閱讀指南
　　我們力圖確保本書(shū)能夠覆蓋大學(xué)高年級(jí)、研究生初級(jí)的相關(guān)數(shù)學(xué)課程，同時(shí)，也包含了大多數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)博士生應(yīng)該掌握的基本內(nèi)容；我們潛在的讀者是經(jīng)濟(jì)學(xué)家，由此，我們也試圖確保所應(yīng)用的經(jīng)濟(jì)學(xué)例題盡可能地具有前沿性，并強(qiáng)調(diào)其盡可能的類(lèi)比性。
　　在這種思路下，對(duì)于要如何實(shí)現(xiàn)本書(shū)這種整體性構(gòu)建，我們?cè)O(shè)想應(yīng)該這樣達(dá)成。首先，我們給出各個(gè)章節(jié)內(nèi)容的總體概述與主要理論點(diǎn)，可以確信，本書(shū)第一章至第五章的內(nèi)容，能夠構(gòu)成一個(gè)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)高年級(jí)課程的基礎(chǔ)。其次，相關(guān)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，如果再加上6.1和6.5的內(nèi)容，將能夠?yàn)檠芯可�的培養(yǎng)提供一個(gè)非常豐富、更加完善的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；本書(shū)余下的部分，對(duì)于數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的高級(jí)課程教學(xué)，特別是那些有志于成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家或相關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域理論家的學(xué)生，應(yīng)該是一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的設(shè)計(jì)。
　　各章概要
　　第一章：邏輯。主要是討論如何將一般邏輯陳述歸納為一種關(guān)于集合關(guān)系的命題系統(tǒng)，比如，我們要說(shuō)明為什么“如果有A，則B”的命題就等價(jià)于“A是B的一個(gè)子集”，或者“存在一個(gè)A中的x使得B關(guān)于它的命題為真”的陳述等價(jià)于“A與B具有非零的交集”。如果本書(shū)像我們所希望的，達(dá)到了編寫(xiě)立意的目標(biāo)，學(xué)生們就能夠?qū)τ诮?jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中的結(jié)論給出一種清晰的解析，以至于洞識(shí)潛藏在這些邏輯背后的子集合之間的關(guān)系。
　　第二章：集合論。將解釋如何對(duì)于集合進(jìn)行運(yùn)算和比較，具體地，我們將從關(guān)系的概念先開(kāi)始討論，關(guān)系就是一個(gè)集合的子集；函數(shù)、對(duì)應(yīng)與等價(jià)關(guān)系只是特殊關(guān)系的簡(jiǎn)單案例。我們還要證明理性選擇理論如何被形式化為偏好關(guān)系上的諸種條件（如完備性、傳遞性等）；關(guān)系，可以用不同的方式對(duì)集合進(jìn)行排序，比如，格就是如此；運(yùn)用格的概念，我們引入了單調(diào)比較靜態(tài)分析，還有歸功于塔爾斯基的“單調(diào)”不動(dòng)點(diǎn)定理。隨后，我們將轉(zhuǎn)向集合的大小、以及區(qū)分無(wú)限可數(shù)與不可數(shù)集合的研究；基于無(wú)限、極限的相關(guān)概念，我們要試圖去掌握相關(guān)的應(yīng)用，而這里的關(guān)鍵性假設(shè)便是著名的選擇性公理；這實(shí)質(zhì)上等價(jià)于某一類(lèi)最大（最小）元素的存在性問(wèn)題，一個(gè)著名的結(jié)論則是佐恩引理。
　　第三章：實(shí)數(shù)空間。一維的實(shí)數(shù)線（記為 ）是數(shù)學(xué)中（即使低年級(jí)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生也要理解的）最基本的空間，它是我們用來(lái)測(cè)度數(shù)量的工具。與沿襲經(jīng)典的公理化構(gòu)建實(shí)數(shù)的方法不同，我們強(qiáng)調(diào)由于有理數(shù)具備了所謂的“稠密性”，即使有理數(shù)空間之中就存在著許多“洞”，它也為測(cè)度數(shù)量提供了一個(gè)絕對(duì)優(yōu)良的體系。在有理數(shù)空間中，我們采用通常的方法來(lái)測(cè)度距離，即歐幾里德定義的，通過(guò)差 的絕對(duì)值來(lái)度量距離；然后，我們將證明：如何通過(guò)給有理數(shù)空間增加新的點(diǎn)，來(lái)表達(dá)一個(gè)絕對(duì)完美的近似的結(jié)論，即一個(gè)被稱(chēng)為“完備性”的性質(zhì)。要表達(dá)一個(gè)問(wèn)題的解概念，完備性是一個(gè)絕對(duì)關(guān)鍵的性質(zhì)；特別是，我們可以構(gòu)建一個(gè)近似解的序列，如果空間是完備的，由于序列變得越來(lái)越緊密（比如一個(gè)柯西列），該序列的極限是存在的，以致于這個(gè)近似序列的極限就是原問(wèn)題的一個(gè)解。對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)而言，實(shí)數(shù)完備性的另一個(gè)重要的性質(zhì)，便是最大化元素的存在性。
