第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)
函數(shù)是相互依賴的變量之間的確定性關系,是高等數(shù)學研究的主要對象極限是函數(shù)的無窮變化趨勢,是高等數(shù)學的理論基礎和基本工具連續(xù)是函數(shù)的重要性態(tài),是高等數(shù)學研究的許多問題的基本條件和橋梁本章我們先回顧初等數(shù)學中函數(shù)的有關知識,然后介紹極限的概念、性質(zhì)、運算法則以及函數(shù)的一個重要性質(zhì)即連續(xù)性學習本章時,需要注意的是極限理論與方法,它是人們從有限中認識無限、從近似中認識精確、從量變中認識質(zhì)變的最基本的思想方法,幾乎貫穿了高等數(shù)學的全課程．
預備知識
在回顧復習函數(shù)的知識前,先介紹一些基礎知識．
首先,引進常用的邏輯符號與關系符號如下:
符號.:表示“對每一個”,“任取”,或“任意給定”,它是英文 Any(每一個)或 Al
(所有
的)字頭 A的倒寫．符號.:表示“存在一個”,“至少有一個”或“能夠找到”,它是英文 Exist(存在)的字頭 E
的反寫．符號.:表示“推出”或“蘊含”．符號.:表示“等價”或“充分必要”．符號＝Δ :表示“記為”．
Δ:
符號.表示“定義為”或“記為”．其次,給出變量、區(qū)間及鄰域的概念．,可以取不同數(shù)值的在某一過程中保持不變的數(shù)量稱為常量或常數(shù),用字母Ab等表示;
數(shù)量稱為變量,用字母x, 凡無特別說明,
y等表示今后,本書所言的數(shù)量都是指實數(shù)．只取有限個或可列無窮多個數(shù)值的變量稱為離散型變量如價格、產(chǎn)值等所謂可列無窮多個數(shù)值,是指這無窮多個數(shù)值可以寫成一個無窮數(shù)列的形式,如數(shù)值1,2,3,,以及
111,等可以取某區(qū)間上任何數(shù)值的變量稱為連續(xù)型變量,如溫度、時間等所謂
2,4,8 A,閉區(qū)間[b],,和[b);區(qū)間可以是有限區(qū)間,如開區(qū)間(b),,半開半閉區(qū)間(b],也可以是無限區(qū)間,如(,＋∞),(－∞,或(－∞,＋∞ 等在不需要細分的情A各種區(qū)間統(tǒng)稱
Ab])A況下,A
區(qū)間 ,常用I表示．為了研究變量的局部變化狀態(tài),今后還常用到鄰域的概念．若δ是正數(shù),稱開區(qū)間(為點A的δ鄰域,記作U(,δ),即
A－δ,＋δ)AU(,＝Aδ,＝ x||xA
Aδ)(A－A＋δ){－A|δ＜)δ}其中點A稱為這鄰域的中心,δ稱為這鄰域的半徑鄰域U(,表示與點A的距離小于δ 的一切點 x的全體 (圖1Ｇ0Ｇ1)．
圖1Ｇ0Ｇ1
任何有限開區(qū)間都可視為鄰域 例如 ,區(qū)間 (－1,3)＝U(1,2)．
若把鄰域 U(A,的中心點去掉 ,記作 UAδ),δ)所剩下的部分稱為點 A的去心 δ鄰域 ,.(,即
U.(,＝－)∪ (A＋δ){－|＜δ}
Aδ)(δ,,＝ x|0＜|xAA－AAA＋δ)
開區(qū)間 (δ,)稱為點AA的左δA鄰域,(A,稱為點 A的右 δ鄰域．在不必指明鄰域的半徑時 ,可把以點 A為中心的任何開區(qū)間稱為點 A的鄰域 ,記作
U(A),A的中心點去掉后所剩下的部分稱為點 A的去心鄰域 ,.()
把鄰域 U()記作 UA．
數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關系和空間形式的科學 初等數(shù)學主要是對數(shù)量關系和空
間形式作靜止的分析 ,而高等數(shù)學則著重于以動態(tài)的觀點作研究 簡單地說 ,高等數(shù)學就是
研究變量變化規(guī)律的學科 不過 ,高等數(shù)學研究的變量一般不是指孤立的某個變量 ,而是若
干個相互依賴、相互制約的變量 同一變化過程中若干個相互依賴、相互制約的變量之間所
具有的確定性的關系 ,實質(zhì)上就是函數(shù)．
§11 函數(shù)概述
一、函數(shù)的基本概念
