《普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材：大學(xué)數(shù)學(xué)（文科類）（下冊(cè)）》是高等學(xué)校文科（包括經(jīng)管類）各專業(yè)的數(shù)學(xué)教材，分上、下兩冊(cè)，上冊(cè)含一元函數(shù)的微積分和線性代數(shù)部分，內(nèi)容包括初等函數(shù)、極限與連續(xù)、變化率與導(dǎo)數(shù)、積分、線性代數(shù)初步、矩陣與線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、二次型.下冊(cè)含多元函數(shù)的微積分、常微分方程和概率統(tǒng)計(jì)部分，內(nèi)容包括多元函數(shù)的微分、二重積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程、隨機(jī)事件的概率、隨機(jī)變量及其概率分布、數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步，各章均配有適當(dāng)、適量的習(xí)題供讀者學(xué)習(xí)鞏固。
《普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材：大學(xué)數(shù)學(xué)（文科類）（下冊(cè)）》既可作為高等學(xué)校文科（包括經(jīng)管類）各專業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教材，也可作為相關(guān)專業(yè)的教學(xué)參考書和自學(xué)用書。
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大學(xué)數(shù)學(xué)（文科類）（下冊(cè)）是高等學(xué)校文科（包括經(jīng)管類）各專業(yè)的數(shù)學(xué)教材，分上、下兩冊(cè)。上冊(cè)含一元函數(shù)的微積分和線 性代數(shù)部分，內(nèi)容包括初等函數(shù)、極限與連續(xù)、變化率與導(dǎo)數(shù)、積分、線性代數(shù)初步、矩陣與線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、二次型。下冊(cè)含多元函數(shù)的微積分、常微分方程和概率統(tǒng)計(jì)部分，內(nèi)容包括多元函數(shù)的微分、二重積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程、隨機(jī)事件的概率、隨機(jī)變量及其概率分布、數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步。各章均配有適當(dāng)、適量的習(xí)題供讀者學(xué)習(xí)鞏固。
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目 錄
連續(xù)思想篇(二)——多元函數(shù)微積分
第1章 多元函數(shù)的微分 3
1.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介 3
1.1.1 空間直角坐標(biāo)系3
1.1.2 空間任意兩點(diǎn)間的距離 4
1.1.3 曲面與方程 5
1.2 多元函數(shù)的概念 9
1.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù) 12
1.3.1 二元函數(shù)的極限 12
1.3.2 二元函數(shù)的連續(xù)性 14
1.4 偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算 15
1.5 全微分 19
1.6 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 22
1.6.1 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 22
1.6.2 全微分形式不變性 25
1.6.3 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 26
1.7 多元函數(shù)的極值與數(shù)學(xué)模型 29
1.7.1 多元函數(shù)的極值 29
1.7.2 多元函數(shù)的最值 31
1.7.3 條件極值 32
1.7.4 數(shù)學(xué)模型 34
數(shù)學(xué)重要?dú)v史人物——拉格朗日 37
習(xí)題1 38
第2章 二重積分 41
2.1 二重積分的概念與性質(zhì) 41
2.1.1 工重積分的概念 41
2.1.2 二重積分的性質(zhì) 44
2.2 二重積分的計(jì)算 6
2.2.1 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 45
2.2.2 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 50
2.3 二重積分的應(yīng)用 54
數(shù)學(xué)重要?dú)v史人物——牛頓 56
習(xí)題2 58
第3章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 61
3.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 61
3 1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 61
3 1.2 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 65
3.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 68
3.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 68
3.2.2 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 71
3.3 幕級(jí)數(shù) 74
3.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 74
3.3.2 幕級(jí)數(shù)及其收斂區(qū)間 75
3.3.3 幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算 77
3.4 泰勒級(jí)數(shù) 79
3.4.1 泰勒級(jí)數(shù)的概念 80
3.4.2 函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù) 82
3.5 級(jí)數(shù)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型 85
數(shù)學(xué)重要?dú)v史人物傅里葉 88
習(xí)題3 89
第4章 常微分方程 94
4.1 微分方程的概念 94
4.2 一階微分方程 95
4.2.1 可分離變量的微分方程 96
4.2.2 一階線性微分方程 97
4.3 可降階的二階微分方程 98
4.3.1 y(n)=f(x)型 99
4.3.2 y"=f(x，y')型 99
4.3.3 y"=f(y，y')型 100
4.4 二階常系數(shù)線性微分方程 101
