《常微分方程定性與穩(wěn)定性方法》是為理工類專業(yè)的碩士研究生和高年級本科生的需要所編寫的一《常微分方程定性與穩(wěn)定性方法》.《常微分方程定性與穩(wěn)定性方法》為第二版.主要包括定性理論、穩(wěn)定性理論和分支理論三個部分.內(nèi)容著眼于應用的需要 取材精練，注意概念實質的揭示、定理思路的闡述、應用方法的介紹和實際例子的分析，并配合內(nèi)容引入計算機軟件. 每章后附有習題供讀者練習.

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目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 基本定理 1
1.1 解的存在唯一性定理 1
1.2 解的延拓 3
1.3 解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性 9
1.4 比較定理 13
習題1 21
第2章 動力系統(tǒng)的基本知識 23
2.1 自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng) 23
2.1.1 相空間與軌線 23
2.1.2 自治系統(tǒng)的基本性質 25
2.1.3 動力系統(tǒng)的概念 28
2.2 軌線的極限集合 29
2.2.1 常點與奇點 29
2.2.2 自治系統(tǒng)解的延拓性 30
2.2.3 w極限集與a極限集及其基本性質 32
2.3 平面上的極限集 35
2.3.1 平面有界極限集的特性與結構 35
2.3.2 Poincare-Bendixson環(huán)域定理 37
2.4 極限集的應用實例 39
2.4.1 Volterra捕食-被捕食模型 39
2.4.2 三極管電路的van der Pol方程 42
習題2 44
第3章 穩(wěn)定性理論 46
3.1 穩(wěn)定性的定義和例子 46
3.1.1 穩(wěn)定性的幾個定義 46
3.1.2 穩(wěn)定性的關系及例子 49
3.2 自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 54
3.2.1 V函數(shù) 54
3.2.2 Liapunov穩(wěn)定性定理 55
3.2.3 不穩(wěn)定性定理 57
3.3 非自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 59
3.3.1 V函數(shù)和k類函數(shù) 59
3.3.2 零解的穩(wěn)定性 62
3.3.3 零解的不穩(wěn)定性 65
3.4 全局穩(wěn)定性 67
3.4.1 全局穩(wěn)定的概念和判定定理 67
3.4.2 應用舉例 71
3.4.3 吸引域的估計 73
3.5 線性系統(tǒng)及其擾動系統(tǒng)的穩(wěn)定性 73
3.5.1 常系數(shù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 74
3.5.2 線性系統(tǒng)的擾動 81
3.5.3 非自治線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 84
3.6 臨界情形下奇點的穩(wěn)定性分析 87
3.6.1 中心流形 88
3.6.2 中心流形定理 92
3.6.3 臨界情況下奇點的穩(wěn)定性分析舉例 95
3.7 Liapunov函數(shù)的構造 102
3.7.1 Liapunov函數(shù)的存在性 102
3.7.2 常系數(shù)線性系統(tǒng)的巴爾巴欣公式 104
3.7.3 二次型方法的推廣 108
3.7.4 線性類比法 110
3.7.5 能量函數(shù)法 112
3.7.6 分離變量法 113
3.7.7 變梯度法 114
3.8 判定穩(wěn)定性時的比較方法 116
3.8.1 與數(shù)量方程的比較 116
3.8.2 與向量方程的比較 120
習題3 122
第4章 平面系統(tǒng)的奇點 125
4.1 初等奇點 125
4.1.1 線性系統(tǒng)的孤立奇點 125
4.1.2 非線性系統(tǒng)的雙曲奇點 135
4.2 中心與焦點的判定 140
4.2.1 非雙曲初等奇點的類型與中心的判定定理 140
4.2.2 細焦點及其判定法 147
4.3 高階奇點 157
4.3.1 沿不變直線方向的拉伸變換 158
4.3.2 通過極坐標變換的“吹脹”技巧 160
4.3.3 沿x與y方向的“吹脹” 165
4.3.4 非齊次“吹脹” 169
4.4 旋轉數(shù)與指數(shù) 171
4.4.1 旋轉數(shù)及其基本性質 171
4.4.2 奇點的指數(shù) 173
習題4 177
第5章 極限環(huán) 179
5.1 基本概念與極限環(huán)的不存在性 179
5.1.1 基本概念 179
5.1.2 極限環(huán)不存在性的判定法 181
5.2 極限環(huán)的存在性 187