　　第四章：實(shí)向量的有限維度量空間。對(duì)于年輕的經(jīng)濟(jì)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這將是我們最先介紹的兩章學(xué)習(xí)內(nèi)容。這里隱含的集合便是在第三章構(gòu)建的維度為l的實(shí)數(shù)向量的集合（記為 ）。這里，有許多“常用的方法”測(cè)度兩點(diǎn)之間的距離，但其內(nèi)涵的共同特性，即某種“度量”或者說(shuō)一個(gè)距離函數(shù)的概念，將我們帶入了一個(gè)新的領(lǐng)域；后者，則是我們?cè)诒緯?shū)其余部分要貫穿研究的主題——如何度量距離。除了類(lèi)比于l-維歐幾里德距離的概念，基于對(duì)應(yīng)元素的差的平方和的平方根，我們給出了距離函數(shù)、或者說(shuō)度量的另一種關(guān)于距離的對(duì)應(yīng)定義：“對(duì)應(yīng)元素差的絕對(duì)值之和”，這也被稱(chēng)為 度量；并且，“對(duì)應(yīng)元素差的絕對(duì)值的最大值”被稱(chēng)為上確界范數(shù)度量。除了第三章一直強(qiáng)調(diào)的完備性，這一章還要聚焦于緊致性與連續(xù)性；對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)家們常�？紤]的最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題，無(wú)論是靜態(tài)、還是動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)模型，這些性質(zhì)都能夠確保解的存在性。實(shí)際上，許多關(guān)于解的存在性的結(jié)論，都可以在一種涉及中值定理的簡(jiǎn)潔應(yīng)用中得以更簡(jiǎn)單的理解。
　　第五章：有限維凸分析。這是我們第二個(gè)要介紹的對(duì)于年輕的經(jīng)濟(jì)學(xué)家來(lái)說(shuō)，必須掌握的兩章學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。許多經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題都被歸納為，求解某個(gè)被一系列等式給予很好定義的經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化問(wèn)題的解。最優(yōu)化問(wèn)題也由此往往被寫(xiě)成如何在一個(gè)緊凸集上（比如預(yù)算約束）最大化一個(gè)連續(xù)函數(shù)（比如效用函數(shù)）的數(shù)值問(wèn)題；我們的討論將從最基本的可分離性定理（其對(duì)于證明第二福利經(jīng)濟(jì)學(xué)定理是充分的）開(kāi)始，它給出了一種恰當(dāng)?shù)姆椒�，如何用一個(gè)處于“對(duì)偶空間”（或者共軛空間）的線性函數(shù)來(lái)將不相交的凸集彼此分離；我們還要運(yùn)用分離定理的結(jié)論，去證明最優(yōu)規(guī)劃的庫(kù)恩-塔克定理、討論角谷不動(dòng)點(diǎn)定理，當(dāng)然，這些都是研究經(jīng)濟(jì)行為中均衡存在性的主要數(shù)學(xué)工具。
　　第六章：第六章和第七章構(gòu)成了經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)博士研究生課程的核心內(nèi)容。第六章將介紹一個(gè)度量空間一般概念——簡(jiǎn)單地講，即一個(gè)隱性的集合 與一種距離的概念，這常常被稱(chēng)為一個(gè)度量。在這一章中，我們將要研究集合之間的距離，這是一個(gè)在比較靜態(tài)最優(yōu)規(guī)劃最優(yōu)值研究中的關(guān)鍵性要素；我們接著研究累積分布函數(shù)之間的距離，它構(gòu)成了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的漸進(jìn)分析以及不確定性行為選擇理論的基礎(chǔ)；還有連續(xù)函數(shù)之間的距離，運(yùn)用這種距離的概念，我們才能進(jìn)行動(dòng)態(tài)最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題的值函數(shù)分析�；�于函數(shù)空間分析的一些基礎(chǔ)性近似結(jié)論（即斯通-威爾斯特拉斯定理的代數(shù)或者格的理論表述），我們會(huì)給出一個(gè)將回歸分析作為近似理論的擴(kuò)展性的表述；還有回歸分析本身、無(wú)限序列之間的距離，這些是經(jīng)濟(jì)學(xué)家模擬重復(fù)博弈的博弈序列與策略集合的重要工具；我們還要給出隨機(jī)過(guò)程與其他動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的收益序列、以及動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的回報(bào)等表達(dá)。緊接著，我們轉(zhuǎn)向兩類(lèi)連續(xù)函數(shù)的擴(kuò)展定理，這些結(jié)論給出了在什么條件下連續(xù)函數(shù)的一些有價(jià)值的性質(zhì)將是成立的，由此，也就邏輯地告訴我們連續(xù)函數(shù)具有十分強(qiáng)大的近似分析的功能。最后，考慮到完備性對(duì)于解的存在性的重要意義，我們給出了有理數(shù)完備化、度量完全化定理的一般性描述，這將有助于讀者理解如何對(duì)于任意給定的度量空間增加一個(gè)最小元素的集合，以使其變成完備的空間。