《復(fù)變函數(shù)與積分變換（微課版）》介紹復(fù)變函數(shù)論與積分變換的基本概念、理論和方法。全書共8章，主要內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)及其應(yīng)用、保角映射、傅里葉變換和拉普拉斯變換，同時還加入MATLAB在復(fù)變函數(shù)與積分變換中的應(yīng)用。每章均配有本章小結(jié)和豐富的例題、習(xí)題。附錄中有傅里葉變換和拉普拉斯變換簡表，可供學(xué)習(xí)時查用。書中有*號部分供讀者選用。 《復(fù)變函數(shù)與積分變換（微課版）》可作為高等院校工科類各專業(yè)本科生的復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教材，也可供相關(guān)專業(yè)的工程技術(shù)人員參考。
復(fù)變函數(shù)與積分變換作為高等院校工科各相關(guān)專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課程，主要教學(xué)任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力、科學(xué)計算能力和解決工程實際問題的能力，并為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．
在互聯(lián)網(wǎng) 的發(fā)展背景下，以慕課為代表的在線開放課程、以SPOC課為代表的線上線下混合課程等新興的教學(xué)模式使得學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和途徑發(fā)生了巨大的變化，傳統(tǒng)的紙質(zhì)版教材已經(jīng)不能很好地適應(yīng)當(dāng)前的教育理念，因此，編寫新形態(tài)一體化教材成為教材改革的新趨勢．
2019年，本課程被評為山西省高校數(shù)學(xué)類專業(yè)精品在線(共享)課程．2021年，本課程被評為山西省精品共享課程的建設(shè)課程．本書由中北大學(xué)長期從事一線教學(xué)的教師團(tuán)隊編寫，注重將實踐教學(xué)經(jīng)驗融入復(fù)變函數(shù)理論體系中，注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，除了精心編寫復(fù)變函數(shù)與積分變換的重要概念、原理和性質(zhì)之外，本書在每章均配有相應(yīng)的教學(xué)短視頻，包括疑難知識點的講解、經(jīng)典例題的講解．
本書共分為8章，主要內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)及其應(yīng)用、保角映射、傅里葉變換和拉普拉斯變換，同時還加入MATLAB和Python在復(fù)變函數(shù)與積分變換中的應(yīng)用．其中，第1、5章由史娜負(fù)責(zé)編寫；第2、7章由宋妮負(fù)責(zé)編寫；第3、6章由畢湧負(fù)責(zé)編寫；第4、8章由田寶玉負(fù)責(zé)編寫．
本書的出版得到了中北大學(xué)教材建設(shè)經(jīng)費資助，在編寫過程中得到中北大學(xué)教務(wù)處、理學(xué)院數(shù)學(xué)系領(lǐng)導(dǎo)和教師的大力支持，白艷萍教授、楊明副教授和雷英杰副教授對書稿進(jìn)行了審閱和修改，本書的編寫還得到余本國副教授的熱情幫助，在此對他們表示衷心的感謝.
由于編者水平所限，書中難免存在不足，歡迎廣大專家、同行與讀者批評指正．
編 者
第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1
1.1 復(fù)數(shù)及其運算 1
1.1.1 復(fù)數(shù)的概念 1
1.1.2 復(fù)數(shù)的表示法 1
1.1.3 復(fù)數(shù)的四則運算 3
1.1.4 共軛復(fù)數(shù) 5
1.1.5 復(fù)數(shù)的乘冪與方根 6
1.1.6 無窮遠(yuǎn)點與復(fù)球面 7
1.2 復(fù)平面上的點集 8
1.2.1 基本概念 8
1.2.2 復(fù)平面上的曲線 10
1.2.3 單連通域和多連通域 10
1.3 復(fù)變函數(shù) 11
1.3.1 復(fù)變函數(shù)的概念 11
1.3.2 復(fù)變函數(shù)的極限 12
1.3.3 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 14
1.4 用MATLAB運算 14
本章小結(jié) 16
練習(xí)題 16
第2章 解析函數(shù) 18
2.1 解析函數(shù)的概念 18
2.1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 18
2.1.2 求導(dǎo)法則 19
2.1.3 解析函數(shù)的定義 20
2.2 函數(shù)解析的充要條件 21
2.3 初等復(fù)變函數(shù) 25
2.3.1 指數(shù)函數(shù) 25
2.3.2 對數(shù)函數(shù) 26
2.3.3 冪函數(shù) 27
2.3.4 三角函數(shù)與雙曲函數(shù) 28
2.3.5 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù) 30
2.4 用MATLAB運算 31
本章小結(jié) 31
練習(xí)題 32
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分 33
3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì) 33
3.1.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念 33
3.1.2 復(fù)變函數(shù)積分的存在性及其計算 34
3.1.3 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì) 37
3.2 柯西積分定理及其推廣 38
3.2.1 柯西積分定理 38
