《復(fù)變函數(shù)與積分變換（微課版）》介紹復(fù)變函數(shù)論與積分變換的基本概念、理論和方法。全書(shū)共8章，主要內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)及其應(yīng)用、保角映射、傅里葉變換和拉普拉斯變換，同時(shí)還加入MATLAB在復(fù)變函數(shù)與積分變換中的應(yīng)用。每章均配有本章小結(jié)和豐富的例題、習(xí)題。附錄中有傅里葉變換和拉普拉斯變換簡(jiǎn)表，可供學(xué)習(xí)時(shí)查用。書(shū)中有*號(hào)部分供讀者選用。 《復(fù)變函數(shù)與積分變換（微課版）》可作為高等院校工科類(lèi)各專業(yè)本科生的復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教材，也可供相關(guān)專業(yè)的工程技術(shù)人員參考。
復(fù)變函數(shù)與積分變換作為高等院校工科各相關(guān)專業(yè)的一門(mén)必修基礎(chǔ)課程，主要教學(xué)任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力、科學(xué)計(jì)算能力和解決工程實(shí)際問(wèn)題的能力，并為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．
在互聯(lián)網(wǎng) 的發(fā)展背景下，以慕課為代表的在線開(kāi)放課程、以SPOC課為代表的線上線下混合課程等新興的教學(xué)模式使得學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和途徑發(fā)生了巨大的變化，傳統(tǒng)的紙質(zhì)版教材已經(jīng)不能很好地適應(yīng)當(dāng)前的教育理念，因此，編寫(xiě)新形態(tài)一體化教材成為教材改革的新趨勢(shì)．
2019年，本課程被評(píng)為山西省高校數(shù)學(xué)類(lèi)專業(yè)精品在線(共享)課程．2021年，本課程被評(píng)為山西省精品共享課程的建設(shè)課程．本書(shū)由中北大學(xué)長(zhǎng)期從事一線教學(xué)的教師團(tuán)隊(duì)編寫(xiě)，注重將實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)融入復(fù)變函數(shù)理論體系中，注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，除了精心編寫(xiě)復(fù)變函數(shù)與積分變換的重要概念、原理和性質(zhì)之外，本書(shū)在每章均配有相應(yīng)的教學(xué)短視頻，包括疑難知識(shí)點(diǎn)的講解、經(jīng)典例題的講解．
本書(shū)共分為8章，主要內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)及其應(yīng)用、保角映射、傅里葉變換和拉普拉斯變換，同時(shí)還加入MATLAB和Python在復(fù)變函數(shù)與積分變換中的應(yīng)用．其中，第1、5章由史娜負(fù)責(zé)編寫(xiě)；第2、7章由宋妮負(fù)責(zé)編寫(xiě)；第3、6章由畢湧負(fù)責(zé)編寫(xiě)；第4、8章由田寶玉負(fù)責(zé)編寫(xiě)．
本書(shū)的出版得到了中北大學(xué)教材建設(shè)經(jīng)費(fèi)資助，在編寫(xiě)過(guò)程中得到中北大學(xué)教務(wù)處、理學(xué)院數(shù)學(xué)系領(lǐng)導(dǎo)和教師的大力支持，白艷萍教授、楊明副教授和雷英杰副教授對(duì)書(shū)稿進(jìn)行了審閱和修改，本書(shū)的編寫(xiě)還得到余本國(guó)副教授的熱情幫助，在此對(duì)他們表示衷心的感謝.
由于編者水平所限，書(shū)中難免存在不足，歡迎廣大專家、同行與讀者批評(píng)指正．
編 者
史娜，中北大學(xué)副教授，博士，主要研究信號(hào)處理中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。2018年獲得全國(guó)數(shù)學(xué)微課競(jìng)賽華北賽區(qū)二等獎(jiǎng)；2013年獲中北大學(xué)理學(xué)院優(yōu)秀青年主講教師稱號(hào)；指導(dǎo)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，獲全國(guó)一等獎(jiǎng)1項(xiàng)，全國(guó)二等獎(jiǎng)3項(xiàng)，山西省二等獎(jiǎng)5項(xiàng)。主持山西省青年自然科學(xué)基金1項(xiàng)，參與國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目2項(xiàng)，參與山西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目3項(xiàng)。以作者發(fā)表科研論文10余篇，其中SCI\EI收錄5篇。
第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1
1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 1
1.1.1 復(fù)數(shù)的概念 1
1.1.2 復(fù)數(shù)的表示法 1
1.1.3 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 3
1.1.4 共軛復(fù)數(shù) 5
1.1.5 復(fù)數(shù)的乘冪與方根 6
1.1.6 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與復(fù)球面 7
1.2 復(fù)平面上的點(diǎn)集 8
1.2.1 基本概念 8
1.2.2 復(fù)平面上的曲線 10
1.2.3 單連通域和多連通域 10
1.3 復(fù)變函數(shù) 11
1.3.1 復(fù)變函數(shù)的概念 11
1.3.2 復(fù)變函數(shù)的極限 12
1.3.3 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 14
1.4 用MATLAB運(yùn)算 14
本章小結(jié) 16
練習(xí)題 16
第2章 解析函數(shù) 18
2.1 解析函數(shù)的概念 18
2.1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 18
2.1.2 求導(dǎo)法則 19
2.1.3 解析函數(shù)的定義 20
2.2 函數(shù)解析的充要條件 21
2.3 初等復(fù)變函數(shù) 25
2.3.1 指數(shù)函數(shù) 25
2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 26
2.3.3 冪函數(shù) 27
2.3.4 三角函數(shù)與雙曲函數(shù) 28
2.3.5 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù) 30
2.4 用MATLAB運(yùn)算 31
本章小結(jié) 31
練習(xí)題 32
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分 33
