本書第一部分主要介紹了廣義函數(shù)論的基本內(nèi)容，包括廣義函數(shù)的定義、正則化、局部理論、乘子、卷積與張量積以及它的Fourier變換等經(jīng)典內(nèi)容；作為應用，考慮了常系數(shù)線性偏微分方程的基本解。第二部分主要介紹了經(jīng)典函數(shù)空間的基本內(nèi)容，包括Sobolev空間、H。lder空間、Lorentz空間在內(nèi)的常見函數(shù)空間；Sobolev空間的延拓定理、嵌入定理與跡定理，以及Littlewood-Paley理論和Bony仿積分解。為了方便讀者學習，我們在第三部分附錄中補充了部分相關內(nèi)容，并在各章節(jié)后配置了習題，使得本書基本上形成了一個自洽的體系。若作為授課教材，一個80學時的課程可以涵蓋本書的主要內(nèi)容，120學時則足以涵蓋全部的內(nèi)容。
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1997-07--1999-06 中科院數(shù)學所 博士后
1987-09--1997-06 南京大學 博士2003-04~現(xiàn)在, 中科院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院, 研究員
2001-04~2003-03,中科院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院, 副研究員
1999-07~2001-03,中科院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院, 阻力研究員
1997-07~1999-06,中科院數(shù)學所, 博士后
1987-09~1997-06,南京大學, 博士非線性偏微分方程2013-01-01-今,J. éc. polytech. Math., 編委
2011-01-01-今,數(shù)學進展, 編委
2011-01-01-今,artial Differential Equations, 編委
2010-01-01-今,Acta Applicandae Mathematicae, 副主編
2009-01-01-今,中國科學, 編委
2008-01-01-今,Czechoslovak Math. J., 編委
目錄
“現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書” 序
前言
符號說明
第0章 預備知識 1
0.1 Lebesgue Lp空間 1
0.2 卷積與Young不等式 4
0.3 分布函數(shù)*與弱Lp空間 9
0.3.1 分布函數(shù)* 9
0.3.2 弱Lp空間 13
0.4 習題 16
第一部分 廣義函數(shù)部分
第1章 廣義函數(shù)的基本概念 23
1.1 不能用Lp函數(shù)表示的連續(xù)線性泛函 23
1.2 基本函數(shù)空間與正則化算子 25
1.2.1 基本函數(shù)空間*，* 25
1.2.2 正則化算子 27
1.3 Schwartz 函數(shù)空間* 29
1.4 廣義函數(shù)的定義及基本命題 31
1.5 廣義函數(shù)的支集與單位分解定理 35
1.6 廣義函數(shù)的極限與正則化 38
1.7 分布意義下的導數(shù) 42
1.8 分布的局部理論 46
1.9 習題 50
第2章 廣義函數(shù)的性質(zhì) 55
2.1 廣義函數(shù)間的映射 55
2.1.1 乘子 55
2.1.2 坐標變換, 復合運算 57
2.2 廣義函數(shù)的張量積 60
2.3 廣義函數(shù)的卷積 63
2.4 在無窮遠處緩增的光滑函數(shù)與*的乘子 68
2.5 Schwartz 分布卷積的相關結果 71
2.6 習題 74
第3章 Fourier變換 80
3.1 *上的Fourier變換 80
3.2 *上的Fourier變換 85
3.3 部分Fourier變換.88
3.3.1 速降函數(shù)*的部分Fourier變換 88
3.3.2 Schwartz 分布*的部分Fourier變換 89
3.4 緊支集廣義函數(shù)的Fourier變換 90
3.5 *函數(shù)的Fourier變換 94
3.5.1 *中的Fourier變換 94
3.5.2 *中的Fourier變換 97
3.5.3 *中的Fourier變換 99
3.6 習題 100
第4章 常系數(shù)線性偏微分方程的基本解 108
4.1 分布意義下的解 108
4.2 基本解的概念 111
4.2.1 調(diào)和方程的基本解 111
4.2.2 常系數(shù)常微分方程基本解 114
4.3 經(jīng)典常系數(shù)線性偏微分算子的基本解 115
4.3.1 Cauchy-Riemann算子的基本解 115
4.3.2 熱傳導方程與Schrodinger方程的基本解 116
4.3.3 波動方程的基本解 117
4.4 一般常系數(shù)線性偏微分算子的基本解 120
4.5 習題.125
第二部分 函數(shù)空間部分
第5章 Sobolev空間(I)——基本性質(zhì) 131
5.1 Dirichlet原理 131
5.2 整數(shù)階的Sobolev空間 135
5.2.1 非負整數(shù)階的Sobolev空間 135
5.2.2 負整數(shù)階的Sobolev空間 139
5.2.3 *的稠密性定理 141
5.3 實數(shù)階Sobolev空間*143
5.4 內(nèi)蘊范數(shù)，流形上的Sobolev空間與局部化 149
5.4.1 齊次范數(shù)與內(nèi)蘊范數(shù) 149
5.4.2 變量代換與局部化 152
5.5 Sobolev空間的延拓 154
5.6 習題 159
第6章 Sobolev空間(II)——嵌入定理與跡定理 166
6.1 Sobolev空間的嵌入定理 166
6.1.1 Sobolev不等式與*時的Sobolev嵌入 166
6.1.2 H.lder空間與*時的Sobolev嵌入 170
6.1.3 Rellich緊嵌入定理 173
6.2 Hs 上的嵌入定理 178
6.2.1 嵌入定理 178
6.2.2 緊嵌入定理 181
6.3 跡算子與跡定理 183
6.4 習題.188
第7章 Littlewood-Paley理論 196
7.1 二進環(huán)形分解與Bernstein引理 196
7.1.1 二進環(huán)形分解 196
7.1.2 Bernstein引理 199
7.2 Sobolev空間的L-P刻畫 200
7.3 H.lder空間及其L-P刻畫 207
7.4 習題.213
第8章 Bony仿積分解 219
8.1 部分和估計 219
8.2 廣義函數(shù)的形式乘法及仿積分解 221
8.2.1 *的估計 223
8.2.2 余項*的估計 224
8.3 仿積估計的應用 226
8.3.1 乘積估計 226
8.3.2 交換子估計 228
8.4 習題.230
第9章 Lorentz函數(shù)空間 238
9.1 非增重排函數(shù)* 238
9.1.1 非增重排函數(shù)的定義與舉例計算 238
9.1.2 非增重排函數(shù)*的性質(zhì) 240
9.2 Lorentz空間的定義 245
9.3 Lorentz空間的性質(zhì) 249
9.3.1 Lorentz空間的擬范數(shù)與完備性 249
9.3.2 *的對偶空間 252
9.4 習題.259
第三部分 附錄
附錄 A 線性算子的插值理論.267
A.1 (擬)線性算子的實插值：Marcinkiewicz插值定理 .267
A.2 復插值方法：Riesz-Thorin插值定理 271
A.3 習題 276
附錄B 賦予可數(shù)多半范的拓撲線性空間 277
B.1 賦予可數(shù)多半范的拓撲線性空間的基本性質(zhì) 277
B.2 回顧基本函數(shù)空間 281
B.3 習題 283
附錄C 空間* 283
C.1 空間* 283
C.2 空間* 285
C.3 習題 286
附錄D 空間*與*的結構 286
D.1 空間*及其對偶 287
D.2 *的結構.288
D.3 習題 290
附錄E Lorentz函數(shù)空間的卷積與乘積 291
E.1 卷積算子 291
E.2 Lorentz函數(shù)空間的卷積不等式 295
E.3 乘積算子與不等式 297
E.4 習題 298
參考文獻 299
名詞索引 303
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