第1章 函數(shù) 極限 連續(xù)……………………………………………………………………… 1
1.1 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)……………………………………………………………… 1
1.1.1 函數(shù)的概念………………………………………………………………………… 1
1.1.2 函數(shù)的簡單性態(tài)…………………………………………………………………… 3
1.1.3 基本初等函數(shù)……………………………………………………………………… 3
1.1.4 復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)………………………………………………………………… 5
習題1.1………………………………………………………………………………………… 6
1.2 函數(shù)的極限……………………………………………………………………………… 7
1.2.1 極限的概念………………………………………………………………………… 7
1.2.2 極限的四則運算…………………………………………………………………… 12
1.2.3 無窮小與無窮大…………………………………………………………………… 13
1.2.4 兩個重要極限……………………………………………………………………… 16
習題1.2 ……………………………………………………………………………………… 18
1.3 初等函數(shù)的連續(xù)性……………………………………………………………………… 19
1.3.1 函數(shù)連續(xù)性的定義………………………………………………………………… 19
1.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性………………………………………………………………… 21
1.3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)………………………………………………………… 22
習題1.3 ……………………………………………………………………………………… 23
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 23
復(fù)習題1 ……………………………………………………………………………………… 25
第2章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用…………………………………………………………… 27
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念……………………………………………………………………………… 27
2.1.1 導(dǎo)數(shù)的定義………………………………………………………………………… 27
2.1.2 左、右導(dǎo)數(shù)………………………………………………………………………… 31
2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義…………………………………………………………………… 32
2.1.4 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系………………………………………………………………… 33
習題2.1 ……………………………………………………………………………………… 33
2.2 求導(dǎo)法則………………………………………………………………………………… 34
2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則………………………………………………… 34
2.2.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則……………………………………………………………… 35
2.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則………………………………………………………………… 38
2.2.4 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式………………………………………………………… 40??????
2.2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)……………………………………………………………………… 40
2.2.6 對數(shù)求導(dǎo)法………………………………………………………………………… 41
2.2.7 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法………………………………………………… 41
2.2.8 高階導(dǎo)數(shù)…………………………………………………………………………… 42
習題2.2 ……………………………………………………………………………………… 44
2.3 微 分…………………………………………………………………………………… 45
2.3.1 微分的定義………………………………………………………………………… 45
2.3.2 微分的幾何意義…………………………………………………………………… 46
2.3.3 微分的運算法則…………………………………………………………………… 47
2.3.4 微分在近似計算中的應(yīng)用………………………………………………………… 48
習題2.3 ……………………………………………………………………………………… 50
2.4 中值定理與洛必達法則………………………………………………………………… 50
2.4.1 中值定理…………………………………………………………………………… 50
2.4.2 未定式的定值法———洛必達法則………………………………………………… 52
習題2.4 ……………………………………………………………………………………… 56
2.5 函數(shù)的單調(diào)性與極值…………………………………………………………………… 56
2.5.1 函數(shù)的單調(diào)性……………………………………………………………………… 56
2.5.2 函數(shù)的極值………………………………………………………………………… 57
2.5.3 函數(shù)的最值與極值的應(yīng)用………………………………………………………… 60
習題2.5 ……………………………………………………………………………………… 61
2.6 曲線的凹向與拐點……………………………………………………………………… 62
2.7 函數(shù)圖形的描繪………………………………………………………………………… 63
2.7.1 曲線的漸近線……………………………………………………………………… 63
2.7.2 函數(shù)圖形的做法…………………………………………………………………… 65
習題2.7 ……………………………………………………………………………………… 67
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 67
復(fù)習題2 ……………………………………………………………………………………… 68
第3章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用…………………………………………………………… 74