4.4.1 工階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 102
4.4.2 二階常系數(shù)線性齊次方程 103
4.4.3 二階常系數(shù)線性非齊次方程 105
4.5 微分方程的應(yīng)用 109
4.5.1 放射性元素的衰變 109
4.5.2 下雪時(shí)間的確定 110
4.5.3 化工車間的通風(fēng) 110
4.5.4 商品價(jià)格浮動(dòng)的規(guī)律 111
數(shù)學(xué)重要?dú)v史人物——?dú)W拉 112
習(xí)題4 114
隨機(jī)思想篇
第5章 隨機(jī)事件的概率 119
5.1 隨機(jī)事件 119
5.1.1 隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間 119
5.1.2 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 119
5.2 隨機(jī)事件的概率123
5.2.1 概率的統(tǒng)計(jì)定義 123
5.2.2 概率的性質(zhì) 124
5.3 古典概型 125
5 4 條件概率 127
5.4.1 條件概率的定義 127
5.4.2 概率的乘法公式 128
5.4.3 全概率公式 128
5.4.4 貝葉斯公式 130
5.5 事件的獨(dú)立性 131
數(shù)學(xué)重要?dú)v史人物——貝葉斯 133
習(xí)題5 134
第6章 隨機(jī)變量及其概率分布 138
6.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 138
6 1.1 隨機(jī)變量的定義 138
6 1.2 隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義 139
6 1.3 隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì) 140
6.2 離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量 141
6.2.1 離散型隨機(jī)變量 141
6.2.2 連續(xù)型隨機(jī)變量 145
6.3 二維隨機(jī)變量及其概率分布 152
6.3.1 二維隨機(jī)變量 152
6.3.2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 158
6.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 160
6.4.1 數(shù)學(xué)期望 160
6.4.2 方差 163
6.4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 166
6.5 大數(shù)定律與中心極限定理 169
6.5.1 切比雪夫不等式 169
6.5.2 大數(shù)定律 170
6.5.3 中心極限定理 171
數(shù)學(xué)重要?dú)v史人物——棣莫弗 173
習(xí)題6 175
第7章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步 180
7.1 基本概念 180
7.1.1 總體和樣本 180
7 1.2 統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布 181
7.2 參數(shù)估計(jì) 187
7.2.1 點(diǎn)估計(jì) 187
7.2.2 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn) 190
7.2.3 區(qū)間估計(jì) 191
7.3 假設(shè)檢驗(yàn) 196
7.3.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念和兩類錯(cuò)誤 196
7.3.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) 198
7.3.3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) 200
7.4 回歸分析 201
7.4.1 一元線性回歸方程的建立 202
7.4.2 回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 204
7.5 統(tǒng)計(jì)模型及其應(yīng)用 206
7.5.1 隨機(jī)變量的模擬 206
7.5.2 隨機(jī)數(shù)的模擬 207
7.6* 本章相關(guān)結(jié)論的證明 208
數(shù)學(xué)重要?dú)v史人物——泊松 214
習(xí)題7 216
習(xí)題答案 221
參考文獻(xiàn) 233
附表 234
附表F.1 泊松分布表 234
附表F.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 235
附表F.3 滬分布臨界值表 236
附表F.4 t分布臨界值表 237
附表F.5 F分布臨界值表 238
附表F.6 相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表 244
在自然科學(xué)和工程技術(shù)中經(jīng)常會(huì)遇到多于一個(gè)自變量的函數(shù), 這種函數(shù)稱為多元函
數(shù). 多元函數(shù)的微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣, 它們有著許多類似之處, 但又有較大
的區(qū)別. 從一元函數(shù)到二元函數(shù)會(huì)產(chǎn)生許多新的問題, 但由二元函數(shù)到三元函數(shù)或更多
元函數(shù)是很自然的. 因此本章著重討論二元函數(shù)的微分學(xué). 作為二元函數(shù)微分學(xué)的預(yù)備
知識(shí), 先簡(jiǎn)單介紹空間解析幾何的內(nèi)容.
1.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介
1.1.1 空間直角坐標(biāo)系
平面解析幾何中, 建立了平面直角坐標(biāo)系, 并利用平面直角坐標(biāo)系建立了平面上的
點(diǎn)與二元有序數(shù)組(即坐標(biāo)) 之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 同樣, 為了把空間任一點(diǎn)與有序數(shù)組
對(duì)應(yīng)起來(lái), 我們來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系.
過(guò)空間一定點(diǎn)O, 作三條相互垂直的數(shù)軸：x 軸, y
軸, z 軸, 統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸. 它們的次序和方向一般按右
手法則規(guī)定, 即用右手握住z 軸, 四指從x 軸的正向旋
轉(zhuǎn)90± 到y(tǒng) 軸正向時(shí), 拇指的指向就是z 軸的正向. 不
加特別說(shuō)明, 一般三條坐標(biāo)軸的長(zhǎng)度單位都相同. 這樣,
得到空間直角坐標(biāo)系, 一般稱為右手系, 如圖1.1 所示.
