《偏微分方程簡明教程（iCourse教材）》是國家精品資源共享課“偏微分方程”的配套教材，是作者基于多年講授數(shù)學(xué)類專業(yè)“偏微分方程”課程講義的基礎(chǔ)上修改編寫而成的。全書重點(diǎn)介紹了偏微分方程的基本理論和方法，共分七章：第一章介紹偏微分方程的基本概念和幾個(gè)經(jīng)典方程及定解問題的物理與力學(xué)來源；第二章介紹二階方程的特征理論及方程的分類；第三章介紹分離變量法；第四、五、六章分別討論雙曲型、拋物型和橢圓型方程定解問題的求解方法、理論分析、適定性等，并利用所獲得的解對物理現(xiàn)象及力學(xué)規(guī)律加以解釋；第七章介紹Fouder變換及其應(yīng)用。各章內(nèi)容相對獨(dú)立，自成體系。教學(xué)時(shí)可根據(jù)實(shí)際教學(xué)時(shí)數(shù)任選其中幾章獨(dú)立安排教學(xué)。 《偏微分方程簡明教程（iCourse教材）》力求做到由淺入深，通俗易懂，便于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)。可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生“偏微分方程”“數(shù)學(xué)物理方程”課程的教材或教學(xué)參考書，也可作為理工類本科生或研究生“數(shù)學(xué)物理方程”“數(shù)學(xué)物理方法”課程的教材或參考書。
第一章 方程的導(dǎo)出及定解問題的提法
§1 基本概念
1.1. 什么是偏微分方程
1.2. 偏微分方程的解
1.3. 偏微分方程的階
1.4. 線性偏微分方程
1.5. 非線性偏微分方程
習(xí)題1-1
§2 幾個(gè)經(jīng)典方程
2.1. 弦振動方程
2.2. 膜振動方程
2.3. 熱傳導(dǎo)方程
2.4. Laplace方程
習(xí)題1-2
§3 定解問題
3.1. 定解問題
3.2. 三類典型的邊界條件
3.3. 適定性
習(xí)題1-3
第二章 二階方程的特征理論與分類
§1 二階方程的特征
1.1. 兩個(gè)自變量的情形
1.2. 多個(gè)自變量的情形
習(xí)題2-1
§2 二階方程的分類
2.1. 兩個(gè)自變量的情形
2.2. 多個(gè)自變量的情形
習(xí)題2-2
第三章 分離變量法
§1 分離變量法的理論基礎(chǔ)
習(xí)題3-1
§2 求解實(shí)例
2.1. 雙曲型方程的混合問題與分離變量法
2.2. 拋物型方程的混合問題與分離變量法
2.3. 橢圓型方程的邊值問題與分離變量法
習(xí)題3-2
第四章 雙曲型方程
§1 Duhamel原理
1.1. Cauchy問題
1.2. 混合問題
習(xí)題4-1
§2 一維波動方程
2.1. 齊次波動方程的Cauchy問題和特征線法
2.2. d'Alembert公式的物理意義
2.3. d'Alembert公式的幾何解釋
2.4. 依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域
2.5. 半直線上齊次波動方程的混合問題
2.6. 非齊次波動方程的Cauchy問題
2.7. 非齊次波動方程的混合問題
習(xí)題4-2
§3 高維波動方程
3.1. 三維齊次波動方程的Cauchy問題
3.2. 二維波動方程與降維法
3.3. 依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域
3.4. 波的傳播速度
3.5. Poisson公式的物理意義
3.6. 非齊次波動方程的Cauchy問題
習(xí)題4-3
§4 能量積分、唯一性和穩(wěn)定性
4.1. 能量積分
4.2. 混合問題解的唯一性
4.3. 能量不等式
4.4. Cauchy問題解的唯一性和穩(wěn)定性
習(xí)題4-4
第五章 拋物型方程
§1 熱傳導(dǎo)方程定解問題的求解
1.1. 齊次方程的Cauchy問題
1.2. 非齊次方程的Cauchy問題
1.3. 半直線上的熱傳導(dǎo)方程的混合問題
習(xí)題5-1
§2 極值原理、最大模估計(jì)、唯一性和穩(wěn)定性
2.1. 弱極值原理
2.2. 第一邊值問題解的最大模估計(jì)、唯一性與穩(wěn)定性
2.3. 第二、三邊值問題解的最大模估計(jì)
2.4. Cauchy問題解的最大模估計(jì)
2.5. 邊值問題的能量估計(jì)
習(xí)題5-2
第六章 橢圓型方程
§1 調(diào)和函數(shù)
1.1. Green公式
1.2. 調(diào)和函數(shù)與基本解
1.3. 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)
習(xí)題6-1
§2 Green函數(shù)
2.1. Green函數(shù)的定義
2.2. Green函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)
習(xí)題6-2
§3 球與半空間上的Dirichlet問題
3.1. 球上的Dirichlet問題
3.2. 半空間上的Dirichlet問題
3.3. Harnack不等式及其應(yīng)用
習(xí)題6-3
§4 極值原理、唯一性與穩(wěn)定性
4.1. 極值原理
4.2. 第一邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性
4.3. 第二邊值問題解的唯一性
習(xí)題6-4
第七章 Fourier變換及其應(yīng)用
§1 Fourier變換及其性質(zhì)
1.1. Fourier變換
1.2. 基本性質(zhì)
1.3. 幾個(gè)例子
1.4. 高維空間的Fourier變換
習(xí)題7-1
§2 應(yīng)用
習(xí)題7-2
附錄Ⅰ 散度定理
附錄Ⅱ 線性變換下的微分運(yùn)算
附錄Ⅲ Gronwall不等式
附錄Ⅳ Riemann-Lebesgue引理
主要參考文獻(xiàn)
書單推薦
