現(xiàn)代微分幾何把分析工具拓廣到更一般的空間,即流形上,并進(jìn)而研究流形上的幾何學(xué)。全書共分5章。第1章介紹Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和Riemann截曲率;第2章介紹Laplace算子Δ的特征值、Hodge分解定理、譜理論和等譜問題;第3章介紹Riemann幾何中的比較定理;第4章介紹特征值的估計(jì)和等譜問題的研究;第5章介紹曲率與拓?fù)洳蛔兞俊?/pre>
徐森林,1941年出生,著名數(shù)學(xué)家,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系教授,博士生導(dǎo)師。1965年畢業(yè)于中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何拓?fù)鋵W(xué)專業(yè),師從著名數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院資深院士吳文俊先生,畢業(yè)后留校工作。主要從事幾何、拓?fù)浜陀?jì)算復(fù)雜性理論方面的研究,曾先后在美國普林斯頓大學(xué)(1982-1984)、意大利國際物理中心(1988)、美國普渡大學(xué)、美國芝加哥大學(xué)(1995)等知名學(xué)府進(jìn)行訪問、合作研究,自1989年以來一直擔(dān)任美國《數(shù)學(xué)評論》(Math. Rev.)特邀評論員。因在幾何與拓?fù)浞矫婵蒲谐晒怀,多次獲得第三世界科學(xué)院(TWAS)科學(xué)基金、國家自然科學(xué)基金和科學(xué)院專題基金。教學(xué)工作成果非常突出,培養(yǎng)了一大批知名數(shù)學(xué)家,獲得過包括寶鋼教學(xué)獎在內(nèi)的多項(xiàng)獎項(xiàng)。編著過多部教材,深受數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生喜愛,其中與他人合寫的《數(shù)學(xué)分析》于1986年獲國家教委優(yōu)秀教材二等獎。1990-1995年和1995-2000年分別擔(dān)任首屆和第二屆教育部數(shù)學(xué)與力學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會委員。在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)上的成就受到了國內(nèi)外數(shù)學(xué)界的重視,1995年被收入美國《世界名人錄》。
序言
前言
第1章 Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和Riemann截曲率
1.1 向量叢上的線性聯(lián)絡(luò)
1.2 切叢上的線性聯(lián)絡(luò)、向量場的平移和測地線
1.3 Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和Riemann流形基本定理
1.4 Riemann截曲率、Ricci曲率、數(shù)量曲率和常截曲率流形
1.5 C∞浸入子流形的Riemann聯(lián)絡(luò)
1.6 活動標(biāo)架
1.7 C∞函數(shù)空間C∞(M,R)=C∞(∧0M)=F0(M)上的Laplace算子△
1.8 全測地、極小和全臍子流形
1.9 Euclid空間和Euclid球面中的極小子流形
1.10 指數(shù)映射、Jacobi場、共軛點(diǎn)和割跡
1.11 長度和體積的第1、第2變分公式
第2章 Laplace算子△的特征值、Hodge分解定理、譜理論和等譜問題
2.1 星算子*、上微分算子δ、微分形式Fs(M)=C∞(∧sM)上的Laplace算子△
2.2 Hodge分解定理
2.3 不可定向緊致C∞Riemann流形的Hodge分解定理
2.4 Laplace算子△的特征值
2.5 主特征值的估計(jì)
2.6 等譜問題
第3章 Riemann幾何中的比較定理
3.1 Rauch比較定理、Hessian比較定理、Laplace算子比較定理、體積比較定理
3.2 拓?fù)淝蛎娑ɡ?br />
第4章 特征值的估計(jì)和等譜問題的研究
4.1 緊致Riemann流形上第1特征值的估計(jì)
4.2 關(guān)于Laplace算子的大特征值
4.3 緊致流形的Laplace算子的譜
4.4 球面上緊致子流形的等譜問題
4.5 Clifford超曲面Mn1,n2的譜
4.6 緊致極小超曲面上Laplace算子的譜
4.7 緊致超曲面上Laplace算子的譜
第5章 曲率與拓?fù)洳蛔兞?br />
5.1 具有非負(fù)Ricci曲率和大體積增長的開流形
5.2 完備非緊流形上射線的excess函數(shù)
5.3 具有非負(fù)Ricci曲率的開流形的拓?fù)?br />
5.4 具有非負(fù)曲率完備流形的體積增長及其拓?fù)?br />
5.5 小excess與開流形的拓?fù)?br />
5.6 曲率下界與有限拓?fù)湫?br />
5.7 excess函數(shù)的一個應(yīng)用
5.8 小excess和Ricci曲率具有負(fù)下界的開流形的拓?fù)?br />
5.9 具有非負(fù)Ricci曲率的開流形的基本群(Ⅰ)
5.10 具有非負(fù)Ricci曲率的開流形的基本群(Ⅱ)
5.11 漸近非負(fù)Ricci曲率和弱有界幾何的完備流形
5.12 曲率與Betti數(shù)
5.13 球面同倫群的伸縮不變量
5.14 積分Ricci曲率有下界對基本群和第1 Betti數(shù)的限制
5.15 具有有限調(diào)和指標(biāo)的極小超曲面
參考文獻(xiàn)