第l章 預備知識
1.1 泰勒公式
1.1.1 一元函數(shù)的情形
1.1.2 多元函數(shù)的情形
1.2 含參變量的積分
1.3 場論基礎
1.3.1 方向?qū)��?shù)及梯度
1.3.2 向量場的通量和散度
1.3.3 高斯定理與格林公式
1.3.4 向量場的環(huán)量與旋度
1.3.5 斯托克斯定理
1.3.6 梯度、散度和旋度表示的統(tǒng)一高斯公式
1.4 直角坐標與極坐標的坐標變換
1.5 變分法基本引理
1.6 求和約定、克羅內(nèi)克爾符號和排列符號
1.7 張量的基本概念
1.7.1 直角坐標旋轉(zhuǎn)變換
1.7.2 笛卡兒二階張量
1.7.3 笛卡兒張量的代數(shù)運算
1.7.4 張量的商定律
1.7.5 二階張量的主軸、特征值和不變量
1.7.6 笛卡兒張量的微分運算
1.8 常用不等式
1.9 名家介紹
習題1
第2章 固定邊界的變分問題
2.1 古典變分問題舉例
2.2 變分法的基本概念
2.3 最簡泛函的變分與極值的必要條件
2.4 最簡泛函的歐拉方程
2.5 歐拉方程的幾種特殊類型及其積分
2.6 依賴于多個一元函數(shù)的變分問題
2.7 依賴于高階導數(shù)的變分問題
2.8 依賴于多元函數(shù)的變分問題
2.9 完全泛函的變分問題
2.10 歐拉方程的不變性
2.11 名家介紹
習題2
第3章 泛函極值的充分條件
3.1 極值曲線場
3.2 雅可比條件和雅可比方程
3.3 魏爾斯特拉斯函數(shù)與魏爾斯特拉斯條件
3.4 勒讓德條件
3.5 泛函極值的充分條件
3.5.1 魏爾斯特拉斯充分條件
3.5.2 勒讓德充分條件
3.6 泛函的高階變分
3.7 名家介紹
習題3
第4章 可動邊界的變分問題
4.1 最簡泛函的變分問題
4.2 含有多個函數(shù)的泛函的變分問題
4.3 含有高階導數(shù)的泛函的變分問題
4.3.1 泛函含有一個未知函數(shù)二階導數(shù)的情形
4.3.2 泛函含有一個未知函數(shù)多階導數(shù)的情形
4.3.3 泛函含有多個未知函數(shù)多階導數(shù)的情形
4.4 含有多元函數(shù)的泛函的變分問題
4.5 具有尖點的極值曲線
4.6 單側(cè)變分問題
4.7 名家介紹
習題4
第5章 條件極值的變分問題
5.1 完整約束的變分問題
5.2 微分約束的變分問題
5.3 等周問題
5.4 混合型泛函的極值問題
5.4.1 簡單混合型泛函的極值問題
5.4.2 二維、三維和”維問題的歐拉方程
5.5 名家介紹
習題5
第6章 參數(shù)形式的變分問題
6.1 曲線的參數(shù)形式及齊次條件
6.2 參數(shù)形式的等周問題和測地線
6.3 可動邊界參數(shù)形式泛函的極值
習題6
第7章 變分原理
7.1 集合與映射
7.2 集合與空間
7.3 標準正交系與傅里葉級數(shù)
7.4 算子與泛函
7.5 泛函的導數(shù)
7.6 算子方程的變分原理
7.7 與自共軛常微分方程邊值問題等價的變分問題
7.8 與自共軛偏微分方程邊值問題等價的變分問題
7.9 弗里德里希斯不等式和龐加萊不等式
7.10 名家介紹
習題7
第8章 變分問題的直接方法
8.1 極小(極大)化序列
8.2 歐拉有限差分法
8.3 里茨法
8.4 坎托羅維奇法
8.5 伽遼金法
8.6 最小二乘法
8.7 算子方程的特征值和特征函數(shù)
8.8 名家介紹
習題8
第9章 力學中的變分原理及其應用
9.1 力學的基本概念
9.1.1 力學系統(tǒng)
9.1.2 約束及其分類
9.1.3 實位移與虛位移
9.1.4 應變與位移的關系
9.1.5 功與能
9.2 虛位移原理
9.2.1 質(zhì)點系的虛位移原理
9.2.2 彈性體的廣義虛位移原理
9.2.3 彈性體的虛位移原理
9.3 最小勢能原理
9.4 余虛功原理
9.5 最小余能原理
9.6 哈密頓原理及其應用
9.6.1 質(zhì)點系的哈密頓原理
9.6.2 彈性體的哈密頓原理
9.7 哈密頓正則方程
9.8 赫林格一賴斯納廣義變分原理
9.9 胡海呂鷲津久一郎廣義變分原理
9.10 莫培督一拉格朗日最小作用量原理
9.11 名家介紹
習題9
第10章 含向量、張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.1 張量內(nèi)積運算的基本性質(zhì)與含張量的泛函變分基本引理
10.2 含向量、向量的模和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.3 梯度型泛函的歐拉方程
10.4 散度型泛函的歐拉方程
10.5 旋度型泛函的歐拉方程
10.6 含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.6.1 并聯(lián)式內(nèi)積張量的梯度、散度和旋度變分公式推導
10.6.2 含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程及自然邊界條件
10.6.3 含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的算例
10.6.4 含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子串的泛函的歐拉方程
10.6.5 其他含并聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.7 含串聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.7.1 串聯(lián)式內(nèi)積張量的梯度、散度和旋度變分公式推導
10.7.2 含串聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程及自然邊界條件
10.7.3 含串聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子串的泛函的歐拉方程
10.7.4 其他含串聯(lián)式內(nèi)積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.8 結(jié)j淪
10.9 名家介紹
習題10
附錄1 習題全解
第1章 預備知識習題解
第2章 固定邊界的變分問題習題解
第3章 泛函極值的充分條件習題解
第4章 可動邊界的變分問題習題解
第5章 條件極值的變分問題習題解
第6章 參數(shù)形式的變分問題習題解
第7章 變分原理習題解
第8章 變分問題的直接方法習題解
第9章 力學中的變分原理及其應用習題解
第10章 含向量、張量和哈密頓算子的泛函變分問題習題解
附錄2 索引
參考文獻