現(xiàn)在偏微分方程是建立在工作空間Sobolev空間的理論，本書系統(tǒng)地介紹了這個(gè)空間的性質(zhì),并給出一般的Poincare不等式新的證明。而積分泛函的變分問題的存在性歸結(jié)為下半連續(xù)性的研究，這直接導(dǎo)致了補(bǔ)償緊定理的發(fā)現(xiàn)。然而積分泛函在群作用下丟失緊性，從而有Lions的集中緊定理。一些經(jīng)典的變分方法也在本書中予以介紹，像PS條件與Ekeland變分原理與Nehari處理約束泛函極小點(diǎn)問題.在這些內(nèi)容中包括了極小超曲面問題，特別是Plateau問題，Sobolev嵌入的最佳常數(shù)問題，等周不等式。《變分法與偏微分方程》是偏微分方程的基礎(chǔ)，他對分析學(xué)方面：包括物理力學(xué)電子學(xué)、幾何學(xué)方面的學(xué)生都是基本內(nèi)容,本教材是自包含的，介紹了現(xiàn)代偏微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容：Sobolev空間極其性質(zhì),容量與有界平均震蕩空間；積分泛函的極值問題中的經(jīng)典方法:包括Euler-Lagrange方程，Jacobi場，Noether定理和條件極值問題。直接方法：下半連續(xù)性的充分必要條件，補(bǔ)償緊性，集中緊性，Ekeland變分原理，和Nehari技巧。最后應(yīng)用到極小曲面和等周不等式。
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17世紀(jì)的歐洲，涌現(xiàn)出許多精妙的科學(xué)問題，奠定了變分法的重要性，例如，F(xiàn)ermat （1662）的幾何光學(xué)問題：光在任意介質(zhì)中從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)時(shí)，沿所需時(shí)間最短的路徑傳播，又稱最小時(shí)間原理或極短光程原理．Galileo （1638）提出的最速下降線（brachistochrone curve）問題，由Bernoulli兄弟（1696），Leibniz和Newton所解決．對變分法的發(fā)展起到?jīng)Q定性作用的數(shù)學(xué)家是Euler和Lagrange.眾多的數(shù)學(xué)家對變分法的發(fā)展起到了推動(dòng)的作用，他們是Bliss，Bolza，Caratheodory，Clebsch，Hahn，Hamilton，Hilbert，Kneser，Jacobi，Legendre，Mayer，Weierstrass等，對變分法的發(fā)展具有里程碑意義的工作有以下三項(xiàng)．
�。�1）極小曲面問題的研究．Lagrange （1762）給出了問題的數(shù)學(xué)描述，一批數(shù)學(xué)家Ampere，Beltrami，Bernstein，Bonnet，Catalan，Darboux，Enneper，Haar，Korn，Legendre，Lie，Meusnier，Monge，Muntz，Riemann，H.A. Schwarz，Serret，Weierstrass，Weingarten等對這個(gè)問題進(jìn)行了深入的探討．Douglas和Rado （1930）給出了第1個(gè)完全的證明，Douglas因此獲得Fields獎(jiǎng)．
�。�2）19世紀(jì)Hilbert研究Dirichlet積分——簡單的多重變分積分問題，將調(diào)和函數(shù)的研究歸結(jié)為變分問題，并創(chuàng)造了所謂的直接方法．這個(gè)威力巨大的工具，被廣泛用來研究偏微分方程在Sobolev空間內(nèi)解的存在性．
�。�3）1900年，Hilbert在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)問題供20世紀(jì)重點(diǎn)發(fā)展的研究方向，其中有3個(gè)問題（第19，20，23）與變分法有關(guān)．
本書是給數(shù)學(xué)系高年級本科生和研究生講授變分法的基本內(nèi)容，希望能在Sobolev空間的框架下，講授多重積分泛函的變分方法．內(nèi)容包括泛函的一階變分、二階變分、下半連續(xù)性、補(bǔ)償緊性、集中緊性、Ekeland變分、Nehari技巧等，并介紹了極小曲面的Douglas方法和等周不等式的證明，基本內(nèi)容所需知識(shí)做到自包含，通過本書的學(xué)習(xí)，可以進(jìn)入相關(guān)領(lǐng)域的研究，
目錄
前言
引言1
第1章 函數(shù)空間5
1.1 連續(xù)與 Holder 連續(xù)空間5
1.2 Lp 空間6
1.3 Sobolev 空間18
1.4 Capacity 33
1.5 BMO 空間 37
第2章 經(jīng)典方法45
2.1 Euler-Lagrange 方程46
2.2 泛函的二階變分48
2.3 Jacobi 場50
2.4 Hamilton-Jacobi 方程54
2.5 Noether 定理59
2.6 條件極值65
第3章 直接方法76
3.1 下半連續(xù)性76
3.2 補(bǔ)償緊 103
3.3 集中緊性原理108
3.4 Ekeland 變分原理 120
3.5 Nehari 技巧122
第4章 極小曲面 126
4.1 R3 中的曲面理論和測地線126
4.2 Douglas-Courant-Tonelli 方法 130
第5章 等周不等式137
5.1 R2 中的等周不等式137
5.2 Rn 中的等周不等式140
參考文獻(xiàn)144
索引145
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