3.1 定積分的基本概念……………………………………………………………………… 74
3.1.1 定積分概念的引入………………………………………………………………… 74
3.1.2 定積分的定義……………………………………………………………………… 76
3.1.3 定積分的幾何意義………………………………………………………………… 76
習題3.1 ……………………………………………………………………………………… 77
3.2 定積分的性質(zhì)…………………………………………………………………………… 77
3.2.1 有關(guān)積分限的性質(zhì)………………………………………………………………… 77
3.2.2 定積分的線性性質(zhì)………………………………………………………………… 78
3.2.3 定積分的比較……………………………………………………………………… 78
3.2.4 定積分估值定理…………………………………………………………………… 78
3.2.5 定積分中值定理…………………………………………………………………… 78
3.2.6 積分均值…………………………………………………………………………… 79
習題3.2 ……………………………………………………………………………………… 79
3.3 微積分基本定理與原函數(shù)……………………………………………………………… 79
習題3.3 ……………………………………………………………………………………… 80
3.4 不定積分的概念與性質(zhì)………………………………………………………………… 81
3.4.1 不定積分的概念…………………………………………………………………… 81
3.4.2 不定積分的性質(zhì)…………………………………………………………………… 81
3.4.3 基本積分公式表…………………………………………………………………… 82
習題3.4 ……………………………………………………………………………………… 83
3.5 常用積分方法…………………………………………………………………………… 84
3.5.1 換元積分法(Ⅰ)…………………………………………………………………… 84
3.5.2 換元積分法(Ⅱ)…………………………………………………………………… 86
3.5.3 分部積分法………………………………………………………………………… 89
3.5.4 簡單有理函數(shù)的積分……………………………………………………………… 91
習題3.5 ……………………………………………………………………………………… 93
3.6 廣義積分………………………………………………………………………………… 94
3.6.1 函數(shù)在無限區(qū)間上的積分………………………………………………………… 94
3.6.2 無界函數(shù)的積分…………………………………………………………………… 95
習題3.6 ……………………………………………………………………………………… 96
3.7 定積分的應(yīng)用…………………………………………………………………………… 96
3.7.1 直角坐標系下的面積公式………………………………………………………… 97
3.7.2 極坐標系下的面積公式…………………………………………………………… 98
3.7.3 已知平行截面面積的立體體積…………………………………………………… 99
3.7.4 旋轉(zhuǎn)體的體積…………………………………………………………………… 100
3.7.5 平面曲線的弧長………………………………………………………………… 101
習題3.7……………………………………………………………………………………… 102
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 102
復(fù)習題3……………………………………………………………………………………… 105
第4章 無窮級數(shù)……………………………………………………………………………… 107
4.1 級數(shù)的基本概念……………………………………………………………………… 107
4.1.1 級數(shù)的概念……………………………………………………………………… 107
4.1.2 常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)……………………………………………………………… 109
習題4.1……………………………………………………………………………………… 111
4.2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法………………………………………………………………… 112
4.2.1 正項級數(shù)的審斂法……………………………………………………………… 112
4.2.2 交錯級數(shù)的審斂法……………………………………………………………… 114
4.2.3 絕對收斂與條件收斂…………………………………………………………… 115
習題4.2……………………………………………………………………………………… 116
4.3 冪級數(shù)………………………………………………………………………………… 117
4.3.1 函數(shù)項級數(shù)……………………………………………………………………… 117
4.3.2 冪級數(shù)的定義…………………………………………………………………… 118
4.3.3 冪級數(shù)的收斂性………………………………………………………………… 118
4.3.4 冪級數(shù)的運算…………………………………………………………………… 121
習題4.3……………………………………………………………………………………… 123
4.4 函數(shù)的冪級數(shù)展開式………………………………………………………………… 123
4.4.1 泰勒級數(shù)麥克勞林級數(shù)………………………………………………………… 124
4.4.2 函數(shù)展開為冪級數(shù)的直接方法………………………………………………… 124
4.4.3 函數(shù)展開為冪級數(shù)的間接方法………………………………………………… 126
4.4.4 冪級數(shù)的應(yīng)用…………………………………………………………………… 128
習題4.4……………………………………………………………………………………… 131
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 131
復(fù)習題4……………………………………………………………………………………… 132
第5章 常微分方程…………………………………………………………………………… 134
5.1 微分方程的基本概念………………………………………………………………… 134
習題5.1……………………………………………………………………………………… 137
5.2 可分離變量的微分方程……………………………………………………………… 137
5.2.1 可分離變量的微分方程………………………………………………………… 137
5.2.2 齊次方程………………………………………………………………………… 139
習題5.2……………………………………………………………………………………… 141
5.3 一階線性微分方程…………………………………………………………………… 141
5.3.1 一階線性齊次微分方程的解法………………………………………………… 142