定義 設x和y是兩個變量 ,D是數(shù)集 若.x∈D,
y按照一定的法則總有確定的數(shù)值與之對應 ,則稱 y是x的函數(shù) ,記為
x),x),其中 x稱為自變量 ,y稱為因變量 ,D()f()
y＝f(x∈D 或 y＝y(tǒng)(x∈D
或記成 Df稱為函數(shù)的定義域 ,或f稱為函數(shù)的對應法則．在函數(shù)定義中 ,.x∈D,對應的 y值是確定的 ,但y值不一定是唯一的 若.x∈D,
y
有且只有一個值與它對應 ,則這類函數(shù)稱為單值函數(shù) ;y可以有多個值與它對
若 .x∈D,應,則這類函數(shù)稱為多值函數(shù) 例如 ,設x和y之間的對應法則由方程 y2＝x給出 ,當x≥0
時有 y＝±
與之對應 ,因此是一個多值函數(shù) 對于多值函數(shù) ,如果附加一些條件 ,可使得在此附加條件下 ,對每個 x∈D,對應的 y值是唯一的 ,即為一個單值函數(shù) 例如 ,對于 y2＝
x,附加條件 y≥0 ,就得到一個單值函數(shù) y＝
;若附加條件 y≤0 ,就得到另一個單值函數(shù)
y＝－
由于多值函數(shù)可以分解為多個單值函數(shù)來研究 ,因此 ,今后凡是沒有特別說明時,函數(shù)都是指單值函數(shù)．x)稱為函數(shù) f(在xA點當自變量在定義域內(nèi)取某一數(shù)值 A時,函數(shù) f(的對應值 ,x)＝ 處的函數(shù)值 ,記為 f()或y當自變量取遍定義域內(nèi)的一切數(shù)值時 ,相應的函數(shù)值的全
A|x＝A體稱為函數(shù)的值域 ,記為 W或Wf,即
{x), 函數(shù)定義中 ,包含了自變量、因變量、定義域、對應法則和值域這幾個因素 ,其中定義域 D與對應法則 f稱為函數(shù)的兩要素．
函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍 在實際問題中 ,函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義來確定的 比如 ,圓的面積 A是半徑 R的函數(shù) A＝π R2,其定義域為 R＞0 若不考慮函數(shù)的實際意義 ,而抽象地研究用算式表達的函數(shù) ,這時函數(shù)的定義域是使函數(shù)中的所有算式都有意義的自變量的全部取值．
W＝ y|y＝f(x∈D}
1
－x111[()()111AB1＋∞ D1＋∞ ,,,,,．．．eee、、D這是一道四選一的單項選擇題 請讀者用直推法特取法淘汰法自行求解 答案是 ,、今后對高等數(shù)學的單項選擇題 還可用反演法圖解法和估值法等解答,．()f函數(shù)的兩要素中 對應法則 是表示自變量與因變量之間關系的 是函數(shù)的核心 ,,(f理解這個核心的直觀方法是把對應法則看作是一部機器 若在函數(shù) 的定義域中 ,x,()f把視為機器的輸入放進機器 則通過機器的處理產(chǎn)生了一個輸出 當然 函數(shù)的定x,,x;義域就被看作是一切允許輸入的集合 函數(shù)的值域被看作是一切可能輸出的集合 在計算器中預先編好程序的函數(shù) 是把函數(shù)看作機器的一個很好例證 例如 在普通計算器上都有,, 鍵它表示進行開平方運算的函數(shù) 要對一個數(shù)進行開平方運算 首先輸入 到計算x,, ≥0＜0;器的顯示屏 然后按下鍵當時函數(shù)值即被顯示出來 當時由于 不在,x,x,x
x)當
開平方函數(shù)的定義域內(nèi) ,即這個 x是一個不被認可的輸入 ,計算器將在顯示屏上顯示錯誤
[
信息 實際上 ,函數(shù)的 “函”就帶有 “袋子 ”、“盒子 ”、“箱子 ”的意思 ,因而函數(shù)的對應法則 ,可
÷.C．
÷.∪
看成是將輸入的數(shù)字進行變化后再輸出的一種特殊的 “袋子 ”、“盒子 ”、“箱子 ”．兩個函數(shù)只有當它們的定義域相同 ,且對應法則也相同時 ,才稱這兩個函數(shù)是相同的．
nx() 1例函數(shù) 的定義域是 ＝y(tǒng).÷ . 223
