.5 15
§1.6 等價(jià)關(guān)系與集合的分類 15
習(xí)題1.6 18
第2章 群 19
§2.1 群的概念 19
習(xí)題2.1 21
§2.2 群的性質(zhì) 22
習(xí)題2.2 23
§2.3 有限群的另一個(gè)定義 23
習(xí)題2.3 24
§2.4 群的同態(tài) 24
習(xí)題2.4 26
§2.5 變換群 26
習(xí)題2.5 28
§2.6 置換群 29
習(xí)題2.6 31
§2.7 循環(huán)群 31
習(xí)題2.7 33
§2.8 子群 33
習(xí)題2.8 34
§2.9 子群的陪集 35
習(xí)題2.9 36
§2.10 正規(guī)子群、商群 37
習(xí)題2.10 38
§2.11 正規(guī)子群與同態(tài) 38
習(xí)題2.11 40
第3章 環(huán)與域 41
§3.1 環(huán)的概念 41
習(xí)題3.1 43
§3.2 交換律、單位元、零因子、整環(huán) 43
習(xí)題3.2 45
§3.3 除環(huán)、域 45
習(xí)題3.3 48
§3.4 無零因子環(huán)的特征 48
習(xí)題3.4 50
§3.5 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu) 50
習(xí)題3.5 52
§3.6 多項(xiàng)式環(huán) 52
習(xí)題3.6 57
§3.7 理想子環(huán) 57
習(xí)題3.7 59
§3.8 剩余類環(huán)、同態(tài)與理想 60
習(xí)題3.8 61
§3.9 極大理想 62
習(xí)題3.9 63
§3.10 商域 63
習(xí)題3.10 66
第4章 整環(huán)中的因子分解 67
§4.1 素元與唯一分解 67
習(xí)題4.1 70
§4.2 唯一分解環(huán) 71
習(xí)題4.2 73
§4.3 主理想環(huán) 74
習(xí)題4.3 76
§4.4 歐幾里得環(huán) 76
習(xí)題4.4 78
§4.5 唯一分解環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán) 78
習(xí)題4.5 83
第5章 域的擴(kuò)張 84
§5.1 向量空間 84
習(xí)題5.1 87
§5.2 擴(kuò)域、素域 87
習(xí)題5.2 89
§5.3 單擴(kuò)域 89
習(xí)題5.3 93
§5.4 代數(shù)擴(kuò)域 93
習(xí)題5.4 96
§5.5 多項(xiàng)式的分裂域 96
習(xí)題5.5 100
§5.6 有限域 100
習(xí)題5.6 102
§5.7* 可分?jǐn)U域 102
習(xí)題5.7 105
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