3.2.2 解析函數(shù)的原函數(shù) 39
3.2.3 復(fù)合閉路定理 40
3.3 柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 42
3.3.1 柯西積分公式 42
3.3.2 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 43
3.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 47
3.4.1 調(diào)和函數(shù) 47
3.4.2 共軛調(diào)和函數(shù) 48
3.5 用MATLAB運算 50
本章小結(jié) 52
練習(xí)題 52
第4章 級數(shù) 55
4.1 復(fù)數(shù)項級數(shù) 55
4.1.1 復(fù)數(shù)序列的極限 55
4.1.2 復(fù)數(shù)項級數(shù)的概念 56
4.1.3 復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂法 56
4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 58
4.2.1 函數(shù)項級數(shù) 58
4.2.2 冪級數(shù)及其收斂性 59
4.2.3 冪級數(shù)的收斂圓與收斂半徑 60
4.2.4 冪級數(shù)的運算與性質(zhì) 63
4.3 泰勒級數(shù) 64
4.3.1 泰勒展開定理 64
4.3.2 幾個初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 66
4.4 洛朗級數(shù) 70
4.4.1 洛朗級數(shù)的概念 70
4.4.2 洛朗展開定理 72
本章小結(jié) 77
練習(xí)題 78
第5章 留數(shù)及其應(yīng)用 80
5.1 孤立奇點 80
5.1.1 孤立奇點的分類 80
5.1.2 孤立奇點的性質(zhì) 81
5.1.3 函數(shù)零點與極點的關(guān)系 83
*5.1.4 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài) 85
5.2 留數(shù) 87
5.2.1 留數(shù)的概念和計算 87
5.2.2 留數(shù)定理 90
*5.2.3 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點處的留數(shù) 93
5.3 留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用 96
5.3.1 形如的積分 96
5.3.2 形如的積分 98
5.3.3 形如的積分 100
* 5.4 對數(shù)留數(shù)與輻角原理 103
5.4.1 對數(shù)留數(shù) 103
5.4.2 輻角原理 105
5.5 用MATLAB運算 109
本章小結(jié) 111
練習(xí)題 111
第6章 保角映射 113
6.1 保角映射 113
6.1.1 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 113
6.1.2 保角映射的概念 116
6.2 分式線性映射 118
6.2.1 分式線性映射的概念 118
6.2.2 分式線性映射的分解 119
6.2.3 分式線性映射的性質(zhì) 120
6.3 決定分式線性映射的條件 123
6.3.1 三對對應(yīng)點地決定分式線性映射 123
6.3.2 三類重要的分式線性映射 126
6.3.3 雜例 132
6.4 幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射 135
6.4.1 冪函數(shù)與根式函數(shù) 135
6.4.2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 139
本章小結(jié) 142
練習(xí)題 142
第7章 傅里葉變換 145
7.1 傅里葉變換的概念 145
7.1.1 傅里葉級數(shù) 145
7.1.2 傅里葉積分定理 147
7.1.3 傅里葉變換的定義 148
7.2 單位脈沖函數(shù) 149
7.2.1 單位脈沖函數(shù)的概念 150
7.2.2 單位脈沖函數(shù)的性質(zhì) 151
7.3 傅里葉變換的性質(zhì) 153
7.3.1 線性性質(zhì) 153
7.3.2 對稱性質(zhì) 154
7.3.3 相似性質(zhì) 154
7.3.4 平移性質(zhì) 155
7.3.5 微分性質(zhì) 155
7.3.6 積分性質(zhì) 156
7.3.7 乘積定理 157
7.3.8 能量積分 157
7.4 傅里葉變換的卷積 158
7.4.1 卷積的定義 158
7.4.2 卷積定理 159
7.5 用MATLAB運算 160
本章小結(jié) 161
練習(xí)題 161
第8章 拉普拉斯變換 163
8.1 拉普拉斯變換的概念 163
8.1.1 拉普拉斯變換的定義 163
8.1.2 拉普拉斯變換的存在定理 165
8.2 拉普拉斯變換的性質(zhì) 166
8.2.1 線性性質(zhì) 166
8.2.2 相似性質(zhì) 167
8.2.3 微分性質(zhì) 167
8.2.4 積分性質(zhì) 169
8.2.5 平移性質(zhì) 170
8.2.6 拉普拉斯變換的卷積 170
8.2.7 拉普拉斯變換的卷積定理 171
8.3 拉普拉斯逆變換 172
8.3.1 反演積分公式 172
8.3.2 留數(shù)法 172
8.3.3 部分分式法 173
8.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用 174
8.4.1 微分方程的拉普拉斯變換解法 174
8.4.2 積分方程的拉普拉斯變換解法 175
8.5 用MATLAB運算 176
本章小結(jié) 177
練習(xí)題 177
附錄Ⅰ Fourier變換簡表 179
附錄Ⅱ Laplace變換簡表 182
附錄Ⅲ ??函數(shù)的基本知識 186
參考文獻(xiàn) 190
書單推薦