5.3 后繼函數(shù)與極限環(huán)的穩(wěn)定性 198
5.3.1 Poineare映射與后繼函數(shù) 198
5.3.2 曲線坐標與極限環(huán)的穩(wěn)定性 200
5.4 極限環(huán)的唯一性 204
習題5 211
第6章 無窮遠奇點與全局結構 212
6.1 無窮遠奇點 212
6.1.1 Poincare球面與Poincare變換 212
6.1.2 無窮遠奇點與Poincare圓盤 214
6.2 軌線的全局結構分析舉例 224
習題6 228
第7章 分支理論 229
7.1 一個例子 229
7.2 結構穩(wěn)定與分支現(xiàn)象 230
7.2.1 結構穩(wěn)定的定義 230
7.2.2 結構穩(wěn)定的等價描述 232
7.2.3 結構不穩(wěn)定：分支現(xiàn)象 233
7.3 奇點分支 234
7.3.1 一維系統(tǒng)的奇點分支 234
7.3.2 二維或更高維系統(tǒng)的奇點分支 238
7.3.3 給定擾動參數(shù)的奇點分支問題 242
7.4 Hopf分支 243
7.4.1 平面系統(tǒng)的Hopf分支 244
7.4.2 利用特征根的共振性求正規(guī)形 255
7.4.3 三維或更高維系統(tǒng)的Hopf分支 257
7.5 閉軌分支 259
7.5.1 平面系統(tǒng)的閉軌分支 259
7.5.2 三維或更高維系統(tǒng)的閉軌分支 263
7.6 奇異閉軌分支 268
7.6.1 平面系統(tǒng)的同宿分支 269
7.6.2 旋轉向量場 270
7.6.3 平面系統(tǒng)同宿分支的例子 272
7.6.4 關于異宿分支和高維系統(tǒng)奇異閉軌分支的介紹 275
7.7 Poincare分支——從平面閉軌族分支極限環(huán) 276
7.7.1 平面Hamilton系統(tǒng)的擾動問題 276
7.7.2 高階Melnikov函數(shù) 284
7.7.3 平面可積系統(tǒng)的擾動問題 286
7.7.4 弱化的希爾伯特第16問題 287
7.8 從高維系統(tǒng)的閉軌族產(chǎn)生周期解的分支問題 289
7.9 Bogdanov-Takens分支 296
7.9.1 利用變換求正規(guī)形 296
7.9.2 余維2的B-T分支：普適開折的推導 298
7.9.3 余維2的B-T分支：分支圖與軌線拓撲分類 302
習題7 303
第8章 常微分方程的應用舉例 308
8.1 一個三種群相互作用的Volterra模型研究 308
8.1.1 正平衡解的穩(wěn)定性 308
8.1.2 模型平面解的存在性及其漸近性態(tài) 311
8.1.3 一個Volterra模型的Hopf分支 314
8.2 傳染病模型 317
8.2.1 假設和記號 317
8.2.2 SIS模型 317
8.2.3 SIR模型 319
8.2.4 SEIR模型 321
8.3 一個總人口變化的SEIR模型的全局性態(tài)分析 323
8.3.1 模型及其平衡解 323
8.3.2 無病平衡點的穩(wěn)定性 325
8.3.3 地方病平衡點的穩(wěn)定性 327
8.3.4 地方病平衡點的全局穩(wěn)定性 329
8.4 三分子反應模型 332
8.4.1 模型及其奇點分析 332
8.4.2 極限環(huán)的存在唯一性 334
8.5 一個具有非線性傳染率的SI模型的穩(wěn)定性與分支 336
8.5.1 具有非線性傳染率的SI模型 336
8.5.2 平衡點的穩(wěn)定性 338
8.5.3 模型（8.5.3)的Bogdanov-Takens分支 341
8.6 一個具有飽和恢復率的季節(jié)性傳染病模型 348
8.6.1 模型及其基本再生數(shù) 348
8.6.2 兩個正周期解的存在性 349
8.6.3 周期解的穩(wěn)定性 354
習題8 359
參考文獻 362

第1章 基本定理
本章將介紹常微分方程解的一些基本定理，它們是本書的理論基礎.其中有些定理在常微分方程的一般教程中已有論述.這里我們再作復習？補充和提高.
1.1解的存在唯一性定理
在大部分常微分方程教材中，解的存在唯一性定理是采用逐步逼近的近似解序列方法加以證明的，這種方法有其直觀？實用的優(yōu)點，但步驟復雜.下面對一般的向量微分方程，采用壓縮映像原理給出一個簡捷的證明.
定理1.1(存在唯一性定理) 考慮Cauchy問題①:
其中z為R“中的向量，，是實變量￡和n維向量x的7維向量值函數(shù).若，(￡，z)在開區(qū)域G∈R×Rn中滿足下列條件:
(1)，在G內(nèi)連續(xù)，簡記為，∈C(G);
(2)，關于z滿足局部Lipschitz條件，即對于點PO (t0，xo)∈G，和依賴于PO點的常數(shù)LPo，使得V(￡，Xl)，(￡，X2)∈Go有不等式成立，其中表示歐氏范數(shù).
則Cauchy問題(1.1.1)在區(qū)間上存在唯一的解.其中
證 容易看出，在區(qū)間上Cauchy問題(1.1.1)等價于積分方程