定點(diǎn)O 稱為坐標(biāo)原點(diǎn), 由兩條坐標(biāo)軸確定的平面
稱為坐標(biāo)平面. 例如, 由x 軸和y 軸確定的坐標(biāo)面稱為圖1.1
xOy 坐標(biāo)面, y 軸和z 軸確定的坐標(biāo)面稱為yOz 坐標(biāo)面, z 軸和x 軸確定的坐標(biāo)面稱為
zOx 坐標(biāo)面. 如圖1.2 所示, 通常將xOy 坐標(biāo)面配置在水平面上. 三個(gè)坐標(biāo)平面把空間
分成8 個(gè)部分, 每一部分稱為一個(gè)卦限. 含有三個(gè)坐標(biāo)軸正向的卦限稱為第Ⅰ卦限, 在
xOy 平面上方由第一卦限依逆時(shí)針方向依次為Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ卦限. 在xOy 平面下方與第Ⅰ
卦限相對(duì)的為第Ⅴ卦限, 依逆時(shí)針方向依次為Ⅵ, Ⅶ, Ⅷ卦限, 如圖1.3 所示.
給定空間任一點(diǎn)M, 過(guò)M 分別作x 軸, y 軸和z 軸的垂面, 分別交x 軸, y 軸, z
軸于點(diǎn)P; Q;R, 設(shè)P; Q;R 三點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)依次為x; y; z, 則稱點(diǎn)M 確定了
一個(gè)三元有序數(shù)組(x; y; z); 反之, 對(duì)任意一個(gè)三元有序數(shù)組(x; y; z), 在x 軸, y 軸和z
軸上分別取坐標(biāo)為x; y; z 的三點(diǎn)P; Q;R, 然后過(guò)P; Q;R 分別作垂直于x 軸, y 軸和z
軸的平面, 這三個(gè)平面交于一點(diǎn)M, 則由三元有序數(shù)組(x; y; z) 唯一地確定了空間一點(diǎn)
M. 這樣, 在空間建立了坐標(biāo)系之后, 空間任一點(diǎn)M 與三元有序數(shù)組之間建立了一一對(duì)
應(yīng)關(guān)系(圖1.2), 稱這個(gè)三元有序數(shù)組為點(diǎn)M 的坐標(biāo), 記為M(x; y; z).
坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0; 0; 0); x 軸, y 軸和z 軸上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x; 0; 0); (0; y; 0) 和
(0; 0; z) 的形式; xOy 坐標(biāo)面, yOz 坐標(biāo)面和zOx 坐標(biāo)面上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x; y; 0); (0; y; z)
和(x; 0; z) 的形式.
1.1.2 空間任意兩點(diǎn)間的距離
設(shè)M1(x1; y1; z1),M2(x2; y2; z2) 是空間任意兩點(diǎn), 過(guò)M1 和M2 分別作垂直于三個(gè)
坐標(biāo)軸的平面得六個(gè)平面, 這六個(gè)平面圍成一個(gè)以M1M2 為對(duì)角線的長(zhǎng)方體, 如圖1.4
所示.
jM1M2j2 = jM1Nj2 + jNM2j2 ;
又
jM1Nj2 = jM1Pj2 + jPNj2 ;
于是,
jM1M2j2 = jM1Pj2 + jPNj2 + jNM2j2 :
又
jM1Pj=jP1P2j=jx2 ? x1j ; jPNj=jQ1Q2j=jy2 ? y1j ; jNM2j=jR1R2j=jz2 ? z1j ;
因此
jM1M2j = p(x2 ? x1)2 + (y2 ? y1)2 + (z2 ? z1)2: (1:1)
這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式.
特殊地, 點(diǎn)M(x; y; z) 與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0; 0; 0) 的距離為
d = jOMj = px2 + y2 + z2:
1.1.3 曲面與方程
1. 曲面方程的概念
在日常生活中, 經(jīng)常會(huì)遇到各種曲面, 如反光鏡的鏡面、管道的外表面以及錐面等.
在平面解析幾何中, 把平面曲線看成是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡. 同樣, 在空間解析幾何中,
也把曲面看成是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.
設(shè)曲面S 與方程
F(x; y; z) = 0 (1:2)
有下述關(guān)系：
(1) 曲面S 上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1.2);
(2) 不在曲面S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1.2),
那么方程(1.2) 就稱為曲面S 的方程, 曲面S 稱為方程(1.2) 的圖形(圖1.5).
下面建立幾個(gè)常見曲面的方程.
例1.1 建立球心在點(diǎn)M0(x0; y0; z0)、半徑為R 的球面的方程(圖1.6).