注 函數(shù)與自變量和因變量所采用的表示符號無關．
例如 ,x－1不是同一個函數(shù) ,因為定義域不同 ;x－1與yx－1
y＝x＋1與y＝ －1y＝ x－1＝ x－1
è
也不是同一個函數(shù) ,因為對應x法則不同 ;而y＝sin2x與u＝sin2v是相同的函數(shù)．為了表示 y是x的函數(shù) ,所采用的記號并不唯一 但是 ,若同時研究多個不同的函數(shù) ,為了避免混淆 ,則不能用同一個記號來表示不同的函數(shù)．表示函數(shù)的方法 ,通常有公式法、圖像法和表格法三種 ,另外還可以用語言文字的敘述表示 ,用電子計算機的語言表示等 將公式法和圖像法結合起來 (數(shù)形結合法 ),仍然是今后經(jīng)常用到的一種分析處理問題的基本方法 在平面直角坐標系 xO函數(shù) yf(的圖像 (是
y中,＝ x)或圖形 )
指點集
{(x,x),可簡記為 C:y＝f(x∈D顯然 (圖1Ｇ1Ｇ1),函數(shù)的圖像在 x軸和y軸上的投影分別就是函數(shù)的定義域和值域 例如 ,線性函數(shù) y＝kx＋b是一條斜率為 k,在y軸上的截距為 b的直線 ;二次函數(shù)圖1Ｇ1Ｇ1
C＝x),y)|y＝f(x∈D},
2(b,A－2,b
y＝Ax＋bx＋cA≠0 )是一條頂點為－4cb對稱軸為 x＝－的拋物線．
2A4A 2A
必要的修改后獲得圖像．
二、函數(shù)的基本特性
f
即x∈I.－x∈I)－x)＝－f(－x)＝f(
÷.è.:函數(shù)作圖的一般方法 研究函數(shù)性質(zhì) 描出一些特殊點 連線作圖并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進行,,、、在函數(shù)的性質(zhì)中奇偶性周期性單調(diào)性和有界性是比較簡單的這些特性與函數(shù)圖像,,的某種特征相匹配也可以說是函數(shù)的幾何特性．x,(),()IIDDIf在區(qū)間上有定義的一部分設函數(shù)可以是整個定義域也可以是關x,f(()(()),∈Iff于原點對稱若恒有或則x,xx1),23;C例如是常數(shù)都是偶函數(shù)都＝＝cs＝＝snxx,,x,,xyyyy2(()ff則稱是周期函數(shù)的一個周期,x．TTff若為的一個周期則正整數(shù)都是的周期若在周期中存在最小的正值,nn,就稱它為最小正周期通常周期函數(shù)的周期是指最小正周期,．i2πi2|i|π;例如的周期是的周期是＝sn＝cos＝sn＝sn,x,xx,x．)(.∈I＜f若xx,x2(()If則稱在上單調(diào)增加的或,x)()()單調(diào)減少區(qū)間單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)或區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)或單調(diào)區(qū)間．()()ff((21 ∈IIf＞注在上單調(diào)增加當時恒有,,x,122())()I＜或在上的圖像是漸升或漸降的x．[)(]()20＋∞－∞0－∞＋∞;在例如上單調(diào)增加在上單調(diào)減少而在內(nèi)函＝,,,,,,y2數(shù)不是單調(diào)的可見函數(shù)的單調(diào)性具有局部性＝x,y．)(|≤.Kfxxx1x
稱f(x)是區(qū)間 I上的奇函數(shù) (或偶函數(shù) )．注 f()或偶函數(shù) )x∈I,－)±f()0. f()在I上
在I上是奇函數(shù) (恒有 f(xx＝x的圖像關于原x點(或y軸)對稱．
C(＝ y||,＝ oyxyx＝i
是奇函數(shù) y;＝kk≠0 ,yA2＋bc(b≠0 ),＝x,ylx都是非奇非
y＝ x＋b(b≠0 ),＝ xx＋ A≠0 ,y2 ＝n偶函數(shù) ;0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．設函數(shù) f()若.T＞0 ,有(且恒有 f(＝
