1．1幾何命題的物理意義歐幾里得幾何學的宏偉大廈，是閱讀該書的大多數(shù)讀者在學生時代就很熟悉的，在這建筑的高高的樓梯上，認真的教師逼迫你們花了不知多少時間。對這座宏偉的大廈，你們的敬畏之心或許會多于熱愛之心。
　　憑著往昔的經(jīng)驗，如果有人說這門學科中的命題，哪怕是最冷僻的都是不真實的，你們一定會嗤之以鼻。但是，如果有人問：“既然這些命題是真實的，那么你們究竟是如何理解的呢？”或許你們這種理所當然的驕傲態(tài)度就會馬上消失。現(xiàn)在，讓我們來考慮一下這個問題。
　　“平面”、“點”和“直線”之類的概念引發(fā)出了幾何學，在大體上我們有確定的觀念和幾何學的一些簡單命題（公理）相聯(lián)系，在這些觀念的影響下，我們傾向于把簡單命題當作“真理”接受下來。
　　然后以我們認為的合乎邏輯的方法，即用我們不得不認為是正當?shù)倪壿嬐评磉^程，闡明其余的命題是公理的推論，也就是說這些命題已得到證明。于是，只要從公理中推導出的一個命題用的是公認的方法，那么這個命題就是正確的（或是“真實的”）。這樣，各個幾何命題是否“真實”就歸結(jié)為公理是否“真實”。可是上述最后一個問題本身完全沒有意義，而且用幾何學的方法無法解答。我們難道要問“過兩點只有一條直線”是否真實？這當然不能。我們只能說，幾何學研究的是稱之為“直線”的東西，它說明每一直線唯一確定的性質(zhì)是由該直線上的兩點來確定。“真實”這一概念有由該直線上的兩點來唯一確定的性質(zhì)。與純幾何的論點不相符的是，“真實”在習慣上是指與一個“實在的”客體相當?shù)囊馑�；然而無論如何，幾何學并不涉及其中所包含的觀念與經(jīng)驗客體之間的關(guān)系，而只是涉及這些觀念本身之間的邏輯聯(lián)系。
　　不難理解，我們不得不將這些幾何命題稱為“真理”。幾何觀念與自然界中具有正確形狀的客體相對應，而具有正確形狀的客體無疑是產(chǎn)生那些觀念的唯一原因。幾何學應制止這一過程，以便使它的結(jié)構(gòu)獲得最大的邏輯一致性。例如，在我們的思想習慣中，通過一個可視為固定的物體上的兩點來測定“距離”的辦法是根深蒂固的。我們在觀察三個點位于一條直線時，如果適當?shù)剡x擇觀察位置，用一只眼睛觀測，使三個點的視位置能夠相互重合，我們也認為這三點位于同一直線。
　　如若依照我們的一向思維習慣，我們可以在歐幾里得幾何學中補充如下命題：在一個可視為固定的物體上的兩個點永遠對應于同一距離（直線間隔），而與該物體的位置發(fā)生的任何變化無關(guān)，那么，歐幾里得幾何學的命題就可以歸結(jié)為關(guān)于所有固定物體的所有相對位置的命題。如此一來，幾何學就可以看作是物理學的一個分支�，F(xiàn)在，對幾何命題是否是“真理”的問題，我們能夠提出合理的解釋。我們有理由問，對于與幾何觀念相聯(lián)系的那些真實的東西，這些命題是否已被滿足。用精確的術(shù)語來表達，也可以這樣說：我們把具有此種意義的幾何命題的“真實性”理解為該幾何命題對于用圓規(guī)和直尺作圖的有效性。
　　當然，以此斷定幾何命題的“真實性”，其基礎是不大完整的經(jīng)驗。但我們目前暫且認定這種“真實性”。然后在后一階段我們將會看到，這種“真實性”是有限的，那時再來討論這種有限性的范圍。
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