解設(shè)M(x; y; z) 是球面上的任一點(diǎn), 則有jM0Mj = R. 由于
jM0Mj = p(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2;
所以
p(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2 = R;
即
(x ? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2 = R2: (1:3)
這就是球面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程, 而不在球面上的點(diǎn)都不滿足方程(1.3), 因此
方程(1.3) 就是以點(diǎn)M0(x0; y0; z0) 為球心、R 為半徑的球面的方程.
如果球心在坐標(biāo)原點(diǎn), 則球面方程為
x2 + y2 + z2 = R2: (1:4)
例1.2 設(shè)有點(diǎn)A(1; 2; 3) 和B(2;?1; 4), 求線段AB 的垂直平分面的方程.
解由題意知道, 所求的平面就是與A 和B 等距離的點(diǎn)的幾何軌跡. 設(shè)M(x; y; z)
為所求平面上的任一點(diǎn), 根據(jù)題意, 有
jAMj = jBMj ;
即
p(x ? 1)2 + (y ? 2)2 + (z ? 3)2 = p(x ? 2)2 + (y + 1)2 + (z ? 4)2;
兩邊平方, 并化簡(jiǎn)得
2x ? 6y + 2z ? 7 = 0:
這就是所求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程. 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方
程, 所以該方程就是所求平面的方程.
例1.3 求三個(gè)坐標(biāo)面的方程.
解xOy 面上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)均為(x; y; 0) 的形式, 即任何一點(diǎn)的z 坐標(biāo)都為0;
反過(guò)來(lái), 滿足z = 0 的點(diǎn)也必然在xOy 面上. 因此xOy 面的方程為z = 0.
類似地, yOz 面和zOx 面的方程分別為x = 0 和y = 0.
例1.4 研究方程z = c (c 為常數(shù)) 的圖形.
解方程z = c 中不含x; y, 即對(duì)于z = c 所表示
圖形上的任意一點(diǎn), 其坐標(biāo)都為(x; y; c) 的形式, z = c
表示的圖形可以看成是由xOy 面向上(c > 0) 或向下
(c < 0) 平移jcj 個(gè)單位得到, 如圖1.7 所示.
例1.2, 例1.3 和例1.4 所研究的方程都是一次方
程, 所考察的圖形都是平面. 可以證明任何一個(gè)三元一
次方程
Ax + By + Cz + D = 0
圖1.7
(A;B;C;D 均為常數(shù), 且A;B;C 不全為0) 的圖形都是一張平面; 反之, 任何一張平面
的方程都是三元一次方程.
2. 柱面
平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L 所形成的曲面S 稱為柱面(圖1.8). 定
曲線C 稱為柱面的準(zhǔn)線, 動(dòng)直線L 稱為柱面的母線.
例如, 方程x2 +y2 = R2 表示的圖形是以xOy 面上的圓周x2 +y2 = R2 為準(zhǔn)線, 母
線平行于z 軸的柱面, 稱為圓柱面, 如圖1.9 所示.
一般地, F(x; y) = 0 表示以xOy 面上的曲線F(x; y) = 0 為準(zhǔn)線, 母線平行于z 軸
的柱面, 如圖1.8 所示. H(y; z) = 0 表示以yOz 面上的曲線H(y; z) = 0 為準(zhǔn)線, 母線平
行于x 軸的柱面. G(z; x) = 0 表示以zOx 面上的曲線G(z; x) = 0 為準(zhǔn)線, 母線平行于
y 軸的柱面.
3. 旋轉(zhuǎn)曲面
以一條平面曲線C 繞其平面上的一條直線L 旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面S 稱為旋轉(zhuǎn)曲
面. 平面曲線C 稱為曲面S 的母線, 定直線L 稱為曲面S 的軸, 如圖1.10 所示.
可以求得, yOz 坐標(biāo)面上的曲線C : f(y; z) = 0 繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面
S 的方程為
f(§px2 + y2; z) = 0:
曲線C 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面S 的方程為
f(y; §px2 + z2) = 0:
其他類似.
例如, 圓錐面就是一旋轉(zhuǎn)曲面. 它是一條直線L 繞另一條與之相交的直線旋轉(zhuǎn)一周
所得. 兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面的頂點(diǎn), 兩直線的夾角? 30 < ? <
2 ′ 稱為圓錐面的半
頂角.
例1.5 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O, 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為? 的圓錐面的方程.
解如圖1.11 所示, 直線L 的方程為z = y cot ?. 將L 繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲
面方程為
z = §px2 + y2 cot ?:
令a = cot ?, 于是得到圓錐面的方程
z2 = a2(x2 + y2):
常見的二次曲面還有橢球面
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1 (圖1.12); 橢圓拋物面
x2
a2 + y2
b2 = z
(圖1.13) 等. 一般地, 三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.
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