x),x的定義域為 D,使得 .x∈D,x＋T)∈D,x＋T)
注 f(周期為 Tx∈I,x)x)的圖像在相鄰的每個長
x)恒有 f(
度為 T的區(qū)間上完全相同．
x)T為f(x＋T)－f(＝0. f(
,
yyyy設函數(shù) f()在區(qū)間 I上有定義 ,1,x2 當x1＜x2時恒有 f(1 x)(或 f()＞f()),x)或單調(diào)減少 )I為f(的一個單調(diào)增加 (
x)或減少 )xx1≠xx－xx2－x1
0. f(
函數(shù)的單調(diào)性是相對于有定義的某區(qū)間而言的 ,只有在整個定義域上單調(diào)的函數(shù) ,在指明其單調(diào)性時才可以把相應的單調(diào)區(qū)間省略 ,如y＝ey＝lnx是單調(diào)增加函數(shù)．
x,
設函數(shù) f()在區(qū)間 I上有定義 ,若 .常數(shù) M(或 m),使得 .x∈I,恒有 f(或
x)≥m),xx)或有下界 ),或 m)x)x)≤M(
f(則稱 f(在I上有上界 (數(shù) M(稱為 f(在I上的一個上界 (或下界 )x)則稱 f(在I上有界或f(是I上的有界
若f(在I上既有上界又有下界 ,x)x)函數(shù) 否則 ,稱f()在I上無界．
x注 f()在I上有界 K＞0 ,使得 .x∈I,恒有 |f(x)在I上的圖像介
于兩條平行于 x軸的水平線之間．
yx在(1)在[上無界 ;＝1 0,無界 ,
如,＝ 0,上有界 ,1,＋∞ )yx在(1)在[1,＋∞ )上有界．
函數(shù)的有界性仍然與區(qū)間有關 ,只有在整個定義域上討論有界性時 ,才可以省略具體的區(qū)間 如y＝sinx和y＝cos2x是有界函數(shù)．有界性定義中的上界 (或下界 ),即常數(shù) M(或m)可以不唯一 ,可以不必是 f(或 f(成立的最小 (值．x)≤M(
x)≥m)或最大 )
思考 :這兩者是否等價 ?
f在I上有最大最小值與 f在I上有界 ,
三、函數(shù)的基本運算
函數(shù)的基本運算包括四則運算 ,復合運算和反演運算三類．
xx
對常數(shù) k,函數(shù) f()和g()施行的以下運算
f(f(),x)),x)
x),)±g(f(g(f(
kxxx
x)稱為函數(shù)的四則運算 ,所得到的函數(shù)分別稱為函數(shù) f(的乘數(shù)函數(shù) ,函數(shù) f(與g(的和、差函數(shù) ,積函數(shù) ,商函數(shù)．x)x)x)
函數(shù)經(jīng)四則運算后 ,生成的新的函數(shù)的定義域一般是各構成函數(shù)的定義域的交集 ,而對f(
g(
x)
商函數(shù) g(其定義域是 {|f∩D,g(．
x),xx∈Dgx)≠0 }
如,由正弦函數(shù) sinx,余弦函數(shù) cosx,可得到正切函數(shù) tAnx＝sinx,余切函數(shù) cotx＝
cosxcosx 11 22
sinx,正割函數(shù) secx＝cosx,余割函數(shù) cscx＝sinx由此并結合 sinx＋c osx＝1,可推出
1＋t An2 ＝sec2x,1＋c ot2 ＝csc2 ．注 把x一個復雜的函數(shù)x分解成x若干個簡單的函數(shù)的四則運算 ,這個過程稱為函數(shù)的分項(這里把乘除的因式也看作項 )如函數(shù) x(
同一個函數(shù)可能有不同的分項方法 ,x＋1 ),既可以當成 x2與x的和 ,也可當成 x與x＋1的積 函數(shù)的分項方法是高等數(shù)學中較基本的化簡方法．
設y是u的函數(shù) y＝f(),定義域為 Df,而u是x的函數(shù) u＝g(x),且在 I上有定義 ,若W＝{u|＝ x),,uf,y通過 u的聯(lián)系便成為 x的函數(shù) ,
ug(x∈I}且W.D那么 ,.x∈I,這個新的函數(shù)稱為由函數(shù) y＝f()和u＝ x)復合而成的復合函數(shù) ,記為 yf[x)],其中 ,
ug(＝ g(y＝ u)稱為外層函數(shù) ,＝g(稱為內(nèi)層函數(shù) ,
