前言

第1章復(fù)數(shù)與復(fù)平面1

1.1復(fù)數(shù)1

1.1.1復(fù)數(shù)的概念1

1.1.2復(fù)數(shù)的模與輻角2

1.1.3復(fù)數(shù)的三角表示與指數(shù)表示4

1.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義5

1.2.1復(fù)數(shù)的加法和減法5

1.2.2復(fù)數(shù)的乘法和除法6

1.2.3復(fù)數(shù)的乘方和開(kāi)方8

1.2.4共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)10

1.3平面點(diǎn)集12

1.3.1點(diǎn)集的概念12

1.3.2區(qū)域13

1.3.3平面曲線14

1.3.4單連通區(qū)域與多連通區(qū)域14

1.4無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與復(fù)球面15

1.4.1無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)15

1.4.2復(fù)球面15

本章小結(jié)16

綜合練習(xí)題118

自測(cè)題119

第2章解析函數(shù)20

2.1復(fù)變函數(shù)及其相關(guān)概念20

2.1.1復(fù)變函數(shù)的概念20

2.1.2復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)21

2.2解析函數(shù)及其相關(guān)概念25

2.2.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)25

2.2.2解析函數(shù)的概念27

2.2.3求導(dǎo)運(yùn)算的法則27

2.3柯西�怖杪鼦l件29

2.3.1函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件29

2.3.2函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要

條件31

2.4初等函數(shù)33

2.4.1指數(shù)函數(shù)33

2.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)35

2.4.3冪函數(shù)37

2.4.4三角函數(shù)與反三角函數(shù)38

2.4.5雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)40

本章小結(jié)41

綜合練習(xí)題245

自測(cè)題247

第3章復(fù)積分48

3.1復(fù)變函數(shù)的積分48

3.1.1復(fù)變函數(shù)積分的概念48

3.1.2復(fù)積分的存在性及其計(jì)算49

3.1.3復(fù)積分的基本性質(zhì)52

3.2柯西�补潘_定理及其推廣53

3.2.1柯西�补潘_定理53

3.2.2柯西�补潘_定理的推廣54

3.2.3原函數(shù)與不定積分56

3.3柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式58

3.3.1柯西積分公式及最大模原理58

3.3.2解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)61

3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系64

3.4.1調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的

概念64

3.4.2解析函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的

關(guān)系65

本章小結(jié)69

綜合練習(xí)題372

自測(cè)題374

第4章級(jí)數(shù)76

4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)76

4.1.1復(fù)數(shù)序列的極限76

4.1.2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)77

4.2冪級(jí)數(shù)80

4.2.1復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)80

4.2.2冪級(jí)數(shù)81

4.2.3冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑82

4.2.4冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)85

4.3泰勒級(jí)數(shù)87

4.3.1解析函數(shù)的泰勒展開(kāi)式87

4.3.2幾個(gè)典型初等函數(shù)的泰勒展

開(kāi)式89

4.4洛朗級(jí)數(shù)91

4.4.1函數(shù)在圓環(huán)形解析域內(nèi)的洛

朗展開(kāi)式91

4.4.2函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的間接

展開(kāi)法96

本章小結(jié)100

綜合練習(xí)題4103

自測(cè)題4104

第5章留數(shù)及其應(yīng)用106

5.1孤立奇點(diǎn)和零點(diǎn)106

5.1.1孤立奇點(diǎn)的定義及性質(zhì)106

5.1.2零點(diǎn)110

5.1.3無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)113

5.2留數(shù)115

5.2.1留數(shù)及其相關(guān)概念115

5.2.2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)118

5.3留數(shù)定理120

5.4留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用123

5.4.1形如∫2π0R(cosθ，sinθ)dθ的

積分123

5.4.2形如∫+∞-∞R(x)dx的積分125

5.4.3形如∫+∞-∞R(x)eiaxdx(a＞0)

的積分128

本章小結(jié)130

綜合練習(xí)題5133

自測(cè)題5135

復(fù)

變

函

數(shù)

與

積

分

變

換目





錄第6章保形映射136

6.1保形映射的概念及其性質(zhì)136

6.1.1保形映射的概念136

6.1.2幾何特性138

6.1.3幾個(gè)重要的保形映射142

6.2分式線性映射143

6.2.1分式線性映射的定義143

6.2.2分式線性映射的特性146

6.2.3上半平面與單位圓的分式線性

映射150

本章小結(jié)154

綜合練習(xí)題6156

自測(cè)題6157

第7章傅里葉變換159

7.1傅里葉變換的概念159

7.1.1傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉積分

公式159

7.1.2傅里葉變換162

7.2單位脈沖函數(shù)166

7.2.1單位脈沖函數(shù)的概念及其

性質(zhì)166

7.2.2單位脈沖函數(shù)的傅里葉變換168

7.3傅里葉變換的性質(zhì)169

7.3.1基本性質(zhì)169

7.3.2卷積與卷積定理173

本章小結(jié)176

綜合練習(xí)題7179

自測(cè)題7181

第8章拉普拉斯變換183

8.1拉普拉斯變換的概念183

8.1.1拉普拉斯變換的定義184

8.1.2拉普拉斯變換存在定理185

8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)187

8.2.1線性與相似性187

8.2.2延遲與位移性質(zhì)188

8.2.3微分性質(zhì)190

8.2.4積分性質(zhì)193

8.2.5初值定理和終值定理194

8.2.6卷積與卷積定理196

8.3拉普拉斯逆變換197

8.3.1反演積分公式198

8.3.2利用留數(shù)計(jì)算像原函數(shù)198

8.4拉普拉斯變換的應(yīng)用201

8.4.1求解常微分方程201

8.4.2實(shí)際應(yīng)用舉例203

本章小結(jié)204

綜合練習(xí)題8206

自測(cè)題8211

第9章快速傅里葉變換213

9.1序列傅里葉(SFT)變換213

9.1.1序列傅里葉變換(SFT)及其

逆變換(ISFT)的定義213

9.1.2序列傅里葉變換(SFT)的

性質(zhì)214

9.1.3序列傅里葉變換(SFT)的

MATLAB實(shí)現(xiàn)216

9.2Z變換簡(jiǎn)介216

9.2.1Z變換的定義216

9.2.2單邊Z變換217

9.2.3Z變換及其反變換的計(jì)算218

9.3離散傅里葉(DFT)變換218

9.3.1有限序列的離散傅里葉變換218

9.3.2離散傅里葉變換(DFT)與序列

傅里葉變換(SFT)的關(guān)系220

9.3.3DFT與Z變換的關(guān)系221

9.4快速傅里葉變換222

9.4.1時(shí)分算法222

9.4.2頻分算法227

9.4.3MATLAB的實(shí)現(xiàn)231

本章小結(jié)232

綜合練習(xí)題9233

附錄235

附錄A區(qū)域變換表235

附錄B傅里葉變換簡(jiǎn)表241

附錄C拉普拉斯變換簡(jiǎn)表245

附錄DZ變換表251

習(xí)題參考答案252

參考文獻(xiàn)274