5.3.2 一階線性非齊次微分方程的解法……………………………………………… 142
習題5.3……………………………………………………………………………………… 145
5.4 可降階的二階微分方程……………………………………………………………… 145
5.4.1 y″=f(x)型……………………………………………………………………… 146
5.4.2 y″=f(x,y')型…………………………………………………………………… 146
5.4.3 y″=f(y,y')型…………………………………………………………………… 146
習題5.4……………………………………………………………………………………… 147
5.5 二階線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)…………………………………………………… 148
習題5.5……………………………………………………………………………………… 150
5.6 二階常系數(shù)線性齊次微分方程……………………………………………………… 150
習題5.6……………………………………………………………………………………… 153
5.7 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程…………………………………………………… 153
5.7.1 f(x)=pm (x)eλx 型(其中λ 是常數(shù),pm (x)是x 的一個m 次多項式) ……… 153
5.7.2 f(x)=eαx (acosωx+bsinωx)(其中a,b,ω 均為常數(shù)) ……………………… 156
習題5.7……………………………………………………………………………………… 157
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 158
復(fù)習題5……………………………………………………………………………………… 160
第6章 多元函數(shù)微分學(xué)……………………………………………………………………… 162
6.1 空間解析幾何及向量代數(shù)…………………………………………………………… 162
6.1.1 空間解析幾何簡介……………………………………………………………… 162
6.1.2 向量及其線性運算……………………………………………………………… 163
6.1.3 向量的坐標……………………………………………………………………… 165
6.1.4 向量的數(shù)量積與向量積………………………………………………………… 167
6.1.5 平面及其方程…………………………………………………………………… 171
6.1.6 空間直線及其方程……………………………………………………………… 175
6.1.7 空間曲面與方程………………………………………………………………… 177
6.1.8 平面上的區(qū)域…………………………………………………………………… 182
習題6.1……………………………………………………………………………………… 183
6.2 多元函數(shù)的基本概念………………………………………………………………… 186
6.2.1 多元函數(shù)的概念………………………………………………………………… 186
6.2.2 二元函數(shù)的極限………………………………………………………………… 187
6.2.3 二元函數(shù)的連續(xù)性……………………………………………………………… 188
習題6.2……………………………………………………………………………………… 189
6.3 偏導(dǎo)數(shù)………………………………………………………………………………… 190
6.3.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算………………………………………………………… 190
6.3.2 高階偏導(dǎo)數(shù)……………………………………………………………………… 192
習題6.3……………………………………………………………………………………… 193
6.4 全微分及其應(yīng)用……………………………………………………………………… 193
6.4.1 全微分的概念…………………………………………………………………… 193
6.4.2 全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系………………………………………………………… 194
習題6.4……………………………………………………………………………………… 195
6.5 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則…………………………………………………………… 195
6.5.1 復(fù)合函數(shù)微分法………………………………………………………………… 195
6.5.2 隱函數(shù)的微分法………………………………………………………………… 199
習題6.5……………………………………………………………………………………… 199
6.6 二元函數(shù)的極值與最值……………………………………………………………… 200
6.6.1 二元函數(shù)的極值………………………………………………………………… 200
6.6.2 二元函數(shù)的最值………………………………………………………………… 201
6.6.3 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法…………………………………………………… 202
習題6.6……………………………………………………………………………………… 205
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 205
復(fù)習題6……………………………………………………………………………………… 207
第7章 多元函數(shù)積分學(xué)……………………………………………………………………… 210
7.1 二重積分的概念與性質(zhì)……………………………………………………………… 210
7.1.1 二重積分的概念………………………………………………………………… 210
7.1.2 二重積分的定義………………………………………………………………… 211
7.1.3 二重積分的性質(zhì)………………………………………………………………… 212
習題7.1……………………………………………………………………………………… 213
7.2 二重積分的計算……………………………………………………………………… 213
7.2.1 在直角坐標系中計算二重積分………………………………………………… 213
7.2.2 在極坐標系中計算二重積分…………………………………………………… 217
習題7.2……………………………………………………………………………………… 219
7.3 二重積分的應(yīng)用舉例………………………………………………………………… 219
7.3.1 平面圖形的面積………………………………………………………………… 220
7.3.2 立體圖形的體積………………………………………………………………… 220
7.3.3 平面薄片質(zhì)量…………………………………………………………………… 221
習題7.3……………………………………………………………………………………… 221
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 222