f(ux)u稱為中間變量 由已知函數(shù)獲得復合函數(shù)的運算過程稱為復合運算．通俗地理解 ,復合函數(shù)就是函數(shù)套函數(shù) 復合函數(shù)也可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合而成 ,如y＝esin
就可以看作是由三個函數(shù) yeu,＝ivv
復合而成的 要注意 ,不
＝ usn,＝ y
是任何兩個函數(shù)都能復合成一個復合函數(shù)的 例如 ,＝
及u＝－x2－1就不能復合 (請思考這是為何 ?)．注 把一個復雜的復合函數(shù)分解成若干個簡單的函數(shù)的復合運算 ,這個過程稱為函數(shù)的分層 復合函數(shù)的復合運算過程是由內(nèi)到外進行的 ,而分層過程與復合運算過程恰好是
反序的———由表及里逐步設中間變量,因此,復合函數(shù)的分層俗稱剝皮法正確而熟練掌握這一方法,將給今后學習帶來很多方便另外,研究復合函數(shù)時,還常常用到換元法(變量替換法)和還原法．
例2 設f1＝x＋1 x)
－2,求f(．
思路 利用換元x法,x結合函數(shù)與變量記號無關的特性．
u
故f(1＋x
例3 設fx－1 ＝3－x2－12,求f(sinx)．
xx
è
.÷ .
è 1＋1111＋uu() f解令則由題設得＝＝＝＝u,x,u112 ．－xuu2－)＝x12 ．－xè 1112 3思路若令 不便求出 可把直接還原成 的表達式－＝－－－xu,x,xx．2xxx2111() 32112ff解因為 所以－－＝－－＝－＝－xx,xuu．2èèxxx()22i1if故有 sn＝－sn＝cosxxx．(){),)(},(.∈|∈WIIfff設函數(shù) 若通過 都在區(qū)間 上有定義＝＝＝＝xxx,xyyyyy(),有唯一確定的 與對應 則得到一個以 為自變量 該函數(shù)為因變量的函數(shù) ＝xxx,,yygy(),)()(()1ff－的反函數(shù) 由已知函數(shù)獲稱為函數(shù) 習慣上寫成 并記為＝＝＝,xxxxgyyg)).f所以函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關于直線＝＝＝xyyy() 2－∞ 0注單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)一定有反函數(shù) 比如 函數(shù) 在內(nèi)的反函數(shù)為＝＝,x,yy()l＞0 －∞ ＋∞ ＞0;函數(shù) 的反函數(shù)為在e－＝＝nxxx,x,,yy．itt三角函數(shù) 在包含銳角的單調(diào)區(qū)間上 即函數(shù)＝sncsnc＝o＝A＝ox,x,x,x,yyyyππ[],i0πso,x,x,,－＝y(tǒng)22 ππ().0π∈∈ttAnco,x,xx,x,,－y＝y(tǒng)＝.22è 的反函數(shù) 依次記為,],[[],i1111∈∈ArcArc
ssnox,,x,xx,＝－＝－yy()),(∞∞∞∞∈∈tt＋＋ArnAocArc
xx,,x,,x＝＝－－yyππ5. 1iπt如由反三角函數(shù)的定義 可得ArcAn＝Arc
os
n－＝,,,÷346 ．.()、()()利用函數(shù)的四則運算 分項法復合運算 分層法 和反演運算 反演法 這些基本運算研究函數(shù)的某些性質(zhì) 有時可以起到化繁為簡的作用,．,()以函數(shù)奇偶性的四則運算為例 不難證得 在共同有定義的對稱區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的奇偶性,;＋＋＋奇奇奇偶偶偶奇偶非奇非偶＝＝＝,,
.÷ .
]
得反函數(shù)的運算過程稱為反演運算．由于f(－1(x,x是對稱的．
.÷ ÷ .
.÷ .
x
nx∈,y＝csx∈[
有如下的運算規(guī)律:
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