目錄
第1章 函數與極限 1
1.1 集合 映射 函數 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 映射 2
1.1.3 函數 3
習題1.1 9
1.2 隱函數 參數方程 極坐標 10
1.2.1 隱函數 10
1.2.2 參數方程 11
1.2.3 極坐標 13
習題1.2 15
1.3 數列的極限 16
1.3.1 數列的概念 16
1.3.2 數列極限的描述定義 17
1.3.3 收斂數列的性質 18
*1.3.4 數列極限的精確定義 19
習題1.3 20
1.4 函數的極限 21
1.4.1 函數極限的描述定義 21
1.4.2 函數極限的性質 23
*1.4.3 函數極限的精確定義 24
習題1.4 26
1.5 無窮小與無窮大 27
1.5.1 無窮小 27
1.5.2 無窮大 28
*1.5.3 無窮小無窮大的精確定義 29
習題1.5 31
1.6 極限運算法則 31
1.6.1 極限的四則運算法則 31
1.6.2 復合函數的極限運算法則 33
*1.6.3 定理的證明 35
習題1.6 37
1.7 極限存在準則與兩個重要極限 37
1.7.1 夾逼準則及應用 37
1.7.2 單調有界準則及應用 40
*1.7.3 相關結論的證明 43
習題1.7 45
1.8 無窮小的比較 45
1.8.1 無窮小的比較的定義 45
1.8.2 等價無窮小 46
習題1.8 49
1.9 函數的連續(xù)性與間斷點 49
1.9.1 函數的連續(xù)性 49
1.9.2 函數的間斷點 51
習題1.9 53
1.10 連續(xù)函數的運算及初等函數的連續(xù)性 54
1.10.1 連續(xù)函數的四則運算 54
1.10.2 反函數與復合函數的連續(xù)性 54
1.10.3 初等函數及其連續(xù)性 55
習題1.10 57
1.11 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 57
1.11.1 值小值定理 57
1.11.2 零點定理與介值定理 58
習題1.11 59
數學家簡介1 59
總習題1 60
第2章 導數與微分 62
2.1 導數 62
2.1.1 引例 62
2.1.2 導數的概念 63
2.1.3 導數的幾何意義 66
2.1.4 可導與連續(xù)的關系 67
習題2.1 68
2.2 函數的求導法則 69
2.2.1 導數的四則運算法則 69
2.2.2 反函數的求導法則 71
2.2.3 復合函數的求導法則 73
習題2.2 75
2.3 高階導數 76
2.3.1 高階導數的定義 76
2.3.2 高階導數的求導法則 78
習題2.3 79
2.4 隱函數及由參數方程確定的函數的導數 相關變化率 80
2.4.1 隱函數的導數 80
2.4.2 由參數方程確定的函數的導數 83
2.4.3 相關變化率 85
習題2.4 86
2.5 函數的微分 88
2.5.1 微分概念 88
2.5.2 微分的幾何意義 89
2.5.3 基本初等函數的微分公式與微分運算法則 90
2.5.4 微分在近似計算中的應用 92
習題2.5 93
數學家簡介2 93
總習題2 94
第3章 微分中值定理與導數的應用 97
3.1 微分中值定理 97
3.1.1 費馬引理 97
3.1.2 羅爾中值定理 97
3.1.3 拉格朗日中值定理 98
3.1.4 柯西中值定理 100
習題3.1 101
3.2 洛必達法則 102
3.2.1 型不定式的極限 103
3.2.2 型不定式的極限 105
3.2.3 其他類型不定式的極限 105
習題3.2 107
3.3 泰勒公式 108
3.3.1 泰勒公式的幾種形式 108
3.3.2 泰勒公式的證明和應用 112
習題3.3 114
3.4 函數的單調性 極值和值 114
3.4.1 函數的單調性 114
3.4.2 函數的極值 116
3.4.3 函數的值 119
習題3.4 121
3.5 曲線的凹凸性與拐點 122
3.5.1 曲線的凹凸性 122
3.5.2 曲線的拐點 124
習題3.5 126
3.6 函數圖形的描繪 126
3.6.1 曲線的漸近線 126
3.6.2 函數圖形的描繪舉例 128
習題3.6 130
3.7 曲率 131
3.7.1 弧微分 131
3.7.2 曲率及其計算公式 132
3.7.3 曲率圓和曲率半徑 134
習題3.7 135
*3.8 導數在經濟學中的應用 135
3.8.1 邊際函數 135
3.8.2 彈性函數 137
*習題3.8 139
數學家簡介3 140
總習題3 140
第4章 不定積分 144
4.1 不定積分的概念與性質 144
4.1.1 原函數與不定積分 144
4.1.2 基本積分表 147
4.1.3 不定積分的性質 148
習題4.1 150
4.2 不定積分的換元積分法 152
4.2.1 不定積分的類換元積分法 152
4.2.2 不定積分的第二類換元積分法 158
習題4.2 163
4.3 不定積分的分部積分法 164
習題4.3 168
4.4 有理函數與可化為有理函數的積分舉例 169
4.4.1 有理真分式與部分分式 169
4.4.2 有理函數的積分舉例 170
4.4.3 可化為有理函數的積分舉例 172
習題4.4 175
數學家簡介4 176
總習題4 177
第5章 定積分 179
5.1 定積分的概念和基本性質 179
5.1.1 定積分問題舉例 179
5.1.2 定積分的定義與幾何意義 182
5.1.3 定積分的基本性質 184
習題5.1 188
5.2 微積分學基本公式 189
5.2.1 變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系 189
5.2.2 變上限函數的導數與原函數存在定理 190
5.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 191
習題5.2 194
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 196
5.3.1 定積分的換元積分法 196
5.3.2 定積分的分部積分法 200
習題5.3 202
5.4 廣義積分 203
5.4.1 無限區(qū)間上的廣義積分 203
5.4.2 無界函數的廣義積分 206
*5.4.3 Γ函數簡介 208
習題5.4 210
數學家簡介5 211
總習題5 212
第6章 定積分的應用 214
6.1 定積分的微分元素法 214
6.2 定積分在幾何學上的應用 215
6.2.1 平面圖形的面積 215
6.2.2 立體圖形的體積 218
6.2.3 平面曲線的弧長 221
*6.2.4 旋轉曲面的面積 223
習題6.2 224
6.3 定積分在物理學上的應用 225
6.3.1 變力沿直線所做的功 225
6.3.2 液壓力(側壓力) 226
6.3.3 萬有引力 228
習題6.3 229
*6.4 定積分在經濟學上的應用 229
6.4.1 經濟總量與邊際函數 229
6.4.2 收益流的現值與將來值 231
*習題6.4 233
數學家簡介6 234
總習題6 234
習題答案與提示 236
附錄1 三角函數公式 255
附錄2 二階和三階行列式簡介 257
附錄3 幾種常用的曲線 261
附錄4 積分表 264