3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì) 33
3.1.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念 33
3.1.2 復(fù)變函數(shù)積分的存在性及其計(jì)算 34
3.1.3 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì) 37
3.2 柯西積分定理及其推廣 38
3.2.1 柯西積分定理 38
3.2.2 解析函數(shù)的原函數(shù) 39
3.2.3 復(fù)合閉路定理 40
3.3 柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 42
3.3.1 柯西積分公式 42
3.3.2 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 43
3.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 47
3.4.1 調(diào)和函數(shù) 47
3.4.2 共軛調(diào)和函數(shù) 48
3.5 用MATLAB運(yùn)算 50
本章小結(jié) 52
練習(xí)題 52
第4章 級(jí)數(shù) 55
4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 55
4.1.1 復(fù)數(shù)序列的極限 55
4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 56
4.1.3 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 56
4.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 58
4.2.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 58
4.2.2 冪級(jí)數(shù)及其收斂性 59
4.2.3 冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑 60
4.2.4 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì) 63
4.3 泰勒級(jí)數(shù) 64
4.3.1 泰勒展開(kāi)定理 64
4.3.2 幾個(gè)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 66
4.4 洛朗級(jí)數(shù) 70
4.4.1 洛朗級(jí)數(shù)的概念 70
4.4.2 洛朗展開(kāi)定理 72
本章小結(jié) 77
練習(xí)題 78
第5章 留數(shù)及其應(yīng)用 80
5.1 孤立奇點(diǎn) 80
5.1.1 孤立奇點(diǎn)的分類(lèi) 80
5.1.2 孤立奇點(diǎn)的性質(zhì) 81
5.1.3 函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 83
*5.1.4 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 85
5.2 留數(shù) 87
5.2.1 留數(shù)的概念和計(jì)算 87
5.2.2 留數(shù)定理 90
*5.2.3 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù) 93
5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 96
5.3.1 形如的積分 96
5.3.2 形如的積分 98
5.3.3 形如的積分 100
* 5.4 對(duì)數(shù)留數(shù)與輻角原理 103
5.4.1 對(duì)數(shù)留數(shù) 103
5.4.2 輻角原理 105
5.5 用MATLAB運(yùn)算 109
本章小結(jié) 111
練習(xí)題 111
第6章 保角映射 113
6.1 保角映射 113
6.1.1 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 113
6.1.2 保角映射的概念 116
6.2 分式線性映射 118
6.2.1 分式線性映射的概念 118
6.2.2 分式線性映射的分解 119
6.2.3 分式線性映射的性質(zhì) 120
6.3 決定分式線性映射的條件 123
6.3.1 三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)地決定分式線性映射 123
6.3.2 三類(lèi)重要的分式線性映射 126
6.3.3 雜例 132
6.4 幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射 135
6.4.1 冪函數(shù)與根式函數(shù) 135
6.4.2 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 139
本章小結(jié) 142
練習(xí)題 142
第7章 傅里葉變換 145
7.1 傅里葉變換的概念 145
7.1.1 傅里葉級(jí)數(shù) 145
7.1.2 傅里葉積分定理 147
7.1.3 傅里葉變換的定義 148
7.2 單位脈沖函數(shù) 149
7.2.1 單位脈沖函數(shù)的概念 150
7.2.2 單位脈沖函數(shù)的性質(zhì) 151
7.3 傅里葉變換的性質(zhì) 153
7.3.1 線性性質(zhì) 153
7.3.2 對(duì)稱性質(zhì) 154
7.3.3 相似性質(zhì) 154
7.3.4 平移性質(zhì) 155
7.3.5 微分性質(zhì) 155
7.3.6 積分性質(zhì) 156
7.3.7 乘積定理 157
7.3.8 能量積分 157
7.4 傅里葉變換的卷積 158
7.4.1 卷積的定義 158
7.4.2 卷積定理 159
7.5 用MATLAB運(yùn)算 160
本章小結(jié) 161
練習(xí)題 161
第8章 拉普拉斯變換 163
8.1 拉普拉斯變換的概念 163
8.1.1 拉普拉斯變換的定義 163
8.1.2 拉普拉斯變換的存在定理 165
8.2 拉普拉斯變換的性質(zhì) 166
8.2.1 線性性質(zhì) 166
8.2.2 相似性質(zhì) 167
8.2.3 微分性質(zhì) 167
8.2.4 積分性質(zhì) 169
8.2.5 平移性質(zhì) 170
8.2.6 拉普拉斯變換的卷積 170
8.2.7 拉普拉斯變換的卷積定理 171
8.3 拉普拉斯逆變換 172
8.3.1 反演積分公式 172
8.3.2 留數(shù)法 172
8.3.3 部分分式法 173
8.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用 174
8.4.1 微分方程的拉普拉斯變換解法 174
8.4.2 積分方程的拉普拉斯變換解法 175
8.5 用MATLAB運(yùn)算 176
本章小結(jié) 177
練習(xí)題 177
附錄Ⅰ Fourier變換簡(jiǎn)表 179
附錄Ⅱ Laplace變換簡(jiǎn)表 182
附錄Ⅲ ??函數(shù)的基本知識(shí) 186
參考文獻(xiàn) 190
書(shū)單推薦
